8.2 两直线的位置关系（Word教参）-【导学教程】2025年数学新编高考大一轮总复习（人教A版）

8．2　两直线的位置关系 课标要求 考情分析 1．能根据斜率判定两条直线平行或垂直． 2．能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标． 3．探索并掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离． 考点考法：两条不同的直线的位置关系有平行、相交(垂直是其中一种特殊情况)两种情况，要求能根据直线方程判断两条直线的位置关系，利用两条直线平行、垂直求其中一条直线的方程或参数的取值范围，多以选择题、填空题的形式出现，难度较小． 核心素养：逻辑推理、数学运算． [对应学生用书P174] 1．两条直线的位置关系 直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l3：A1x＋B1y＋C1＝0，l4：A2x＋B2y＋C2＝0(其中l1与l3是同一条直线，l2与l4是同一条直线)的位置关系如下表： 位置关系 l1，l2满足的条件 l3，l4满足的条件 平行 __k1＝k2且b1≠b2__ __A1B2－A2B1＝0且A1C2－A2C1≠0__ 垂直 __k1·k2＝－1__ __A1A2＋B1B2＝0__ 相交 __k1≠k2__ __A1B2－A2B1≠0__ [导学点清]　在判定两条直线平行或垂直的情况时不要忽略了两条直线或一条直线斜率不存在的情形. 2．两条直线的交点坐标 已知两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0相交，则交点P的坐标是方程组的解． 3．三种距离 点点距 点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离 |P1P2|＝____ 点线距 点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离 d＝____ 线线距 两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离 d＝____ [导学点清]　利用两平行直线间的距离公式时，需要先将两条平行直线方程化为x，y的系数对应相等的一般式． 1．直线x＋y－3＝0与直线x－y＋1＝0的交点坐标是(　　) A．(2，2)　　　　　　　 B．(－2，2) C．(－1，3) D．(1，2) 解析　联立解得故两直线的交点坐标为(1，2).故选D. 答案　D 2．点A(2，5)到直线l：x－2y＋3＝0的距离为(　　) A．2 B． C． D． 解析　由题意得d＝＝.故选C. 答案　C 3．(忽略两直线重合的情况致误)直线l1：ax＋3y＋1＝0，l2：2x＋(a－1)y－1＝0，若l1∥l2，则a的值为(　　) A．－3或2 B．3或－2 C．3 D．－2 解析　∵直线l1：ax＋3y＋1＝0，l2：2x＋(a－1)y－1＝0，l1∥l2，∴a(a－1)－2×3＝0，且－a－2≠0，∴a＝3. 答案　C 4．(不会求定点致误)直线y＝kx－k－2恒过定点________． 解析　y＝kx－k－2＝k(x－1)－2，所以直线恒过定点(1，－2). 答案　(1，－2) 5．直线x－2y－3＝0关于x轴对称的直线方程为____________________． 解析　直线x－2y－3＝0的斜率为k＝且与x轴交于点(3，0)，故所求直线的斜率为－，且过点(3，0)，其方程为y＝－(x－3)，即x＋2y－3＝0. 答案　x＋2y－3＝0 1．与直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)垂直或平行的直线方程可设为： (1)垂直：Bx－Ay＋m＝0； (2)平行：Ax＋By＋n＝0(n≠C). 2．两个充要条件 (1)直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件是A1A2＋B1B2＝0； (2)直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0平行或重合的充要条件是A1B2－A2B1＝0. 3．与对称问题相关的四个结论 (1)点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x，2b－y)； (2)点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x，2b－y)； (3)点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)； (4)点(x，y)关于直线x＋y＝k的对称点为(k－y，k－x)，关于直线x－y＝k的对称点为(k＋y，x－k). 1．过点A(2，3)且与直线l：2x－4y＋7＝0平行的直线方程是(　　) A．x－2y＋4＝0 B．x－2y－4＝0 C．2x－y＋1＝0 D．x＋2y－8＝0 解析　由题意，设所求直线方程为2x－4y＋c＝0(c≠7)，因为直线经过点A(2，3)，所以2×2－4×3＋c＝0，解得c＝8，所以所求直线方程为x－2y＋4＝0.故选A. 答案　A 2．若直线(2m－1)x＋my＋1＝0和直线mx＋3y＋3＝0垂直，则实数m的值为(　　) A．1 B．0 C．2 D．－1或0 解析　由两直线垂直可得m(2m－1)＋3m＝0，解得m＝0或m＝－1.故选D. 答案　D 3．点P(2，5)关于直线x＋y＝1的对称点的坐标为________． 解析　点P(2，5)关于x＋y＝1的对称点的坐标为(1－5，1－2)，即(－4，－1). 答案　(－4，－1) [对应学生用书P175] 考点一　两条直线的位置关系(基础考点　自练自悟) 1．已知直线l1：ax＋(a－1)y＋3＝0，l2：2x＋ay－1＝0，若l1⊥l2，则实数a的值是(　　) A．0或－1　　　　　　　 B．－1或1 C．－1 D．1 解析　由题意可知l1⊥l2，故2a＋a(a－1)＝0，解得a＝0或a＝－1，经验证，符合题意． 答案　A 2．(多选)直线l1，l2的斜率k1，k2是关于k的方程2k2－4k＋m＝0的两个根，则下列说法正确的是(　　) A．若l1⊥l2，则m＝－2 B．若l1⊥l2，则m＝2 C．若l1∥l2，则m＝－2 D．若l1∥l2，则m＝2 解析　由题意得，若l1⊥l2，则k1k2＝＝－1，解得m＝－2；若l1∥l2，则k1＝k2，所以Δ＝16－8m＝0，解得m＝2，故选AD. 答案　AD 3．经过两条直线2x＋3y＋1＝0和x－3y＋4＝0的交点，并且垂直于直线3x＋4y－7＝0的直线方程为____________________． 解析　法一　由方程组解得 即交点为， 因为所求直线与直线3x＋4y－7＝0垂直， 所以所求直线的斜率为k＝. 由点斜式得所求直线方程为 y－＝， 即4x－3y＋9＝0. 法二　由垂直关系可设所求直线方程为4x－3y＋m＝0. 由方程组 可解得交点为， 代入4x－3y＋m＝0得m＝9， 故所求直线方程为4x－3y＋9＝0. 法三　由题意可设所求直线的方程为(2x＋3y＋1)＋λ(x－3y＋4)＝0， 即(2＋λ)x＋(3－3λ)y＋1＋4λ＝0，① 又所求直线与直线3x＋4y－7＝0垂直， 所以3(2＋λ)＋4(3－3λ)＝0， 解得λ＝2，代入①式得所求直线方程为4x－3y＋9＝0. 答案　4x－3y＋9＝0 解决两直线平行与垂直的参数问题要“前思后想” 考点二　两直线的相交及距离问题(重难考点　师生共研) 　(1)已知直线l1：2x－y－4＝0，l2：x＋y－5＝0相交于点P，则P到直线l：x＋2y＋3＝0的距离为(　　) A．2 B． C． D． (2)两条平行直线3x＋4y－12＝0与ax＋8y＋11＝0之间的距离为________． [解析]　(1)由题意，联立可得故P(3，2). 则P到直线l：x＋2y＋3＝0的距离为d＝＝2，故选A. (2)由两条直线平行，得＝，所以a＝6， 所以直线3x＋4y－12＝0可化为6x＋8y－24＝0， 则两平行线间的距离为d＝＝. [答案]　(1)A　(2) 两条平行直线间的距离的求法 (1)利用“转化法”将两条平行直线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离； (2)利用两条平行直线间的距离公式求解． 1．已知A(－c，0)，B(c，0)，直线x＋y＝1上存在唯一一点P，使得|PA|＝|PB|，则c的值为________． 解析　设P，由|PA|＝|PB|得，＝×，整理得3x－2(1＋4c)x0＋2c2＋1＝0，因为点P唯一，所以Δ＝4(1＋4c)2－12(2c2＋1)＝0，解得c＝－1或c＝. 答案　－1或 2．已知直线l1：2x＋3y－1＝0和l2：4x＋6y－9＝0，若直线l到直线l1的距离与到直线l2的距离之比为1∶2，则直线l的方程为________． 解析　由题意得l1∥l2.设直线l：4x＋6y＋m＝0，m≠－2且m≠－9， 直线l到直线l1和l2的距离分别为d1，d2， 由题意知d1＝，d2＝， 因为＝，所以＝， 即2|m＋2|＝|m＋9|，解得m＝5或m＝－， 即直线l的方程为4x＋6y＋5＝0或12x＋18y－13＝0. 答案　4x＋6y＋5＝0或12x＋18y－13＝0 考点三　对称问题(多维探究　师生共研) 角度1　中心对称 　(1)直线x－2y－3＝0关于定点M(－2，1)对称的直线方程是____________________． (2)过点P(0，1)作直线l，使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为____________________． [解析]　(1)设所求直线上任意一点的坐标为(x，y)，则其关于M(－2，1)的对称点(－4－x，2－y)在已知直线上，∴所求直线方程为(－4－x)－2(2－y)－3＝0，即x－2y＋11＝0. (2)设l1与l的交点为A(a，8－2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a，2a－6)在l2上，将点B坐标代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即点A(4，0)在直线l上，因为点P(0，1)也在直线l上，所以利用两点式可得直线l的方程为＝，即x＋4y－4＝0. 答案　(1)x－2y＋11＝0　(2)x＋4y－4＝0 角度2　轴对称 　一束光线沿着直线y＝－3x＋b射到直线x＋y＝0上，经反射后沿着直线y＝ax＋2射出，则有(　　) A．a＝，b＝6 B．a＝－3，b＝ C．a＝3，b＝－ D．a＝－，b＝－6 [解析]　由题意，知直线y＝－3x＋b与直线y＝ax＋2关于直线y＝－x对称，所以直线y＝ax＋2上的点(0，2)关于直线y＝－x的对称点(－2，0)在直线y＝－3x＋b上，所以－3×(－2)＋b＝0，所以b＝－6.直线y＝－3x－6上的点(0，－6)关于直线y＝－x的对称点(6，0)在直线y＝ax＋2上，所以6a＋2＝0，所以a＝－.故选D. [答案]　D 解决两类对称问题的关键 解决中心对称问题的关键在于运用中点坐标公式，而解决轴对称问题，一般是转化为求对称点的问题，在求对称点时，关键要抓住两点：一是两对称点的连线与对称轴垂直；二是两对称点所连线段的中点在对称轴上，即抓住“垂直平分”，由“垂直”列出一个方程，由“平分”列出一个方程，联立求解． 1．直线3x－2y＝0关于点对称的直线方程为(　　) A．2x－3y＝0 B．3x－2y－2＝0 C．x－y＝0 D．2x－3y－2＝0 解析　法一　设所求直线上任一点为(x，y)，则其关于点对称的点为， 因为点在直线3x－2y＝0上， 所以3－2(－y)＝0，化简得3x－2y－2＝0，所以所求直线方程为3x－2y－2＝0. 法二　在直线3x－2y＝0上任取两点O(0，0)，M(2，3)，设点O，M关于点的对称点分别为O′，M′，则O′，M′， 所以所求直线方程为＝， 即3x－2y－2＝0. 答案　B 2．已知点A(1，3)关于直线y＝kx＋b对称的点是B(－2，1)，则直线y＝kx＋b在y轴上的截距是________． 解析　由题意得直线AB与直线y＝kx＋b垂直，且线段AB的中点在直线y＝kx＋b上， 由kAB＝＝， 结合题意可知 解得k＝－，b＝， 所以直线y＝kx＋b在y轴上的截距是. 答案　 学科网（北京）股份有限公司 $$