4.1 任意角和弧度制、三角函数的概念（Word练习）-【导学教程】2025年数学新编高考大一轮总复习（人教A版）

[对应学生用书P295] A级[基础过关] 1．时钟的分针在8点到10点20分这段时间里转过的弧度数为(　　) A．π　　　　　　　 B．－π C．π D．－π 解析　分针每分钟转－6°，则分针在8点到10点20分这段时间里转过的度数为－6°×(2×60＋20)＝－840°，弧度数为－840×＝－π. 答案　B 2．如图，曲线段AB是一段半径为R的圆弧，若圆弧的长度为，则A，B两点间的距离为(　　) A．R B．R C．R D．2R 解析　设所对的圆心角为α.则由题意，得αR＝R.所以α＝，所以AB＝2R sin ＝2R sin ＝2R×＝R，故选C. 答案　C 3．如果点P(2sin θ，sin θ·cos θ)位于第四象限，那么角θ所在的象限为(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析　∵点P(2sin θ，sin θ·cos θ)位于第四象限，∴即∴角θ所在的象限是第二象限． 答案　B 4．(多选)下面说法正确的有(　　) A．角与角－π终边相同 B．终边在直线y＝－x上的角α的取值集合可表示为{α|α＝k·360°－45°，k∈Z} C.若角α的终边在直线y＝－3x上，则cos α的取值为 D．67°30′化成弧度是 解析　角与角－π相差2π，终边相同，故A正确； 终边在直线y＝－x上的角α的取值集合可表示为{α|α＝k·180°－45°，k∈Z}，故B错误； 若角α的终边在直线y＝－3x上，则cos α的取值为±，故C错误； 67°30′化成弧度是，故D正确． 答案　AD 5．(多选)已知角θ的终边经过点(－2，－)，且θ与α的终边关于x轴对称，则(　　) A．sin θ＝－ B．α为钝角 C．cos α＝－ D．点(tan θ，tan α)在第四象限 解析　因为角θ的终边经过点(－2，－)，所以sin θ＝－，A正确；因为θ与α的终边关于x轴对称，所以α的终边经过点(－2，)，则α为第二象限角，但α不一定为钝角，B错误；cos α＝－，C正确；因为tan θ＝＞0，tan α＝－＜0，所以点(tan θ，tan α)在第四象限，D正确．故选ACD. 答案　ACD 6．甲、乙两个齿轮互相咬合，甲齿轮有36个齿，乙齿轮有24个齿，当甲齿轮按逆时针方向转动一周时，乙齿轮转过的角度是________． 解析　甲齿轮转动一周时，乙齿轮转动＝(周)，一周为360°，而甲齿轮和乙齿轮转动的方向相反，故乙齿轮转过的角度为－360°×＝－540°. 答案　－540° 7．已知角α的终边在如图所示阴影表示的范围内(不包括边界)，则角α用集合可表示为________． 解析　∵在[0，2π)内，终边落在阴影部分角的集合为，∴所求角的集合为. 答案　 8．如图，在平面直角坐标系xOy中，角α的始边与x轴的非负半轴重合且与单位圆相交于A点，它的终边与单位圆相交于x轴上方一点B，始边不动，终边在运动． (1)若点B的横坐标为－，求tan α的值； (2)若△AOB为等边三角形，写出与角α终边相同的角β的集合． 解析　(1)由题意可得B，根据三角函数的定义得tan α＝－. (2)若△AOB为等边三角形，则∠AOB＝，故与角α终边相同的角β的集合为. B级[能力提升] 9．(多选)已知点P(sin θ－cos θ，tan θ)在第一象限，则在[0，2π]内角θ的取值范围是(　　) A． B． C． D． 解析　因为点P(sin θ－cos θ，tan θ)在第一象限， 所以即角θ位于第一象限或第三象限，且满足sin θ＞cos θ，所以当角θ位于第一象限时，θ∈，此时sin θ＞cos θ； 当角θ位于第三象限时，θ∈，此时sin θ＞cos θ.故选AB. 答案　AB 10．(多选)如图，A，B是单位圆上的两个质点，点B的坐标为(1，0)，∠BOA＝60°，质点A以1 rad/s的角速度按逆时针方向在单位圆上运动，质点B以2 rad/s的角速度按顺时针方向在单位圆上运动，则(　　) A．经过1 s后，∠BOA的弧度数为＋3 B．经过 s后，扇形AOB的弧长为 C．经过 s后，扇形AOB的面积为 D．经过 s后，A，B在单位圆上第一次相遇 解析　经过1 s后，质点A运动1 rad.质点B运动2 rad，此时∠BOA的弧度数为＋3，故A正确；经过 s后，∠AOB＝＋＋2×＝，故扇形AOB的弧长为×1＝，故B正确；经过 s后，∠AOB＝＋＋2×＝，故扇形AOB的面积为S＝××12＝，故C错误；设经过t s后，A，B在单位圆上第一次相遇，则t(1＋2)＋＝2π，解得t＝(s)，故D正确． 答案　ABD 11．若角α的终边落在直线y＝x上，角β的终边与单位圆交于点，且sin α·cos β＜0，则cos α·sin β＝________． 解析　由角β的终边与单位圆交于点，得cos β＝，又由sin α·cos β＜0，知sin α＜0，因为角α的终边落在直线y＝x上，所以角α只能是第三象限角．记P为角α的终边与单位圆的交点，设P(x，y)(x＜0，y＜0)，则|OP|＝1(O为坐标原点)，即x2＋y2＝1，又由y＝x得x＝－，y＝－，所以cos α＝x＝－，因为点在单位圆上，所以＋m2＝1，解得m＝±，所以sin β＝±，所以cos α sin β＝±. 答案　± 12．勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的图形，其作法：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．已知等边三角形的边长为1，则勒洛三角形的面积是________． 解析　由题意得，勒洛三角形的面积为三个圆心角和半径均分别为和1的扇形面积之和减去两个边长为1的等边三角形的面积，即3×××12－2××12×sin ＝. 答案　 13．已知＝－且lg (cos α)有意义． (1)试判断角α是第几象限角； (2)若角α的终边上有一点M，且OM＝1(O为坐标原点)，求实数m的值及sin α的值． 解析　(1)因为＝－，所以sin α＜0，所以角α是第三或第四象限角或终边在y轴的负半轴上的角．由lg (cos α)有意义，可知cos α＞0，所以角α是第一或第四象限角或终边在x轴的正半轴上的角．综上，角α是第四象限角． (2)因为OM＝1，所以＋m2＝1， 解得m＝±. 又角α是第四象限角，故m＜0，所以m＝－. 所以sin α＝＝－. C级[拓广探索] 14．如图，圆O：x2＋y2＝4交x轴的正半轴于点A，B是圆上一点，M是劣弧的中点，设∠AOM＝θ(0＜θ＜π)，函数f(θ)表示弦AB的长与劣弧的长之和．当函数f(θ)取得最大值时，点M的坐标是________． 解析　由题意知，圆O的半径为2.因为M是劣弧的中点，所以OM垂直平分线段AB，又∠AOM＝θ，所以|AB|＝2×2sin θ＝4sin θ，劣弧的长为θ·|OA|＝2θ，所以f(θ)＝4sin θ＋2θ，则f′(θ)＝4cos θ＋2，令f′(θ)＝0，得cos θ＝－，又0＜θ＜π，所以当θ∈时，f′(θ)＞0，f(θ)单调递增；当θ∈时，f′(θ)＜0，f(θ)单调递减，所以当θ＝时，f(θ)取得最大值，此时M，即M(－1，). 答案　(－1，) 15．在一块顶角为120°，腰长为2的等腰三角形厚钢板废料OAB中用电焊切割出一个扇形，如图，现有两种方案，既要充分利用废料，又要切割时间最短，问哪一种方案最优？ 解析　因为△AOB是顶角为120°即为，腰长为2的等腰三角形，所以A＝B＝，AM＝BN＝1，AD＝2，所以方案一中扇形的弧长为2×＝；方案二中扇形的弧长为1×＝； 方案一中扇形的面积为×22×＝，方案二中扇形的面积为×12×＝. 由此可见，两种方案中利用废料割出的扇形面积相等，方案一切割时间短．因此方案一最优． 学科网（北京）股份有限公司 $$