导学微点11 几何法求线面角、二面角（Word教参）-【导学教程】2025年数学新编高考大一轮总复习（人教A版）

[对应学生用书P156] 类型一　几何法求线面角 求线面角的三个步骤： 一作(找)角，二证明，三计算，其中作(找)角是关键，先找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足，然后把线面角转化到三角形中求解． 　如图，在正四棱锥V­ABCD中，所有棱长均相等，点E为VB的中点，则直线AE与平面ABCD所成角的正弦值为________． [解析]　在正四棱锥V­ABCD中， 所有棱长均相等，点E为VB的中点， 连接AC，BD交于点O，连接VO(图略)， 由四棱锥各条棱相等，则VO⊥AC，VO⊥BD， 根据线面垂直的判定定理，有VO⊥平面ABCD. 设点P为OB的中点，连接EP，则EP∥VO，得到EP⊥平面ABCD，连接AP(图略)，则AP是AE在平面ABCD内的射影， ∠EAP即为AE与平面ABCD所成的角． 设四棱锥各棱长为2，则AE＝，BO＝， 在Rt△VOB中， VO＝＝＝， EP＝VO＝，于是sin ∠EAP＝＝＝. [答案]　 在三棱柱ABC­A1B1C1中，各棱长都相等，侧棱垂直于底面，点D是BC1与B1C的交点，则AD与平面BB1C1C所成角的正弦值是(　　) A．　　　　　　　 B． C． D． 解析　取BC的中点E，连接DE，AE，如图． 依题意三棱柱ABC­A1B1C1为正三棱柱，设棱长为2，则AE＝，DE＝1，因为D，E分别是BC1和BC的中点， 所以DE∥CC1，所以DE⊥平面ABC， 所以DE⊥AE， 所以AD＝＝＝2. 因为AE⊥BC，AE⊥DE，BC∩DE＝E，BC，DE⊂平面BB1C1C， 所以AE⊥平面BB1C1C， 所以∠ADE是AD与平面BB1C1C所成的角，所以sin ∠ADE＝＝， 所以AD与平面BB1C1C所成角的正弦值是. 答案　C 类型二　几何法求二面角 作二面角的平面角的方法： 作二面角的平面角可以用定义法，也可以用垂面法，即在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角． 　如图所示，在三棱锥S­ABC中，△SBC，△ABC都是等边三角形，且BC＝2，SA＝，则二面角S­BC­A的大小为(　　) A．30° B．45° C．60° D．75° [解析]　如图所示，取BC的中点D，连接AD，SD， ∵△ABC，△SBC都是等边三角形， ∴SB＝SC，AB＝AC， 因此有AD⊥BC，SD⊥BC. ∴∠ADS为侧面SBC与底面ABC所成的二面角的平面角． 因为BC＝2，AD⊥BC，SD⊥BC，△SBC，△ABC都是等边三角形， 所以SD＝＝＝， AD＝＝＝， 而SA＝，所以△SDA是正三角形， ∴∠ADS＝60°， 即二面角S­BC­A的大小为60°. [答案]　C 我国古代数学名著《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．在如图所示的“堑堵”中，AC＝CB＝CC1，则二面角C1­AB­C的正切值为(　　) A．1 B．2 C． D． 解析　由AC＝CB知，AC⊥CB，取AB的中点M，连接C1M，CM， 由条件，可知∠C1MC即为二面角C1­AB­C的平面角， 设AC＝CB＝CC1＝a，则CM＝a， ∴tan ∠C1MC＝＝. 答案　D 学科网（北京）股份有限公司 $$