8.7 抛物线（Word练习）-【导学教程】2025年数学新编高考大一轮总复习（人教A版）

[对应学生用书P357] A级[基础过关] 1．抛物线x＝2y2的准线方程是(　　) A．x＝－　　　　　　　 B．x＝－ C．x＝－ D．x＝－ 解析　x＝2y2可化为y2＝x，所以抛物线x＝2y2的准线方程为x＝－.故选C. 答案　C 2．已知抛物线的准线是圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2＋y－3＝0的公共弦所在的直线，则抛物线的标准方程为(　　) A．y2＝4x B．y2＝－4x C．x2＝4y D．x2＝－4y 解析　将两圆的方程x2＋y2－4＝0，x2＋y2＋y－3＝0相减得y＝－1，所以直线y＝－1是圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2＋y－3＝0的公共弦所在的直线，即抛物线的准线，所以抛物线的标准方程为x2＝4y.故选C. 答案　C 3．一抛物线状的拱桥，当桥顶离水面1 m时，水面宽4 m，若水面下降3 m，则水面宽为(　　) A．6 m B．7 m C．8 m D．9 m 解析　根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系． 设桥顶离水面1 m时，水面与抛物线交于A，B两点，易知A(2，－1)，当水面下降3 m时，水面与抛物线交于C，D两点，设C(x0，－4)，且x0＞0.设抛物线方程为y＝ax2，将A(2，－1)代入，易得a＝－，故抛物线方程为y＝－x2，代入C(x0，－4)，得－4＝－x，解得x0＝4，故水面下降3 m，则水面宽为8 m. 答案　C 4．已知点P是抛物线y2＝8x上的一个动点，则点P到点A(0，2)的距离与到抛物线准线距离之和的最小值是(　　) A．2 B．3 C． D．2 解析　由y2＝8x可知p＝4，所以F(2，0)为抛物线的焦点， 根据抛物线的定义知，点P到抛物线准线的距离等于|PF|，所以|PF|＋|PA|≥|AF|＝＝2，当且仅当点A，P，F三点共线，且P在线段AF上时，等号成立．故选D. 答案　D 5．(多选)已知F是抛物线C：y2＝16x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则(　　) A．C的准线方程为x＝－4 B．点F的坐标为(0，4) C．|FN|＝12 D．△ONF的面积为16(O为坐标原点) 解析　如图，不妨设点M位于第一象限，设抛物线的准线l与x轴交于点F′，作MB⊥l于点B，NA⊥l于点A.由抛物线的解析式可得准线方程为x＝－4，点F的坐标为(4，0)，则|AN|＝4.|FF′|＝8.在直角梯形ANFF′中，中位线|MB|＝＝6，由抛物线的定义有|MF|＝|MB|＝6，结合题意，有|MN|＝|MF|＝6，故|FN|＝|MF|＋|MN|＝6＋6＝12，|ON|＝＝8，S△ONF＝×8×4＝16.故选ACD. 答案　ACD 6．(2023·全国乙卷)已知点A(1，)在抛物线C：y2＝2px上，则A到C的准线的距离为________． 解析　由题意，可得2＝2p×1，则2p＝5，抛物线的方程为y2＝5x，准线方程为x＝－，点A到C的准线的距离为1－＝.故答案为. 答案　 7．若点P到直线y＝－1的距离比它到点(0，3)的距离小2，则点P的轨迹方程是____________________． 解析　由题意知点P到直线y＝－3的距离与它到点(0，3)的距离相等，所以点P的轨迹是以(0，3)为焦点，y＝－3为准线的抛物线，因此，设P的轨迹方程为x2＝2py(p＞0)，可得p＝3，解得p＝6，2p＝12，所以动点P的轨迹方程为x2＝12y. 答案　x2＝12y 8．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点与椭圆：＋＝1的一个焦点重合． (1)求抛物线C的方程； (2)若直线l：x＝my＋4交抛物线C于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，O为原点，求证：⊥. (1)解析　因为椭圆：＋＝1的焦点坐标为(±1，0)，所以＝1，即p＝2. 所以抛物线C的方程为y2＝4x. (2)证明　联立消去x，整理得y2－4my－16＝0.所以y1y2＝－16. 所以16x1x2＝(y1y2)2＝162，即x1x2＝16， 所以·＝x1x2＋y1y2＝0，所以⊥. B级[能力提升] 9．(多选)设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，以F为圆心，|FA|为半径的圆交l于B，D两点，若∠ABD＝90°，且△ABF的面积为9，则下列选项正确的是(　　) A．|BF|＝3 B．△ABF是等边三角形 C．点F到准线的距离为3 D．抛物线C的方程为y2＝12x 解析　根据题意，作出满足题意的几何图形如图所示， 由抛物线及圆的定义可得|AB|＝|AF|＝|BF|，所以△ABF是等边三角形，故B正确； 由△ABF的面积为|BF|2＝9， 可知|BF|＝6，故A错误；∠FBD＝30°， 又点F到准线的距离为|BF|sin 30°＝3＝p，故C正确； 该抛物线的方程为y2＝6x，故D错误． 答案　BC 10．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，A为抛物线上的动点，直线AF与抛物线的另一交点为B，A关于点P(4，2)的对称点为C，则|AB|＋|BC|的最小值为(　　) A．3 B．5 C．6 D．10 解析　取AB的中点为G，过点A，G，B分别作准线的垂线交准线于点D，E，H，连接GP.点P到准线的距离为d＝5，由定义可知|AD|＝|AF|，|BF|＝|HB|. 所以|EG|＝(|AD|＋|HB|)，|PG|＝|BC|， 所以|AB|＋|BC|＝2(|EG|＋|PG|)≥2d＝10(当E，G，P三点共线时等号成立)，即|AB|＋|BC|的最小值为10.故选D. 答案　D 11．以抛物线C：y2＝4x的焦点F为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点，已知|AB|＝8，则|DE|＝________． 解析　由抛物线方程知＝1，∴F(1，0)， 不妨设点A在第一象限，如图所示， 由|AB|＝8，y2＝4x得A(4，4)， ∴圆的半径r＝＝5， ∴|DE|＝2＝2＝2. 答案　2 12．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，准线为l，A，B是抛物线C上的两个动点，且AF⊥AB，∠ABF＝30°，设线段AB的中点M在准线l上的射影为点N，则的值是________． 解析　如图所示，作BE⊥l，AD⊥l，设|AF|＝a，|BF|＝b， 由抛物线定义得|AF|＝|AD|，|BF|＝|BE|， 在梯形ABED中，2|MN|＝|AD|＋|BE|＝a＋b， 因为AF⊥AB，∠ABF＝30°， 所以b＝2a，则|MN|＝， 又|AB|＝＝a，故＝＝. 答案　 13．已知在抛物线C：x2＝2py(p＞0)的第一象限的点P(x，1)到其焦点的距离为2. (1)求抛物线C的方程和点P的坐标； (2)过点的直线l交抛物线C于A，B两点，若∠APB的角平分线与y轴垂直，求弦AB的长． 解析　(1)由1＋＝2，可得p＝2， 故抛物线的方程为x2＝4y，当y＝1时，x2＝4， 又x＞0，所以x＝2，所以点P的坐标为(2，1). (2)由题意可得直线l的斜率存在， 设直线l的方程为y＝k(x＋1)＋，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由得x2－4kx－4k－2＝0， 所以Δ＝16k2＋4(4k＋2)＞0，x1＋x2＝4k，x1x2＝－4k－2， 因为∠APB的角平分线与y轴垂直， 所以kPA＋kPB＝0， 所以kPA＋kPB＝＋＝0， 即＋＝0，即x1＋x2＋4＝0， 所以k＝－1，x1＋x2＝－4，x1x2＝2， 所以|AB|＝|x1－x2| ＝＝4. C级[拓广探索] 14．(多选)已知P(x，y)为曲线x＝2上一动点，则下列说法正确的是(　　) A．的最小值为2 B．P到直线y＝－x－2的距离的最小值为 C．＋的最小值为6 D．存在一个定点和一条定直线，使得P到定点的距离等于P到定直线的距离 解析　曲线x＝2，即x2＝4y(x≥0)，则曲线x＝2为抛物线x2＝4y的右半部分，如图所示．可得抛物线的焦点坐标为F(0，1)，准线方程为l：y＝－1，对于A，由＝|PF|≥1，所以A错误； 对于B，结合图象可得曲线上的点中原点到直线y＝－x－2的距离最小，最小值为＝，所以B正确； 对于C，设点A(1，5)到准线l：y＝－1的距离为d，点P到准线l：y＝－1的距离为d1，则＋＝|PF|＋|PA|＝d1＋|PA|≥d＝5＋1＝6， 所以＋的最小值为6，所以C正确； 对于D，根据抛物线的定义，点P到焦点F(0，1)的距离等于点P到准线的距离，所以D正确． 答案　BCD 15．已知抛物线C：y2＝2px过点P(1，1)，过点作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点． (1)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程； (2)求证：A为线段BM的中点． (1)解析　把P(1，1)代入y2＝2px得p＝，所以抛物线C的方程为y2＝x，焦点坐标为，准线方程为x＝－. (2)证明　因为BM⊥x轴， 所以设M(x1，y1)，N(x2，y2)，A(x1，yA)，B(x1，yB)， 根据题意显然有x1≠0. 若要证明A为BM的中点，只需证2yA＝yB＋y1即可，左右同除以x1有＝＋， 即只需证明2kOA＝kOB＋kOM成立，其中kOA＝kOP＝1，kOB＝kON，当直线MN斜率不存在或斜率为零时，显然与抛物线只有一个交点不满足题意，所以直线MN斜率存在且不为零． 设直线MN：y＝kx＋(k≠0)， 联立消y得，k2x2＋(k－1)x＋＝0， Δ＝(k－1)2－4××k2＝1－2k＞0，所以k＜. 由根与系数的关系可知x1＋x2＝，① x1x2＝，② kOB＋kOM＝kON＋kOM＝＋＝＋＝2k＋， 将①②代入上式，有2k＋＝2k＋＝2k＋2(1－k)＝2， 即kON＋kOM＝kOB＋kOM＝2＝2kOA， 所以2yA＝yB＋y1恒成立， 所以A为BM的中点，得证． 学科网（北京）股份有限公司 $$