导学微点12 立体几何中的动态问题（Word教参）-【导学教程】2025年数学新编高考大一轮总复习（人教A版）

[对应学生用书P168] 类型一　空间位置关系的判定 　(多选)(2023·汕头期末)在直四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2AD＝2DC＝2DD1＝4，则(　　) A．在棱AB上存在点P，使得D1P∥平面A1BC1 B．在棱BC上存在点P，使得D1P∥平面A1BC1 C．若P在棱AB上移动，则A1D⊥D1P D．在棱A1B1上存在点P，使得DP⊥平面A1BC1 [解析]　对于A，当P是AB的中点时，依题意可知C1D1∥DC∥PB，C1D1＝DC＝PB，所以四边形D1PBC1是平行四边形，所以D1P∥C1B，由于D1P⊄平面A1BC1，C1B⊂平面A1BC1，所以D1P∥平面A1BC1，A正确． 图1 对于B，设E是AB的中点，P是BC的中点，连接D1E，PE，AC，如图1所示，由A可知D1E∥平面A1BC1.因为PE∥AC∥A1C1，PE⊄平面A1BC1，A1C1⊂平面A1BC1，所以PE∥平面A1BC1. 因为D1E∩PE＝E，D1E，PE⊂平面D1PE，所以平面D1PE∥平面A1BC1， 又D1P⊂平面D1PE， 所以D1P∥平面A1BC1，B正确． 对于C，连接AD1(图略)，根据已知条件可知四边形ADD1A1是正方形，所以A1D⊥D1A，由于AB⊥AD，AB⊥AA1，AD∩AA1＝A，AD，AA1⊂平面ADD1A1，所以AB⊥平面ADD1A1，又A1D⊂平面ADD1A1，所以AB⊥A1D.因为D1A∩AB＝A，D1A，AB⊂平面AD1B，所以A1D⊥平面AD1B，又D1P⊂平面AD1B，所以A1D⊥D1P，C正确． 图2 对于D，由题可知，在直四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，DA，DC，DD1两两垂直，建立如图2所示的空间直角坐标系， 则A1(2，0，2)，B(2，4，0)，C1(0，2，2)，D(0，0，0)， 所以＝(0，4，－2)， ＝(－2，2，0). 设P(2，t，2)，t∈[0，4]，则＝(2，t，2). 若DP⊥平面A1BC1，则有 此方程组无解，所以在棱A1B1上不存在点P，使得DP⊥平面A1BC1.D错误．故选ABC. [答案]　ABC 解决空间位置关系的动点问题 (1)应用“位置关系定理”转化． (2)建立“坐标系”计算． (多选)已知P，Q分别是正方体ABCD­A1B1C1D1的棱BB1，CC1上的动点(不与顶点重合)，则下列结论正确的是(　　) A．AB⊥PQ B．平面BPQ∥平面ADD1A1 C．四面体ABPQ的体积为定值 D．AP∥平面CDD1C1 解析　对于A，∵AB⊥BC，AB ⊥BB1，BC∩BB1＝B，BC，BB1⊂平面BCC1B1， ∴AB⊥平面BCC1B1， ∵PQ⊂平面BCC1B1， ∴AB⊥PQ，故A正确； 对于B，∵平面ADD1A1∥平面BCC1B1，平面BPQ与平面BCC1B1重合， ∴平面BPQ∥平面ADD1A1，故B正确； 对于C，∵A到平面BPQ的距离AB为定值，Q到BP的距离为定值，BP的长不是定值， ∴四面体ABPQ的体积不为定值，故C错误； 对于D，∵平面ABB1A1∥平面CDD1C1，AP⊂平面ABB1A1， ∴AP∥平面CDD1C1，故D正确． 答案　ABD 类型二　轨迹问题 　(多选)如图，已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为4，M为DD1的中点，N为ABCD所在平面上一动点，则下列说法正确的是(　　) A．若MN与平面ABCD所成的角为，则点N的轨迹为圆 B．若MN＝4，则MN的中点P的轨迹所围成图形的面积为2π C．若点N到直线BB1与直线DC的距离相等，则点N的轨迹为抛物线 D．若D1N与AB所成的角为，则点N的轨迹为双曲线 [解析]　对于A，根据正方体的性质可知，MD⊥平面ABCD，所以∠MND为MN与平面ABCD所成的角，所以∠MND＝，所以DN＝DM＝DD1＝×4＝2，所以点N的轨迹为以D为圆心，2为半径的圆，故A正确；对于B，在直角三角形MDN中，DN＝＝＝2，取MD的中点E，因为P为MN的中点，所以PE∥DN，且PE＝DN＝，因为DN⊥ED，所以PE⊥ED，即点P在过点E且与DD1垂直的平面内，又PE＝，所以点P的轨迹为以E为圆心，为半径的圆，其面积为π·()2＝3π，故B不正确；对于C，连接NB，因为BB1⊥平面ABCD，所以BB1⊥NB，所以点N到直线BB1的距离为点N到点B的距离，则转化为点N到点B的距离等于点N到定直线CD的距离，又B不在直线CD上，所以点N的轨迹为以B为焦点，CD为准线的抛物线，故C正确；对于D，以D为原点，DA，DC，DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，所以A(4，0，0)，B(4，4，0)，D1(0，0，4)，设N(x，y，0)，则＝(0，4，0)，＝(x，y，－4)，因为D1N与AB所成的角为，所以|cos 〈，〉|＝cos ，所以＝，整理得－＝1，所以点N的轨迹为双曲线，故D正确．故选ACD. [答案]　ACD 立体几何中的轨迹问题，常见的处理方式有两种： (1)几何法：借助曲线的定义或几何图形的特征判断动点轨迹的类型； (2)代数法：通过坐标法，建立动点的轨迹方程，通过方程来研究动点轨迹的类型． 1．如图，斜线段AB与平面α所成的角为，B为斜足．平面α上的动点P满足∠PAB＝，则点P的轨迹为(　　) A．圆 B．椭圆 C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分 解析　建立如图所示的空间直角坐标系，设OB＝OA＝1，则B(0，1，0)，A(0，0，1)，P(x，y，0)，所以＝(0，1，－1)，＝(x，y，－1)，所以cos 〈，〉＝＝，即x2＋＝1，所以点P的轨迹是椭圆． 答案　B 2．已知动点P在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1的表面上运动，且PA＝r(0＜r＜)，记点P的轨迹长度为f(r)，则f(1)＋f()＝________． 解析　如图，当r＝1时，点P在正方体表面上的轨迹分别是以A为圆心，1为半径的三个面上的三段弧，分别为，，， 则f(1)＝3××2π＝， 当r＝时，点P在正方体表面上的轨迹为在平面A1B1C1D1上以A1为圆心，1为半径的， 在平面B1BCC1上为以B为圆心，1为半径的， 在平面DCC1D1上为以D为圆心，1为半径的，则f()＝3××2π＝， 所以f(1)＋f()＝＋＝3π. 答案　3π 学科网（北京）股份有限公司 $$