4.6 正弦定理和余弦定理（Word教参）-【导学教程】2025年数学新编高考大一轮总复习（人教A版）

4．6　正弦定理和余弦定理 课标要求 考情分析 　　掌握正弦定理、余弦定理，并能运用正弦定理、余弦定理等知识方法解决一些简单的三角形度量问题． 考点考法：利用正弦、余弦定理解三角形是近两年高考的重点和热点内容，主要考查利用两个定理求三角形的边的长度、角的大小等，既有灵活多变的小题，也有考查能力的大题，试题多为中低档题． 核心素养：逻辑推理、直观想象、数学建模． [对应学生用书P93] 1．正弦定理、余弦定理 在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 内容 ＝＝＝2R a2＝__b2＋c2－2bc_cos_A__； b2＝__a2＋c2－2ac_cos_B__； c2＝__a2＋b2－2ab_cos_C__ 变形 (1)a＝2R sin A， b＝__2R_sin_B__， c＝__2R_sin_C__； (2)sin A＝，sin B＝，sin C＝； (3)a∶b∶c＝__sin_A∶sin_B∶sin_C__； (4)＝2R cos A＝； cos B＝； cos C＝ 2．三角形常用面积公式 (1)S＝a·ha(ha表示边a上的高). (2)S＝ab sin C＝__ac_sin_B__＝__bc_sin_A__． (3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形内切圆半径). 1．在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC＝(　　) A．　　 B．　　　 C．　　 D． 解析　在△ABC中，设AB＝c＝5，AC＝b＝3，BC＝a＝7，由余弦定理得cos ∠BAC＝＝＝－，因为∠BAC为△ABC的内角，所以∠BAC＝.故选C. 答案　C 2．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝，c＝2，cos A＝，则b＝(　　) A．－ B．－3 C．3 D． 解析　由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A，得5＝b2＋4－b，化简得3b2－8b－3＝0，即(3b＋1)(b－3)＝0，解得b＝3或b＝－(舍去). 答案　C 3．(不会判断三角形解的个数致误)在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况是(　　) A．有一解　　　 B．有两解 C．无解 D．有解，但解的个数不确定 解析　由正弦定理得＝，所以sin B＝＝＝＞1.所以角B不存在，即满足条件的三角形不存在． 答案　C 4．(因应用正弦定理漏解致误)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝1，b＝，A＝30°，则B＝________． 解析　根据正弦定理＝，得sin B＝＝＝，由于b＝ ＞1＝a，所以B＝45°或135°. 答案　45°或135° 5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝2，b＝3，且cos C＝，则△ABC的面积为________． 解析　在△ABC中，因为cos C＝，所以sin C＝＝，则△ABC的面积S＝ab sinC＝×2×3×＝. 答案　 1．三角形中的边角关系 在△ABC中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B⇔cos A＜cos B． 2．三角形中的三角函数关系 (1)sin (A＋B)＝sin C. (2)cos (A＋B)＝－cos C. (3)sin ＝cos . (4)cos ＝sin . 3．三角形中的射影定理 在△ABC中，a＝b cos C＋c cos B； b＝a cos C＋c cos A； c＝b cos A＋a cos B． 1．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知(4a－c)cos B＝b cos C，则cos B＝________． 解析　由题意，得4a cos B＝c cos B＋b cos C＝a，又a≠0，所以cos B＝. 答案　 2．在△ABC中，若sin A＝sin B，则A，B的大小关系为________；若sin A＞sin B，则A，B的大小关系为________． 解析　根据正弦定理知，在△ABC中，sin A＝sin B⇔a＝b⇔A＝B，sin A＞sin B⇔a＞b⇔A＞B. 答案　A＝B　A＞B [对应学生用书P94] 考点一　利用正弦、余弦定理求边长(角)(基础考点　自练自悟) 1．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cos (B＋C)＝，a＝4，b＝2，则c等于(　　) A．3　　　　　　　　　 B．2 C． D．4 解析　因为在△ABC中，A＋B＋C＝π，所以cos (B＋C)＝cos (π－A)＝－cos A＝，即cos A＝－，由余弦定理可知cos A＝，即－＝，解得c＝－4(舍去)或c＝3，所以c＝3. 答案　A 2．(2023·全国乙卷)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a cos B－b cos A＝c，且C＝，则B＝(　　) A． B． C． D． 解析　由题意结合正弦定理可得 sin A cos B－sin B cos A＝sin C， 即sin A cos B－sin B cos A＝sin ＝ sin A cos B＋sin B cos A， 整理可得sin B cos A＝0，由于B∈， 故sin B>0， 据此可得cos A＝0，A＝， 则B＝π－A－C＝π－－＝. 故选C. 答案　C 3．(2023·天津卷节选)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知a＝，b＝2，A＝120°. (1)求sin B的值； (2)求c的值． 解析　(1)由正弦定理，可得＝，即＝，解得sin B＝. (2)由余弦定理，可得a2＝b2＋c2－2bc cos A， 即39＝4＋c2－2×2×c×， 解得c＝5或c＝－7(舍去).故c＝5. 应用正弦、余弦定理解题的技巧 (1)求边：利用正弦定理变形公式a＝等或余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A等求解． (2)求角：利用正弦定理变形公式sin A＝等或余弦定理变形公式cos A＝等求解． (3)利用式子的特点转化：如出现a2＋b2－c2＝λab的形式用余弦定理，等式两边是关于边或角的正弦的齐次式用正弦定理． 考点二　判断三角形的形状(一题多变　师生共研) 　(1)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b cos C＋c cos B＝a sin A，则△ABC的形状为(　　) A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．不确定 (2)在△ABC中，若c－a cos B＝(2a－b)cos A，则△ABC的形状为____________________． [解析]　(1)因为b cos C＋c cos B＝a sin A， 所以sin B cos C＋sin C cos B＝sin2A， 即sin(B＋C)＝sin2A， 所以sinA＝sin2A，又0＜A＜π. 故sinA＝1，即A＝， 因此△ABC是直角三角形． (2)由正弦定理得sin C－sin A cos B＝2sin A cos A－sin B cos A， 所以sin (A＋B)－sin A cos B＝2sin A cos A－sin B cos A， 故cos A(sin B－sin A)＝0， 所以cos A＝0或sin A＝sin B， 即A＝或A＝B， 故△ABC为直角三角形或等腰三角形． [答案]　(1)A　(2)直角三角形或等腰三角形 1．(变条件)若将本例中(1)的条件改为“2sin A cos B＝sin C”，试判断△ABC的形状． 解析　法一　由已知得2sin A cos B＝sin C＝sin (A＋B)＝sin A cos B＋cos A sin B， 即sin (A－B)＝0， 因为－π＜A－B＜π，所以A＝B， 故△ABC为等腰三角形． 法二　由正弦定理得2a cos B＝c，再由余弦定理得2a·＝c⇒a2＝b2⇒a＝b， 故△ABC为等腰三角形． 2．(变条件)若将本例中(1)的条件改为“＝”，试判断△ABC的形状． 解析　法一　由余弦定理得＝＝，化简得(a2－b2)(c2－a2－b2)＝0， 所以a＝b或c2＝a2＋b2， 所以△ABC为等腰三角形或直角三角形． 法二　由＝可知cos A＞0，cos B＞0， 即A∈，B∈， 结合题意及正弦定理可得＝， 即sin A cos A＝sin B cos B， 所以sin 2A＝sin 2B，则2A＝2B或2A＋2B＝π， 即A＝B或A＋B＝. 所以△ABC为等腰三角形或直角三角形． 判断三角形形状的两种常用途径 [注意]　“角化边”后要注意用因式分解、配方等方法得出边的相应关系；“边化角”后要注意用三角恒等变换公式、三角形内角和定理及诱导公式推出角之间的关系． 考点三　与三角形面积有关的问题(重难考点　师生共研) 　(2023·全国乙卷)在△ABC中，已知∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1. (1)求sin ∠ABC； (2)若D为BC上一点，且∠BAD＝90°，求△ADC的面积． [解析]　(1)由余弦定理可得BC2＝a2＝b2＋c2－2bc cos A＝4＋1－2×2×1×cos 120°＝7， 则BC＝，cos B＝＝＝， sin B＝＝＝. (2)由三角形面积公式可得 ＝＝4， 则S△ADC＝S△ABC＝×＝. 三角形面积问题的常见类型 (1)求三角形面积，一般要先利用正弦定理、余弦定理以及两角和与差的三角函数公式等，求出角与边，再求面积． (2)已知三角形面积解三角形，常选用已知邻边求出其夹角，或利用已知角求出角的两边间的关系． (3)已知与三角形面积有关的关系式，常选用关系式中的角作为面积公式中的角，化为三角形的边角关系，再解三角形． 1．(2022·新高考全国卷Ⅱ改编)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为S1，S2，S3.已知S1－S2＋S3＝，sin B＝，则△ABC的面积为________． 解析　∵边长为a的正三角形的面积为a2， ∴S1－S2＋S3＝(a2－b2＋c2)＝， 又a2－b2＋c2＝2ac cos B，所以ac cos B＝1， 由sin B＝得cos B＝，∴ac＝＝， 故S△ABC＝ac sin B＝××＝. 答案　 2．(2024·大连市双基测试)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(b＋c)(sin B－sin C)＝(sin A－sin C)a. (1)求B的值； (2)若△ABC的面积为，b＝2，求△ABC的周长． 解析　(1)由(b＋c)(sin B－sin C)＝(sin A－sin C)a， 结合正弦定理可得(b＋c)(b－c)＝(a－c)a， 即b2＝a2＋c2－ac，即ac＝a2＋c2－b2， 由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac cos B， 得cos B＝＝， 由于0＜B＜π，所以B＝. (2)因为△ABC的面积为， 所以ac sin B＝ac＝，即ac＝4， 因为b2＝a2＋c2－ac＝4，所以a2＋c2＝8. 所以a＋c＝＝4， 所以a＋b＋c＝6，即△ABC的周长为6. 学科网（北京）股份有限公司 $$