中考大题05 四边形的证明与计算问题（9题型+必刷大题）-2024年中考数学二轮复习讲练测（全国通用）

中考大题05 四边形的证明与计算问题 四边形在中考数学中是占比较大，考察内容主要有各个特殊四边形的性质、判定、以及其应用:考察题型上从选择到填空再到解答题都有，题型变化也比较多样;并且考察难度也都是中等和中等偏上，难度较大，综合性比较强.所以需要考生在复习这块内容的时候一定要准确掌握其性质与判定，并且会在不同的结合问题上注意和其他考点的融合. 题型一： 利用四边形的性质与判定求解 1．（2023·广东深圳·中考真题）（1）如图，在矩形中，为边上一点，连接， ①若，过作交于点，求证：； ②若时，则______．    （2）如图，在菱形中，，过作交的延长线于点，过作交于点，若时，求的值．    （3）如图，在平行四边形中，，，，点在上，且，点为上一点，连接，过作交平行四边形的边于点，若时，请直接写出的长．    2．（2023·甘肃兰州·中考真题）综合与实践 【思考尝试】 （1）数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在矩形ABCD中，E是边上一点，于点F，，，．试猜想四边形的形状，并说明理由； 【实践探究】 （2）小睿受此问题启发，逆向思考并提出新的问题：如图2，在正方形中，E是边上一点，于点F，于点H，交于点G，可以用等式表示线段，，的数量关系，请你思考并解答这个问题； 【拓展迁移】 （3）小博深入研究小睿提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形中，E是边上一点，于点H，点M在上，且，连接，，可以用等式表示线段，的数量关系，请你思考并解答这个问题．    3．（2023·江苏徐州·中考真题）【阅读理解】如图1，在矩形中，若，由勾股定理，得，同理，故． 【探究发现】如图2，四边形为平行四边形，若，则上述结论是否依然成立？请加以判断，并说明理由． 【拓展提升】如图3，已知为的一条中线，．求证：． 【尝试应用】如图4，在矩形中，若，点P在边上，则的最小值为_______．    1. 平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系： 2. 平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质 四边形 边 角 对角线 对称性 平行四边形 对边平行且相等 对角相等 两条对角线互相平分 中心对称 矩形 对边平行且相等 四个角都是直角 两条对角线互相平分且相等 轴对称、中心对称 菱形 对边平行且四条边都相等 对角相等 两条对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角 轴对称、中心对称 正方形 对边平行且四条边都相等 四个角都是直角 两条对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角 轴对称、中心对称 3 平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定 四边形 边 角 对角线 平行四边形 1）两组对边分别平行 2) 两组对边分别相等 3) 一组对边平行且相等 两组对角分别相等 两组对角线互相平分 矩形 1）平行四边形+ 一直角 2）四边形+三直角 平行四边形+两条对角线相等 菱形 1）平行四边形+一组邻边相等 2）四边形+四条边都相等 平行四边形+两条对角线互相垂直 正方形 矩形+一组邻边相等 菱形+一直角 两条对角线互相垂直平分且相等的四边形 1．（2023·山东济南·模拟预测）如图1，在矩形中，点分别在边上，，于点． (1)求证：四边形是正方形； (2)延长到点，使得，判断的形状，并说明理由． (3)如图2，在菱形中，点分别在边上，与相交于点，，，，，求的长． 2．（2023·广东深圳·模拟预测）【问题发现】 （1）在一次小组合作探究课上，老师将正方形和正方形按如图所示的位置摆放，连接和，请直接写出线段与的数量关系______ ，位置关系______ ；    【类比探究】 （2）若将“正方形和正方形改成“矩形和矩形，且矩形 矩形，，，如图，点、、三点共线，点在线段上时，若，求的长．    【拓展延伸】 （3）若将正方形和正方形改成菱形和菱形，且菱形∽菱形如图，，，平分，点在射线上，在射线上截取，使得，连接，，当时，直接写出的长．    3．（2023·福建龙岩·模拟预测）综合与实践：过四边形的顶点A作射线，P为射线上一点，连接．将绕点A顺时针方向旋转至，记旋转角，连接． 【探究发现】如图1，数学兴趣小组探究发现，如果四边形是正方形，且，无论点P在何处，总有，请证明这个结论． 【类比迁移】如图2，如果四边形是菱形，，，连接．当，时，求的长． 【拓展应用】如图3，如果四边形是矩形，，，平分，．在射线上截取，使得．当是直角三角形时，请直接写出的长．    题型二： 中点四边形 1．（2023·山西·中考真题）阅读与思考：下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 瓦里尼翁平行四边形 我们知道，如图1，在四边形中，点分别是边，的中点，顺次连