8.5 第2课时 直线与椭圆（Word教参）-【导学教程】2025年数学新编高考大一轮总复习（人教A版）

第2课时　直线与椭圆 [对应学生用书P187] 考点一　直线与椭圆的位置关系(基础考点　自练自悟) 1．直线y＝x＋1与椭圆＋＝1的位置关系是(　　) A．相交　　　　　　　 B．相切 C．相离 D．无法判断 解析　直线过点(0，1)，又0＋＜1，即点(0，1)在椭圆内部，所以可推断直线与椭圆相交． 答案　A 2．直线y＝x＋2与椭圆＋＝1有两个公共点，则m的取值范围是(　　) A．(1，＋∞) B．(1，3)∪(3，＋∞) C．(3，＋∞) D．(0，3)∪(3，＋∞) 解析　由得(m＋3)x2＋4mx＋m＝0.由Δ＞0且m≠3及m＞0，得m＞1且m≠3. 答案　B 3．若直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1总有公共点，则m的取值范围是(　　) A．m＞0 B．m＞1 C．0＜m＜5且m≠1 D．m≥1且m≠5 解析　因为直线y＝kx＋1恒过点(0，1)，所以点(0，1)必在椭圆内或椭圆上，则0＜≤1且m≠5，故m≥1且m≠5. 答案　D 利用判别式判断直线与椭圆的位置关系的步骤 考点二　直线与椭圆相交问题(多维探究　师生共研) 角度1　弦长问题 　已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率e＝，且C经过点P(－2，0). (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点P的直线l交C于另一点A，若|PA|＝，求直线l的斜率． [解析]　(1)由题意得a＝2，＝，所以c＝1，所以b2＝a2－c2＝3， 所以椭圆C的标准方程为＋＝1. (2)由题意得直线l的斜率存在，设为k，即直线l的方程为y＝k(x＋2)，与椭圆方程联立整理得(3＋4k2)x2＋16k2x＋16k2－12＝0，设A(x1，y1)，所以有－2x1＝，所以x1＝， 因为|PA|＝， 所以|x1－(－2)|＝，将x1＝代入，解得k2＝1或k2＝－(舍去)，即k＝±1. 弦长的求解方法 (1)当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解． (2)当直线的斜率存在时，斜率为k的直线l与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两个不同的点，则弦长公式的常见形式有如下两种： ①|AB|＝|x1－x2|＝； ②|AB|＝|y1－y2|＝(k≠0). 角度2　中点弦问题 　已知椭圆C：＋＝1，过点P的直线交椭圆C于A，B两点，若P为AB的中点，则直线AB的方程为____________________． [解析]　设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由中点坐标公式可得所以 因为两式作差得＋＝0， 即＝－， 即·＝kAB＝－，所以kAB＝－， 因此，直线AB的方程为y－＝－(x－1)，即3x＋2y－4＝0. [答案]　3x＋2y－4＝0 (变条件、变结论)已知斜率为－且不经过坐标原点O的直线与椭圆＋＝1相交于A，B两点，M为线段AB的中点，则直线OM的斜率为________． 解析　设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，由中点坐标公式可得 因为 两式作差得＋＝0， 即＝－， 即·＝kAB＝－，又kAB＝－，所以kOM＝＝. 答案　 处理中点弦问题常用的求解方法 (1)点差法：设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x1＋x2，y1＋y2，三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式可求得斜率． (2)根与系数的关系：联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解． 1．已知点F为椭圆的左焦点，点P为其下顶点，平行于FP的直线l交椭圆于A，B两点，且AB的中点为M，则椭圆的离心率为(　　) A． B． C． D． 解析　由题意，设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，有F(－c，0)，P(0，－b)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为AB的中点为M， 所以x1＋x2＝2，y1＋y2＝1. 因为PF∥l，所以kPF＝kl＝－＝. 因为＋＝1，＋＝1， 两式相减得＋＝0， 即＝－， 所以＝，可得2bc＝a2， 所以4c2(a2－c2)＝a4， 化为4e4－4e2＋1＝0，解得e2＝，0＜e＜1， 所以e＝.故选A. 答案　A 2．已知椭圆M：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，AB为过椭圆右焦点的一条弦，且AB长度的最小值为2. (1)求椭圆M的方程； (2)若斜率为1的直线l与椭圆M交于C，D两点，点P(2，0)，直线PC的斜率为，求线段CD的长度． 解析　(1)因为椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为＝＝，过椭圆右焦点的弦长的最小值为＝2，所以a＝2，c＝，b＝，所以椭圆M的方程为＋＝1. (2)设直线PC的方程为y＝(x－2)，联立直线PC与椭圆M的方程得⇒3x2－4x－4＝0，则xP＋xC＝，因为点P(2，0)， 所以C点坐标为，所以可得直线l的方程为y＋＝x＋，即y＝x－. 联立直线l与椭圆M的方程，消去y得3x2－x－＝0，解得x1＝－，x2＝， 所以|CD|＝×|x1－x2|＝×＝. 考点三　直线与椭圆的综合问题(重难考点　师生共研) 　已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的一个顶点为P(0，1)，且离心率为. (1)求椭圆C的方程； (2)若直线l：y＝x＋m与椭圆C交于M，N两点，且|PM|＝|PN|，求实数m的值． [解析]　(1)由题意易知b＝1，因为椭圆C的离心率为＝＝＝，所以a＝2， 所以椭圆C的方程为＋y2＝1. (2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立 消去y得5x2＋8mx＋4m2－4＝0， 由Δ＝64m2－80(m2－1)＞0得－＜m＜， 则x1＋x2＝－， 设线段MN的中点为D， 则xD＝＝－，所以yD＝xD＋m＝， 因为|PM|＝|PN|，所以PD⊥MN， 所以＝－1，解得m＝－，满足－＜m＜，所以m＝－. 直线与椭圆综合问题的常用思想方法和技巧 (1)求解直线与椭圆的综合问题的基本思想是方程思想，即根据题意，列出有关的方程，把直线方程与椭圆方程联立，消去x(或y)，得到关于y(或x)的一元二次方程，利用一元二次方程根的判别式、根与系数的关系解决．为减少计算量，在代数运算中，经常运用设而不求的方法． (2)设直线方程有两种常用方法：若直线经过的定点在纵轴上，一般设为斜截式方程y＝kx＋b，便于运算；若直线经过的定点在横轴上，一般设为x＝my＋a，可以减少运算量． (2023·新课标Ⅱ卷)已知椭圆C：＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，直线y＝x＋m与C交于A，B两点，若△F1AB面积是△F2AB面积的2倍，则m＝(　　) A．　　 B．　　　 C．－　　 D．－ 解析　设F1到AB的距离为d1，F2到AB的距离为d2，则d1＝，d2＝，＝＝2，∴m＝－或－3，又直线与椭圆相交，联立消y可得4x2＋6mx＋3m2－3＝0，Δ＞0，∴36m2－4×4(3m2－3)＞0，解得－2＜m＜2，∴m＝－，故选C. 答案　C 学科网（北京）股份有限公司 $$