8.4 直线与圆、圆与圆的位置关系（Word练习）-【导学教程】2025年数学新编高考大一轮总复习（人教A版）

[对应学生用书P349] A级[基础过关] 1．圆(x＋1)2＋(y－2)2＝4与直线3x＋4y＋5＝0的位置关系为(　　) A．相离　　　　　　　 B．相切 C．相交 D．不确定 解析　由题意知，圆(x＋1)2＋(y－2)2＝4的圆心为(－1，2)，半径r＝2，则圆心到直线3x＋4y＋5＝0的距离d＝＝2＝r，所以直线3x＋4y＋5＝0与圆(x＋1)2＋(y－2)2＝4的位置关系是相切． 答案　B 2．已知圆C1：x2＋y2－x－y＝0，圆C2：x2＋y2－mx－ny＝0，若圆C2平分圆C1的周长，则m＋n＝(　　) A．1 B．2 C．4 D． 解析　由x2＋y2－x－y＝0，得＋＝，所以圆C1：x2＋y2－x－y＝0的圆心为C1，由x2＋y2－x－y＝0和x2＋y2－mx－ny＝0，得(1－m)x＋(1－n)y＝0，所以两圆公共弦所在的直线方程为(1－m)x＋(1－n)y＝0，因为圆C2平分圆C1的周长，所以C1在直线(1－m)x＋(1－n)y＝0上，所以(1－m)＋(1－n)＝0，得m＋n＝2.故选B. 答案　B 3．已知直线l：x＋ay－1＝0是圆C：x2＋y2－6x－2y＋1＝0的对称轴，过点A(－1，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|＝(　　) A．1 B．2 C．4 D．8 解析　由题意得直线l过圆心C(3，1)，故3＋a－1＝0，解得a＝－2，所以点A(－1，－2)，|AC|＝＝5.又半径r＝3，所以|AB|＝＝4，故选C. 答案　C 4．已知直线l：x＋2y－1＝0及圆C：(x＋1)2＋(y＋2)2＝4，过直线l上任意一点P作圆C的一条切线PA，A为切点，则|PA|的最小值是(　　) A． B． C． D． 解析　根据题意，圆C：(x＋1)2＋(y＋2)2＝4的圆心C(－1，－2)，半径r＝2，过直线l：x＋2y－1＝0上任意一点P向圆引切线PA，切点为A， 则|PA|＝＝，当|PC|取得最小值时，|PA|取得最小值． 又|PC|的最小值即点C到直线l的距离d＝＝， 所以|PA|的最小值为.故选A. 答案　A 5．(多选)已知圆(x－1)2＋(y－1)2＝4与直线x＋my－m－2＝0，则(　　) A．直线与圆必相交 B．直线与圆不一定相交 C．直线与圆相交所截的最短弦长为2 D．直线与圆可以相切 解析　由题意，圆(x－1)2＋(y－1)2＝4的圆心C(1，1)，半径r＝2， 直线x＋my－m－2＝0变形得x－2＋m(y－1)＝0，得直线过定点A(2，1)， 因为|CA|＝＝1＜2，所以直线与圆必相交，故A正确；B、D错误； 由平面几何知识可知，当直线与过定点A和圆心C的直线垂直时，弦长有最小值， 此时弦长为2＝2，故C正确．故选AC. 答案　AC 6．若圆C1：(x＋1)2＋y2＝2与圆C2：x2＋y2－4x＋6y＋m＝0内切，则实数m＝________． 解析　由题意得C1(－1，0)，C2(2，－3)，r1＝，r2＝，|C1C2|＝＝3，根据两圆内切得|C1C2|＝－＝3，解得m＝－19. 答案　－19 7．(2024·惠州第一次调研)过点P(2，2)作圆x2＋y2＝4的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为____________________． 解析　如图，数形结合易知切点分别为A(0，2)，B(2，0)(或A(2，0)，B(0，2))，∴直线AB的截距式方程为＋＝1，即x＋y－2＝0. 答案　x＋y－2＝0 8．已知圆C1：x2＋y2－4x－6y＋12＝0与圆C2：x2＋y2＋2x－4y－4＝0. (1)过点P(3，5)作直线l与圆C1相切，求l的方程； (2)若圆C1与圆C2相交于A，B两点，求AB的长． 解析　(1)圆C1的方程可化为(x－2)2＋(y－3)2＝1，即圆C1的圆心为(2，3)，半径为1. 若直线l的斜率不存在，方程为x＝3，与圆C1相切，满足条件． 若直线l的斜率存在，设斜率为k，方程为y－5＝k(x－3)，即kx－y－3k＋5＝0. 由l与圆C1相切可得＝1， 解得k＝. 所以l的方程为y－5＝(x－3)， 即3x－4y＋11＝0. 综上可得l的方程为x＝3或3x－4y＋11＝0. (2)联立两圆方程得 两方程相减得AB所在直线的方程为3x＋y－8＝0， 圆C1的圆心到直线AB的距离d＝＝， 所以AB＝2＝. B级[能力提升] 9．若一条光线从点A(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为(　　) A．－或－ B．－或－ C．－或－ D．－或－ 解析　点(－2，－3)关于y轴的对称点为(2，－3)，由题意知，反射光线所在的直线一定过点(2，－3).设反射光线所在直线的斜率为k，则反射光线所在直线的方程为y＋3＝k(x－2)，即kx－y－2k－3＝0.由反射光线与圆相切，得＝1，解得k＝－或k＝－. 答案　D 10．(多选)(2024·泉州市质量监测)已知直线l：x＋y－2＝0与圆C：x2＋y2＝4交于A，B两点，点M为C上的一动点，点N(－2，－2)，记M到l的距离为d，则(　　) A．|AB|＝2 B．d的最大值为2 C．△ABN是等腰三角形 D．|MN|＋d的最小值为3 解析　如图，不妨设点A在点B的右下方． 对于A，易知A(2，0)，B(0，2)，所以|AB|＝2，所以选项A正确； 对于B，圆心到直线l：x＋y－2＝0的距离d′＝＝，则点M到直线l的距离d的最大值为d′＋r＝2＋，其中r为圆的半径，所以选项B错误； 对于C，因为N(－2，－2)， 所以|NA|＝＝2，|NB|＝＝2，即|NA|＝|NB|，所以△ABN是等腰三角形，所以选项C正确； 对于D，|MN|＋d的最小值等于点N到直线l：x＋y－2＝0的距离，所以|MN|＋d的最小值为＝3，所以选项D正确．综上，选ACD. 答案　ACD 11．(2024·重庆市质量调研)已知圆C：x2＋y2＝16上恰有3个点到直线l：y＝x＋b(b＞0)的距离等于2，则b的值为________． 解析　如图，作直线l1，l2分别与直线l平行，且与直线l的距离均为2.圆C：x2＋y2＝16，则圆心坐标为(0，0)，半径r＝4.圆心(0，0)到直线l：x－y＋b＝0的距离d＝.若圆C上恰有3个点到直线l的距离等于2，由图可知，圆C与l2相切，与l1有2个交点，则得又b＞0，所以b＝4. 答案　4 12．已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝4，过点P(3，3)作不过圆心的直线交圆C于A，B两点，则△ABC面积的取值范围是________． 解析　因为C(3，4)，过点P(3，3)的直线不过圆心，所以该直线的斜率存在，设其方程为y－3＝k(x－3)，即kx－y－3k＋3＝0， 所以圆心C到该直线的距离为d＝∈(0，1]，因为|AB|＝2＝2， 所以S△ABC＝|AB|·d＝d＝∈(0，]. 答案　(0，] 13．已知圆C：x2＋(y－1)2＝5，直线l：mx－y＋1－m＝0. (1)设直线l与圆C交于不同两点A，B，求弦AB的中点M的轨迹方程； (2)若定点P(1，1)分弦AB为AP∶PB＝1∶2，求此时直线l的方程． 解析　(1)直线l：mx－y＋1－m＝0变形为m(x－1)－y＋1＝0，可知直线l恒过点(1，1)， 由圆C的方程可知圆心C(0，1)，过C作CM⊥l于M，可知M为线段AB的中点， 设M(x，y)，则有x2＋(y－1)2＋(x－1)2＋(y－1)2＝12， 化简得x2＋y2－x－2y＋1＝0， 点(1，1)也满足此方程，故M的轨迹方程为x2＋y2－x－2y＋1＝0. (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由AP∶PB＝1∶2，得1－x1＝(x2－1)， 化简得x2＝3－2x1，① 又由 消去y得(1＋m2)x2－2m2x＋m2－5＝0，② ∴x1＋x2＝，③ 由①③解得x1＝， 代入②式，解得m＝±1， ∴直线l的方程为x－y＝0或x＋y－2＝0. C级[拓广探索] 14．(多选)已知圆C：(x＋1)2＋y2＝9，则下列四个命题表述正确的是(　　) A．圆C上有且仅有3个点到直线l：x－y－1＝0的距离等于1 B．过点A(3，4)作圆C的两条切线，切点分别为M，N，直线MN的方程为4x＋4y－5＝0 C．一条直线与圆C交于不同的两点P，Q，且有|＋|－||≥0，则∠PCQ的最大值为 D．若圆C与圆E：x2＋y2－4x－8y＋m2＝0相外切，则m＝4 解析　圆心C(－1，0)，半径r＝3，圆心C到直线l：x－y－1＝0的距离d＝＝1，故圆C上有4个点到直线l的距离为1，故A错误； 过点A(3，4)作圆C的两条切线，切点分别为M，N，则A，C，M，N四点共圆，且AC为直径，方程为x2＋y2－2x－4y－3＝0，MN是其与圆C的公共弦，故直线MN的方程为4x＋4y－5＝0，故B正确； 设PQ的中点为D，则CD⊥PQ.因为|＋|－||≥0，即·2||≥2||，可得≥，则0＜∠DCP≤，故∠PCQ的最大值为，故C正确； 圆E：x2＋y2－4x－8y＋m2＝0的圆心为E(2，4)，半径R＝，根据题意可得R＋r＝|CE|，即3＋＝5，解得m＝±4，故D错误．故选BC. 答案　BC 15．如图，已知圆C的圆心在原点，且与直线x＋3y＋4＝0相切． (1)求圆C的方程； (2)点P在直线x＝8上，过点P引圆C的两条切线PA，PB，切点为A，B. ①求四边形OAPB面积的最小值； ②求证：直线AB过定点． (1)解析　依题意得，圆心(0，0)到直线x＋3y＋4＝0的距离d＝r，所以r＝d＝＝， 所以圆C的方程为x2＋y2＝. (2)①解析　连接OA，OB，因为PA，PB是圆C的两条切线，所以OA⊥AP，OB⊥BP， 所以S四边形OAPB＝2S△OAP＝|OA|·|PA|＝× . 所以当PO取最小值8时， (S四边形OAPB)min＝×＝. ②证明　由①得，A，B在以OP为直径的圆上， 设点P的坐标为(8，b)，b∈R， 则线段OP的中点坐标为， 所以以OP为直径的圆的方程为(x－4)2＋＝16＋， 即x2＋y2－8x－by＝0. 因为AB为两圆的公共弦， 所以由得直线AB的方程为8x＋by＝，b∈R，即8＋by＝0，则直线AB恒过定点. 学科网（北京）股份有限公司 $$