导学微点3 嵌套函数的零点问题（Word教参）-【导学教程】2025年数学新编高考大一轮总复习（人教A版）

[对应学生用书P46] 函数的零点问题是高考命题的热点，常与函数的性质和相关问题交汇．对于嵌套函数的零点，通常先“换元解套”，设中间函数为t，通过换元将复合函数拆解为两个相对简单的函数，借助函数的图象、性质求解． 类型一　嵌套函数零点个数的判断 　已知函数f(x)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝则函数g(x)＝f2(x)－f(x)的零点个数为(　　) A．4　　　　　　　 B．5 C．6 D．7 [解析]　因为当x∈(0，2]时，f(x)＝(x－1)2，当x＞2时，f(x)＝f(x－2)＋1， 所以将f(x)在区间(0，2]上的图象向右平移2个单位长度，同时再向上平移1个单位长度，得到函数f(x)在(2，4]上的图象．同理可得到f(x)在(4，6]，(6，8]，…上的图象．再由f(x)的图象关于y轴对称得到f(x)在(－∞，0)上的图象，从而得到f(x)在其定义域内的图象，如图所示： 令g(x)＝0，得f(x)＝0或f(x)＝1，由图可知直线y＝0与y＝1和函数y＝f(x)的图象共有6个交点，所以函数g(x)共有6个零点．故选C. [答案]　C 破解嵌套函数零点个数问题的主要步骤 (1)换元解套，转化为t＝g(x)与y＝f(t)的零点． (2)依次解方程，令f(t)＝0，求t，代入t＝g(x)求出x的值或判断函数图象交点个数． 已知函数f(x)＝则函数y＝f(f(x))－1的零点个数为(　　) A．7 B．5 C．3 D．2 解析　令u＝f(x)，则f(u)－1＝0，即f(u)＝1. 当u≤1时，f(u)＝2u－1＝1，得u1＝1； 当u＞1时，f(u)＝|ln (u－1)|＝1，即ln (u－1)＝±1，解得u2＝1＋，u3＝1＋e. 如图所示， 由图知，直线u＝1，u＝1＋，u＝1＋e与函数u＝f(x)图象的交点个数分别为3，2，2，所以函数y＝f(f(x))－1的零点个数为3＋2＋2＝7，故选A. 答案　A 类型二　求嵌套函数零点中的参数 　函数f(x)＝若函数g(x)＝f(f(x))－a有三个不同的零点，则实数a的取值范围是________． [解析]　设t＝f(x)，令g(x)＝f(f(x))－a＝0，则a＝f(t).在同一平面直角坐标系内作y＝a，y＝f(t)的图象(如图).当a≥－1时，y＝a与y＝f(t)的图象有两个交点． 设交点的横坐标为t1，t2(不妨设t2＞t1)， 则t1＜－1，t2≥－1. 当t1＜－1时，t1＝f(x)有一解； 当t2≥－1时，t2＝f(x)有两解． 综上，当a≥－1时， 函数g(x)＝f(f(x))－a有三个不同的零点． [答案]　[－1，＋∞) (1)求解本题抓住分段函数的图象性质，由y＝a与y＝f(t)的图象，确定t1，t2的取值范围，进而由t＝f(x)的图象确定零点的个数． (2)求含参数的嵌套函数方程，还应注意让参数的取值“动起来”，抓临界位置，动静结合． 已知函数f(x)＝|ex－1|＋1，若函数g(x)＝[f(x)]2＋(a－2)f(x)－2a有三个零点，则实数a的取值范围是(　　) A.(－2，－1) B．(－1，0) C．(0，1) D．(1，2) 解析　令t＝f(x)，则函数g(x)＝F(t)＝t2＋(a－2)t－2a，由t2＋(a－2)t－2a＝0得，t＝2或t＝－a.f(x)＝|ex－1|＋1＝作出函数f(x)的图象，如图所示，由图可知，当t＝2时，方程f(x)＝|ex－1|＋1＝2有且仅有一个根，则方程f(x)＝|ex－1|＋1＝－a必有两个不同的实数根，此时由图可知，1＜－a＜2，即－2＜a＜－1. 答案　A 学科网（北京）股份有限公司 $$