专题19.5 菱形中的几何综合（压轴题专项讲练）-2023-2024学年八年级数学下册压轴题专项讲练系列（沪科版）

专题19.5 菱形中的几何综合 · 思维方法 正向思维：是一类常规性的、传统的思维形式，指的是大家按照自上而下，由近及远、从左到右、从可知到未知等一般而言的线性方向做出探究问题的思维途径。 逆向思维：是指在剖析、破解数学难题进程中，可以灵活转换思维方向，从常规思维的相反方向出发进行探索的思维方式，比如正向思维无法解决问题时可反其道而行采取逆向思维，直接证明有困难时可采用间接证明。 分类讨论思想：当问题所给的对象不能进行统一研究时，我们就需要对研究对象进行分类，然后对每一类分别进行研究，得出每一类的结论，最后综合各类的结果，得到整个问题的解答。分类讨论的分类并非是随心所欲的，而是要遵循以下基本原则： 1. 不重（互斥性）不漏（完备性）； 2. 按同一标准划分（同一性）； 3. 逐级分类（逐级性）。 · 知识点总结 一、菱形的定义 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． 二、菱形的性质 1．菱形具有平行四边形的一切性质； 2．菱形的四条边都相等； 3．菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角； 4．菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线． 三、菱形的判定 1．一组邻边相等的平行四边形是菱形； 2．四条边都相等的四边形是菱形． 3．对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）． · 典例分析 【典例1】菱形中，对角线，，点从出发，沿以/秒的速度匀速运动，到点停止，过作边的垂线交于，以为边向右作等边，设运动时间为秒． （1）菱形的边长为______． （2）当在边上运动时，用含的代数式表示、． （3）连接，当是直角三角形时，求的值． （4）当菱形的对角线平分的边时，的取值范围是____________． 【思路点拨】 （1）根据菱形的边长相等以及等边三角形的性质即可； （2）设运动秒，则，根据所对直角边是斜边的一半求出，进一步即可表示和； （3）分类讨论：点在上时，①当时，表示出和，根据列方程即可求得；②当时，表示出和，根据列方程即可求得；点在上时，此时为钝角三角形； （4）分类讨论：当平分时，则，表示出，，根据列方程即可；当平分时，此时点在上，即可得出取值范围． 【解题过程】 （1）解：∵四边形是菱形， ∴， ∵，对角线， ∴是等边三角形， ∴． 故答案为：． （2）设运动秒， ∵点从出发，沿以/秒的速度匀速运动，到点停止，过作边的垂线交于， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴． ∴，． （3）点在上，当是直角三角形，设运动时间为秒， ①时，如图所示： ∵，是等边三角形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴或（不符合题意，舍去） ∴， ∴， ∴（秒）； ②当时，如图所示： ∵，， ∴    ， ∴， ∴， ∴（秒）． ③点在上运动时，设交于点，如图所示， ∵，是等边三角形， ∴，，， ∵四边形是菱形，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴是钝角三角形，不可能是直角三角形． ∴综上所述，当是直角三角形时，的值为秒或秒． （4）当菱形的对角线平分的边时， 如图所示，当平分时，此时点在上， ∵四边形是菱形，， ∴， ∵，是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得：或（不符合题意，舍去） ∴， ∴， ∴（秒）； ②当平分时，此时点在上，如图所示： ∵，， ∴， ∵是等边三角形，， ∴是边上的中线， ∴点是的中点， 当在点时，， ∴， 当在点时，， ∴， ∴在上运动时，的取值范围是， 综上所述，当菱形的对角线平分的边时，或． 故答案为：或． · 学霸必刷 1．（22-23八年级下·福建厦门·期中）在菱形中，，，点在上，，若点是菱形四条边上异于点的一点，，则以下长度中，不可能是的长度的是（    ） A． B．4 C． D． 2．（23-24九年级上·宁夏银川·期中）如图，在菱形中，，，，分别是，的中点，，相交于点，连接，，有下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（23-24九年级上·湖北·周测）如图，在菱形中，，点分别在上，且，连接交于点，延长到使，连接，则以下四个结论：①；②；③是等边三角形；④．其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（23-24九年级下·黑龙江绥化·阶段练习）如图，在一张菱形纸片中，，，点E在边上（不与点B，C重合），将沿直线折叠得到，连接，，．有以下四个结论：①；②沿直线折叠过程中，是一个定值；③当时，四边形的面积为；④当平分时，．其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．