8.5 第2课时 直线与椭圆（Word练习）-【导学教程】2025年数学新编高考大一轮总复习（人教A版）

[对应学生用书P353] A级[基础过关] 1．若直线mx＋ny＝4与圆x2＋y2＝4没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点的个数为(　　) A．0或1　　　　　　　 B．2 C．1 D．0 解析　由题意＞2，得m2＋n2＜4，故点P(m，n)在以原点为圆心，2为半径的圆内，即在椭圆内部，过P点的直线与该椭圆必有2个交点．故选B. 答案　B 2．已知F1(－1，0)，F2(1，0)是椭圆C的焦点，过F2且垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，且|AB|＝3，则椭圆C的方程为(　　) A．＋y2＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 解析　由题意可知解得所以椭圆C的方程为＋＝1. 答案　C 3．已知椭圆＋y2＝1与直线y＝x＋m交于A，B两点，且|AB|＝，则实数m的值为(　　) A．±1 B．± C．±2 D．±4 解析　由消去y并整理，得3x2＋4mx＋2m2－2＝0.由Δ＞0，得m2＜3.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝.由题意，得|AB|＝＝，解得m＝±1，满足m2＜3.故选A. 答案　A 4．已知椭圆M：＋＝1(a＞b＞0)，过M的右焦点F(3，0)作直线交椭圆于A，B两点，若AB的中点坐标为(2，1)，则椭圆M的方程为(　　) A．＋＝1 B．＋y2＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 解析　直线AB的斜率k＝＝－1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入椭圆方程可得＋＝1，＋＝1，两式相减，整理得－＝0，又c＝3，a2＝b2＋c2.联立解得a2＝18，b2＝9.所以椭圆M的方程为＋＝1. 答案　D 5．(多选)设椭圆＋＝1的右焦点为F，直线y＝m(0＜m＜)与椭圆交于A，B两点，则(　　) A．|AF|＋|BF|为定值 B．△ABF的周长的取值范围是[6，12] C．当m＝时，△ABF为直角三角形 D．当m＝1时，△ABF的面积为 解析　设椭圆的左焦点为F′，则|AF′|＝|BF|，所以|AF|＋|BF|＝|AF|＋|AF′|＝6为定值，A正确；△ABF的周长为|AB|＋|AF|＋|BF|，因为|AF|＋|BF|为定值6，且|AB|的取值范围是(0，6)，所以△ABF的周长的取值范围是(6，12)，B错误；设点A在点B的左侧，将y＝与椭圆方程联立，可解得A，B，又F(，0)，所以·＝×＋＝0，即AF⊥BF，所以△ABF为直角三角形，C正确；将y＝1与椭圆方程联立，解得A(－，1)，B(，1)，所以S△ABF＝×2×1＝，D正确．故选ACD. 答案　ACD 6．已知椭圆C：＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，直线AF1与椭圆C的另一个交点为B，则△ABF2的面积为________． 解析　由题意知A(0，1)，F1(－1，0)，F2(1，0)，直线AF1的方程为y＝x＋1，联立方程组解得或即B， 所以＝×2×＝. 答案　 7．与椭圆＋y2＝1有相同的焦点且与直线l：x－y＋3＝0相切的椭圆的离心率为________． 解析　由题意，设所求椭圆的方程为＋＝1(a>1). 联立方程组得(2a2－1)x2＋6a2x＋10a2－a4＝0， 因为直线l与椭圆相切， 所以Δ＝36a4－4(2a2－1)(10a2－a4)＝0， 化简得a4－6a2＋5＝0，即a2＝5或a2＝1(舍)， 则a＝，又c＝1，所以e＝＝＝. 答案　 8．已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m. (1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围； (2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程． 解析　(1)由消去y，整理得5x2＋2mx＋m2－1＝0， 当直线与椭圆有公共点时， Δ＝4m2－20(m2－1)≥0，整理得4m2－5≤0， 解得－≤m≤， 即实数m的取值范围是. (2)设所截弦的两端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由(1)可得 所以弦长|AB|＝＝× ＝×，因此当m＝0时，弦长最大，此时所求直线的方程为y＝x. B级[能力提升] 9．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的短轴长为4，焦距为2.过椭圆C的上顶点B作圆x2＋y2＝2的两条切线，与椭圆C分别交于另外两点M，N，则△BNM的面积为(　　) A．6 B． C． D． 解析　由题意知，b＝2，c＝，a2＝6，所以椭圆C的方程为＋＝1，如图所示： 设直线BN的方程为y＝kx＋2， 则原点到直线BN的距离d＝， 因为直线BN与圆x2＋y2＝2相切， 所以＝，解得k＝±1， 则直线BN的方程为y＝－x＋2， 由解得x＝0不符合题意，舍去，即N，同理求得M， 所以△BNM的面积为S＝×|MN|×|BD|＝××＝，故选B. 答案　B 10．(多选)设椭圆的方程为＋＝1，斜率为k的直线不经过原点O，而且与椭圆相交于A，B两点，M为线段AB的中点，下列结论正确的有(　　) A．直线AB与OM垂直 B．若点M坐标为(1，1)，则直线方程为2x＋y－3＝0 C．若直线方程为y＝x＋1，则点M坐标为 D．若直线方程为y＝x＋2，则|AB|＝ 解析　对于A项，当k≠0时，根据椭圆的中点弦的性质得kAB·kOM＝－＝－2≠－1，所以A项不正确； 对于B项，根据kAB·kOM＝－2，所以kAB＝－2，所以直线方程为y－1＝－2(x－1)，即2x＋y－3＝0，所以B项正确； 对于C项，若直线方程为y＝x＋1，点M，则kAB·kOM＝1×4＝4≠－2，所以C项不正确； 对于D项，若直线方程为y＝x＋2，与椭圆方程＋＝1联立，得到2x2＋(x＋2)2－4＝0，整理得3x2＋4x＝0，解得x1＝0，x2＝－， 所以|AB|＝×＝，所以D项正确．故选BD. 答案　BD 11．设椭圆C：＋＝1的左焦点为F，过F的直线l与椭圆C交于A，B两点(其中点A在x轴上方)，点M坐标为，若直线l的倾斜角为60°，则＝________． 解析　由题意可知F(－2，0)，则l的方程为y＝(x＋2)，联立直线与椭圆的方程得则有32x2＋108x＋63＝0，解得x＝－或x＝－，由于点A在x轴上方， 所以A，B， 因此＝＝＝2. 答案　2 12．(2024·衡水模拟)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为C上的动点．若|PF1|＋|PF2|＝4，且点P到直线x－y＋6＝0的最小距离为 ，则C的离心率为________． 解析　由题意知2a＝4，解得a＝2，易知直线x－y＋6＝0的倾斜角为45°，所以在竖直方向向下移动2个单位长度，此时直线为x－y＋4＝0，且与C相切，点P在切点处，且点P到直线x－y＋6＝0的距离即为. 联立得(12＋b2)x2＋96x＋12(16－b2)＝0，所以Δ＝962－48(12＋b2)(16－b2)＝0，解得b2＝4，所以c2＝a2－b2＝8，即c＝2，所以e＝＝＝，即C的离心率为. 答案　 13．椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)经过点P，且两焦点与短轴的两个端点的连线构成一个正方形． (1)求椭圆C的标准方程； (2)过椭圆C的右焦点F作直线l交C于A，B两点，且＝2，求|AB|. 解析　(1)因为两焦点与短轴的两个端点的连线构成一个正方形，所以b＝c. 因为椭圆过点P，所以＋＝1. 又a2＝b2＋c2，解得a2＝2，b2＝1， 所以椭圆C的标准方程为＋y2＝1. (2)由(1)知F(1，0)， 设lAB：x＝my＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立方程得(m2＋2)y2＋2my－1＝0， 所以 因为＝2，所以y1＝－2y2， 所以 所以2＝，解得m2＝， 所以|AB|＝·|y1－y2|＝·＝. C级[拓广探索] 14．已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)，则椭圆在其上一点A(x0，y0)处的切线方程为＋＝1，试运用该性质解决以下问题：椭圆C1：＋y2＝1，点B为C1在第一象限中的任意一点，过点B作C1的切线l，l分别与x轴和y轴的正半轴交于C，D两点，则△OCD面积的最小值为(　　) A．1 B． C． D．2 解析　设B(x1，y1)(x1＞0，y1＞0)，由题意得，过点B的切线l的方程为＋y1y＝1， 令y＝0，可得C，令x＝0，可得D，所以△OCD面积S＝××＝， 又点B在椭圆上，所以＋y＝1，所以S＝＝＝＋≥2＝，当且仅当＝，即x1＝1，y1＝时等号成立，所以△OCD面积的最小值为.故选C. 答案　C 15．在平面直角坐标系Oxy中，已知椭圆C：＋y2＝1. (1)设椭圆C上的左、右焦点分别为F1，F2，T是椭圆C上的一个动点，求·的取值范围； (2)设A(0，－1)，与坐标轴不垂直的直线l交椭圆C于B，D两点，若△ABD是以A为直角顶点的等腰直角三角形，求直线l的方程． 解析　(1)由题意得F1(－，0)，F2(，0). 设T(x0，y0)，则·＝(－－x0，－y0)·(－x0，－y0)＝x＋y－3. 因为点T(x0，y0)在椭圆C上，所以＋y＝1， 所以·＝x－2，且x∈[0，4]， 所以·的取值范围是[－2，1]. (2)因为直线l与坐标轴不垂直，故设直线l的方程为y＝kx＋m(m≠－1，k≠0)，B(x1，y1)，D(x2，y2). 由 得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0， 所以x1＋x2＝－，x1x2＝. 因为△ABD是以A为直角顶点的等腰直角三角形， 所以AB⊥AD，即·＝0， 所以(y1＋1)(y2＋1)＋x1x2＝0， 所以(kx1＋m＋1)(kx2＋m＋1)＋x1x2＝0， 则(1＋k2)x1x2＋k(m＋1)(x1＋x2)＋(m＋1)2＝0， 即(1＋k2)×－k(m＋1)×＋(m＋1)2＝0，则4(1＋k2)(m－1)－8k2m＋(1＋4k2)·(m＋1)＝0，解得m＝. 又线段BD的中点M，且AM⊥BD，所以＝－，即3m＝1＋4k2，解得k＝±. 又当k＝±，m＝时，Δ＝64k2m2－4(1＋4k2)·(4m2－4)＝＞0， 所以满足条件的直线l的方程为y＝±x＋. 学科网（北京）股份有限公司 $$