导学微点13 阿波罗尼斯圆（Word教参）-【导学教程】2025年数学新编高考大一轮总复习（人教A版）

[对应学生用书P183] “阿波罗尼斯圆”是古希腊三大数学家之一——阿波罗尼斯的代表成果之一．若平面上动点P到两定点A，B的距离之比满足＝t(t＞0且t≠1，t为常数)，则P点的轨迹为圆．此圆叫做“阿波罗尼斯圆”． A(－a，0)，B(a，0)，|AP|＝λ|BP|(a＞0，λ＞0，λ≠1)，P(x，y)，则＝λ，化简得＋y2＝，则P点的轨迹是圆心为，半径为的圆． 　(1)在平面直角坐标系xOy中，圆x2＋y2＝1交x轴于A，B两点，且点A在点B的左侧，若直线x＋y＋m＝0上存在点P，使得|PA|＝2|PB|，则m的取值范围为________． (2)(2024·盐城质检)已知圆O：x2＋y2＝1和点A，若定点B(b，0)和常数λ满足：对圆O上任意一点M，都有|MB|＝λ|MA|，则λ＝________，△MAB面积的最大值为________． [解析]　(1)由题意得A(－1，0)，B(1，0)，设P(x，y)，则由|PA|＝2|PB|， 得＝2， 即＋y2＝， 因为圆＋y2＝与直线x＋y＋m＝0有交点， 则≤，解得－≤m≤1. 故m的取值范围为. (2)设点M(x，y)，由|MB|＝λ|MA|，得(x－b)2＋y2＝λ2， 整理得x2＋y2－x＋＝0， 所以解得 如图所示， S△MAB＝|AB|·|yM|， 由图可知，当|yM|＝1，即M的坐标为(0，1)或(0，－1)时，S△MAB取得最大值，故△MAB的面积的最大值为××1＝. [答案]　(1)　(2)2　 1．已知点M与两个定点O(0，0)，A(3，0)的距离之比为，则点M的轨迹方程为______________________． 解析　如图所示，设动点M(x，y)，连接MO，MA，有|MA|＝2|MO|， 即＝2， 化简得x2＋y2＋2x－3＝0，即(x＋1)2＋y2＝4. 答案　(x＋1)2＋y2＝4 2．已知在平面直角坐标系xOy中，A(－3，0)，B(3，0)，动点P满足＝2，P点的轨迹Γ为圆，该圆的方程为____________________．过点A的直线交圆Γ于C，D两点，且＝，则|CD|＝________． 解析　设P(x，y)，则＝2，整理得x2＋y2－10x＋9＝0，即(x－5)2＋y2＝16.因为＝，所以C为AD的中点，过圆心(5，0)作AD的垂线，垂足为M，则M为CD的中点，则|AM|＝|CD|，故 ＝，解得|CD|＝2(负值舍去). 答案　(x－5)2＋y2＝16　2 学科网（北京）股份有限公司 $$