1.2 常用逻辑用语（Word教参）-【导学教程】2025年数学新编高考大一轮总复习（人教A版）

1．2　常用逻辑用语 课标要求 考情分析 1．理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；理解判定定理与充分条件、性质定理与必要条件、数学定义与充要条件的关系． 2．理解全称量词与存在量词的意义；能正确地对全称量词命题和存在量词命题进行否定． 考点考法：本部分内容常与集合、函数、不等式等知识交汇考查，属于低频考点．多以选择题、填空题或解答题中某一部分的形式呈现，属于低档题． 核心素养：数学运算、逻辑推理． [对应学生用书P4] 1．充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q，则p是q的__充分__条件，q是p的__必要__条件 p是q的__充分不必要__条件 p⇒q且qp p是q的__必要不充分__条件 p q且q⇒p p是q的__充要__条件 p⇔q p是q的__既不充分也不必要__条件 p q且q p [导学点清]　区别A是B的充分不必要条件(A⇒B且B A)，与A的充分不必要条件是B(B⇒A且A B)两者的不同． 2．全称量词和存在量词 类别 全称量词 存在量词 量词 所有的、任意一个 存在一个、至少有一个 符号 ∀ ∃ 命题 含有__全称量词__的命题叫做全称量词命题 含有__存在量词__的命题叫做存在量词命题 命题 形式 “对M中任意一个x，p(x)成立”，可用符号简记为“__∀x∈M,_p(x)__” “存在M中的元素x，p(x)成立”，可用符号简记为“__∃x∈M，p(x)__” [导学点清]　(1)全称量词是“全部”的含义，不能有例外；(2)存在量词是“部分”的含义，不能是“全部”． 3．全称量词命题和存在量词命题 名称 全称量词命题 存在量词命题 结构 对M中的任意一个x，有p(x)成立 存在M中的元素x，p(x)成立 简记 __∀x∈M，p(x)__ ∃x∈M，p(x) 否定 ∃x∈M，¬p(x) __∀x∈M，¬p(x)__ [导学点清]　对没有量词的命题进行否定时，要结合命题的含义先加上量词，再改变量词． 1．(多选)下列命题为真命题的是(　　) A．∀x∈R，x2＞0　 B．∀x∈R，－1≤sin x≤1 C．∃x∈R，2x＜0 D．∃x∈R，tan x＝2 解析　当x＝0时，x2＝0，所以A选项错误；当x∈R时，－1≤sin x≤1，所以B选项正确；因为2x＞0，所以C选项错误；因为函数y＝tan x∈R，所以D选项正确． 答案　BD 2．(2023·天津卷)“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析　由a2＝b2，则a＝±b，当a＝－b≠0时a2＋b2＝2ab不成立，充分性不成立； 由a2＋b2＝2ab，则(a－b)2＝0，即a＝b，显然a2＝b2成立，必要性成立； 所以“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的必要不充分条件． 故选B. 答案　B 3．在△ABC中，“cos A＜cos B”是“A＞B”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析　当cos A＜cos B时，因为y＝cos x在(0，π)内单调递减，所以A＞B，所以“cos A＜cos B”是“A＞B”的充分条件； 当A＞B时，因为y＝cos x在(0，π)内单调递减，所以cos A＜cos B，所以“cos A＜cos B”是“A＞B”的必要条件．故选C. 答案　C 4．(忽视省略的量词致误)命题“正方形都是矩形”的否定是“____________”． 答案　存在一个正方形，这个正方形不是矩形 5．(理解概念不正确致误)若“x＞3”是“x＞m”的必要不充分条件，则m的取值范围是________． 解析　因为“x＞3”是“x＞m”的必要不充分条件，所以(m，＋∞)是(3，＋∞)的真子集， 由图可知m＞3. 答案　(3，＋∞) 1．若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}，则 (1)若A⊆B，则p是q的充分条件； (2)若B⊆A，则p是q的必要条件； (3)若AB，则p是q的充分不必要条件； (4)若BA，则p是q的必要不充分条件； (5)若A＝B，则p是q的充要条件． 2．命题p与p的否定的真假性相反． 1．设a∈R，则“a＞1”是“a2＞a”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析　求解二次不等式a2＞a可得a＞1或a＜0，据此可知，“a＞1”是“a2＞a”的充分不必要条件．故选A. 答案　A 2．若“∀x∈R，x2－ax－2a＞0”是假命题，则实数a的取值范围是________． 解