7.6 第2课时 空间向量的应用(二)（Word练习）-【导学教程】2025年数学新编高考大一轮总复习（人教A版）

[对应学生用书P342] A级[基础过关] 1．若平面α的一个法向量为n＝(4，1，1)，直线l的方向向量为a＝(－2，－3，3)，则直线l与平面α所成角的余弦值为(　　) A．－　　　　　　 B． C．－ D． 解析　设直线l与平面α所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈a，n〉|＝＝，所以cos θ＝＝.故选D. 答案　D 2．如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝，BC＝2，点D为BC的中点，则异面直线AD与A1C所成的角为(　　) A． B． C． D． 解析　由题意可知，AB，AC，AA1两两互相垂直，以A为坐标原点，AB，AC，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(0，0，0)，A1(0，0，)，C(0，，0)，D， ∴＝，＝(0，，－)， ∴cos 〈，〉＝＝， ∴异面直线AD与A1C所成的角为. 答案　B 3．如图为一个四棱锥与三棱锥的组合体，C，D，E三点共线，已知三棱锥P­ADE四个面都为直角三角形，且ED⊥AD，PA⊥平面ABCE，AB∥CD，PE＝3，CD＝AD＝2，ED＝1，则直线PC与平面PAE所成角的正弦值为(　　) A． B． C． D． 解析　在三棱锥P­ADE中，ED⊥AD，PA⊥平面ABCE， 所以PE＝＝＝3，解得PA＝2. 如图，建立空间直角坐标系， 则P(0，0，2)，C(2，2，0)，A(0，0，0)，E(2，－1，0)，所以＝(2，2，－2)，＝(2，－1，0)，＝(0，0，2)，设平面PAE的法向量为n＝(x，y，z)，则即令x＝1，则y＝2，z＝0，即n＝(1，2，0)，所以cos 〈，n〉＝＝，即直线PC与平面PAE所成角的正弦值为.故选C. 答案　C 4．如图，已知AB是圆柱底面圆的一条直径，OP是圆柱的一条母线，C为底面圆上一点，且AC∥OB，OP＝AB＝OA，则直线PC与平面PAB所成角的正弦值为(　　) A． B． C． D． 解析　∵AB是圆柱底面圆的一条直径， ∴∠AOB＝90°， ∵OP＝AB＝OA，∴∠BAO＝45°， ∵AC∥OB，∴∠OAC＝90°. ∵AB是圆柱底面圆的直径， ∴∠ACB＝90°，又∠OAB＝45°， ∴四边形OACB为正方形，设AB＝2， 建立如图所示的空间直角坐标系， 可知A(，0，0)，B(0, ，0)，P(0，0，2)，C(， ，0)， 所以＝(－，，0)，＝(－，0，2)， 设平面PAB的法向量为n＝(x，y，z)， 则即 取x＝，则n＝(，，1)， 又＝(，，－2)， 设直线PC与平面PAB所成的角为θ， ∴sin θ＝|cos 〈n，〉|＝＝， ∴直线PC与平面PAB所成角的正弦值为. 答案　A 5．(多选)在棱长为a的正方体ABCD­A′B′C′D′中，E，F分别是BC，A′D′的中点，则下列说法正确的是(　　) A．四边形B′EDF是菱形 B．直线A′C与DE所成角的余弦值是 C．直线AD与平面B′EDF所成角的正弦值是 D．平面B′EDF与平面ABCD的夹角的正弦值是 解析　以A为原点，AB，AD，AA′所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，C(a，a，0)，D(0，a，0)，A′(0，0，a)，B′(a，0，a)，E，F，所以＝，＝，可得＝，则B′E∥FD，B′E＝FD，所以四边形B′EDF是平行四边形，又DE＝DF，所以四边形B′EDF是菱形，故A正确．＝(a，a，－a)，＝，所以cos 〈，〉＝＝＝，故B正确．＝(0，a，0)，设平面B′EDF的法向量为n＝(x，y，z)，则即取y＝2，得n＝(1，2，1)，所以|cos 〈，n〉|＝＝＝，故直线AD与平面B′EDF所成角的正弦值是，故C错误．易知平面ABCD的一个法向量是m＝(0，0，1)，所以cos 〈m，n〉＝＝＝，故平面B′EDF与平面ABCD的夹角的正弦值是＝，故D正确．故选ABD. 答案　ABD 6．在三棱柱ABC­A1B1C1中，侧棱A1A⊥底面ABC，AC＝1，AA1＝2，∠BAC＝90°，若直线AB1与直线A1C所成角的余弦值是，则棱AB的长度是________． 解析　建立如图所示的空间直角坐标系，设AB＝a(a＞0)，则A(0，0，0)，B1(a，0，2)，A1(0，0，2)，C(0，1，0)，所以＝(a，0，2)，＝(0，1，－2)，所以|cos 〈，〉|＝＝＝，解得a＝1，所以棱AB的长度是1. 答案　1 7．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是BB1和DD1的中点，则平面ECF与平面ABCD夹角的余弦值为________． 解析　以点A为坐标原点，AB，AD，AA1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示． 设正方体的棱长为2，则A(0，0，0)，E(2，0，1)，F(0，2，1)，C(2，2，0)， ∴＝(0，－2，1)，＝(－2，0，1). 设平面ECF的法向量为n＝(x，y，z)， 则则取x＝1，得n＝(1，1，2). 易知m＝(0，0，1)是平面ABCD的一个法向量， 设平面ECF与平面ABCD的夹角为θ. ∴cos θ＝|cos 〈m，n〉|＝＝＝. ∴平面ECF与平面ABCD夹角的余弦值为. 答案　 8．如图，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB＝2，∠BAD＝60°. (1)求证：BD⊥平面PAC； (2)若PA＝AB，求PB与AC所成角的余弦值． (1)证明　因为四边形ABCD是菱形， 所以AC⊥BD. 因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD， 所以PA⊥BD. 又AC∩PA＝A，AC，PA⊂平面PAC， 所以BD⊥平面PAC. (2)解析　设AC∩BD＝O. 因为∠BAD＝60°， PA＝AB＝2， 所以BO＝1，AO＝CO＝. 以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0，－，2)，A(0，－，0)，B(1，0，0)，C(0，，0). 所以＝(1，，－2)，＝(0，2，0). 设PB与AC所成的角为θ，则 cos θ＝＝＝， 即PB与AC所成角的余弦值为. B级[能力提升] 9．从①CD⊥BC；②BC∥平面PAD这两个条件中选一个，补充在下面问题中，并完成解答．如图，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝CD＝2，BC＝3，PC＝2，E为PB的中点，且________． (1)求证：四边形ABCD是直角梯形； (2)求直线AE与平面PCD所成角的正弦值． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． (1)证明　选择①：连接AC(图略)，因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AD，PA⊥AC，PA⊥CD. 因为PA＝AD＝2，所以PD＝2， 因为PC＝2，CD＝2，所以CD2＋PD2＝PC2， 所以CD⊥PD. 又PA∩PD＝P，PA，PD⊂平面PAD， 所以CD⊥平面PAD，所以CD⊥AD. 因为CD⊥BC，且AD与BC在同一平面内， 所以AD∥BC. 所以四边形ABCD是直角梯形． 选择②：连接AC(图略)，因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AD，PA⊥AC，PA⊥CD. 因为PA＝AD＝2，所以PD＝2. 因为PC＝2，CD＝2， 所以CD2＋PD2＝PC2，所以CD⊥PD. 因为PA∩PD＝P，PA，PD⊂平面PAD， 所以CD⊥平面PAD，则CD⊥AD. 因为BC∥平面PAD，BC⊂平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD， 所以BC∥AD，则四边形ABCD是直角梯形． (2)解析　过A作AD的垂线交BC于点M.因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AM，PA⊥AD. 如图，建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(2，－1，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2). 因为E为PB的中点，所以E. 所以＝，＝(2，2，－2)，＝(0，2，－2). 设平面PCD的法向量为n＝(x，y，z)，则 令y＝1，得n＝(0，1，1)为平面PCD的一个法向量． 设直线AE与平面PCD所成的角为α， 则sin α＝|cos 〈n，〉|＝＝. 所以直线AE与平面PCD所成角的正弦值为. 10．(2024·大连市双基测试)如图，在多面体ABCDEF中，正方形ABCD的边长为4，AF⊥平面ABCD，AF＝2，AF∥DE，DE＜AF. (1)求证：CE∥平面ABF； (2)若二面角B­CF­E的大小为α，且|cos α|＝，求DE的长． (1)证明　因为DE∥AF，DE⊄平面ABF，AF⊂平面ABF，所以DE∥平面ABF. 因为底面ABCD是正方形，所以CD∥AB， 又CD⊄平面ABF，AB⊂平面ABF， 所以CD∥平面ABF. 因为CD⊂平面CDE，DE⊂平面CDE，CD∩DE＝D， 所以平面CDE∥平面ABF. 因为CE⊂平面CDE， 所以CE∥平面ABF. (2)解析　以A为坐标原点，分别以AB，AD，AF所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系． 设DE＝m，由AB＝AD＝4，AF＝2得，A(0，0，0)，B(4，0，0)，C(4，4，0)，F(0，0，2)，E(0，4，m)， 则＝(4，0，－2)，＝(4，4，－2)，＝(－4，0，m). 设平面BCF的法向量为n1＝(x1，y1，z1)， 由得 不妨取x1＝1，则z1＝2，y1＝0， 从而平面BCF的一个法向量为n1＝(1，0，2). 设平面ECF的法向量为n2＝(x2，y2，z2)， 由得 不妨取z2＝4，则x2＝m，y2＝2－m， 所以平面ECF的一个法向量为n2＝(m，2－m，4). 所以|cos α|＝|cos 〈n1，n2〉| ＝＝， 化简得4m2－17m＋13＝0，解得m＝1或m＝， 因为DE＜AF，所以DE＝1. C级[拓广探索] 11．(2024·重庆市质量调研)如图，在五面体ABCDFE中，AB∥CD∥EF，∠ABC＝∠BAF＝90°，CD＝2AB＝4EF＝4，BC＝AF＝2，P，O分别为CD，AP的中点，二面角F­AB­D的大小为60°. (1)证明：FO⊥平面ABCD； (2)求平面ADF与平面BCE夹角的正弦值． (1)证明　∵AB∥CD，CD＝2AB，P为CD的中点， ∴AB∥PC且AB＝PC，则四边形ABCP为平行四边形， ∴AP∥BC且AP＝BC＝2. ∵∠ABC＝90°，∴AB⊥BC，则AP⊥AB. ∵∠BAF＝90°，∴AB⊥AF， ∴∠FAP为二面角F­AB­D的平面角． ∴∠FAP＝60°. 连接FP，∵AF＝AP＝2， ∴△FAP为等边三角形． ∵O为AP的中点，∴AP⊥FO. ∵AB⊥AF，AP⊥AB，AF∩AP＝A，AF，AP⊂平面FAP， ∴AB⊥平面FAP. ∵FO⊂平面FAP，∴FO⊥AB， 又AB∩AP＝A，AB，AP⊂平面ABCD， ∴FO⊥平面ABCD. (2)解析　设BC的中点为Q，连接OQ，以OP，OQ，OF所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系， 则F(0，0，)，A(－1，0，0)，D(1，－2，0)，E(0，1，)，B(－1，2，0)，C(1，2，0)，所以＝(1，0，)，＝(2，－2，0)，＝(2，0，0)，＝(1，1，－). 设平面ADF的法向量为m＝(x1，y1，z1)，则即取z1＝－1， 得x1＝y1＝，m＝(，，－1). 设平面BCE的法向量为n＝(x2，y2，z2)，则即得x2＝0，取z2＝1，得y2＝，n＝(0，，1). 设平面ADF与平面BCE的夹角为θ，则cos θ＝|cos 〈m，n〉|＝＝. ∴所求夹角的正弦值为＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$