3.4 函数中的构造问题（Word练习）-【导学教程】2025年数学新编高考大一轮总复习（人教A版）

 

[对应学生用书P291]

A级[基础过关]

1．已知α，β∈，且αsin α－βsin β＞0，则下列结论正确的是(　　)

A．α＞β　　　　　　　 B．α2＞β2

C．α＜β    D．α＋β＞0

解析　构造函数f(x)＝x sin x，则f′(x)＝sin x＋x cos x．当x∈时，f′(x)≥0，f(x)是增函数；当x∈时，f′(x)＜0，f(x)是减函数．又f(x)为偶函数，所以αsin α－βsin β＞0⇔αsin α＞βsin β⇔f(α)＞f(β)⇔f(|α|)＞f(|β|)⇔|α|＞|β|⇔α2＞β 2，故选B.

答案　B

2．已知a＝，b＝，c＝，则(　　)

A．a＜b＜c    B．c＜a＜b

C．b＜a＜c    D．c＜b＜a

解析　设f(x)＝，则a＝f(e)，b＝f(2)，c＝f(3)，又f′(x)＝，于是当x∈(，＋∞)时，f′(x)＜0，故f(x)＝在(，＋∞)上单调递减，注意到＜＝2＜e＜3，则有f(3)＜f(e)＜f(2)，即c＜a＜b.

答案　B

3．(2024·佛山质检)函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)＞2，则f(x)＞2x＋4的解集为(　　)

A．(－1，1)    B．(－1，＋∞)

C．(－∞，－1)    D．(－∞，＋∞)

解析　∵f(x)＞2x＋4，∴f(x)－2x－4＞0，令g(x)＝f(x)－2x－4，

g′(x)＝f′(x)－2＞0，∴g(x)为R上的增函数，

又∵g(－1)＝f(－1)－2×(－1)－4＝0.

∴由g(x)＞g(－1)＝0得x＞－1.

答案　B

4．已知m＞0，n∈R，若log2m＋2m＝6，2n＋1＋n＝6，则等于(　　)

A．    B．1

C．    D．2

解析　由题意得log2m＋2m＝2n＋1＋n，

log2m＋2m＝2×2n＋n＝log22n＋2×2n，

令g(x)＝log2x＋2x(x＞0)，

则g′(x)＝＋2＞0，

所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，

因为g(m)＝g(2n)，所以m＝2n，所以＝1.

答案　B

5．(2024·重庆模拟)已知定义域为{x|x≠0}的偶函数f(x)，其导函数为f′(x)，对任意正实数x满足xf′(x)＞2f(x)且f(1)＝0，则不等式f(x)＜0的解集是(　　)

A．(－∞，1)    B．(－1，1)

C．(－∞，0)∪(0，1)    D．(－1，0)∪(0，1)

解析　令g(x)＝且x≠0，

则g′(x)＝，

又对任意正实数x满足xf′(x)＞2f(x)，

即当x＞0时，g′(x)＞0，

所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，

由f(x)为偶函数，则g(－x)＝＝＝g(x)，所以g(x)也为偶函数，故g(x)在(－∞，0)上单调递减，则g(－1)＝g(1)＝＝0，且f(x)＜0等价于g(x)＝＜＝g(1)，

所以x∈(－1，0)∪(0，1).

答案　D

6．设f(x)为R上的奇函数，当x≥0时，f′(x)－cos x＜0，则不等式f(x)＜sin x的解集为________．

解析　令φ(x)＝f(x)－sin x，

∴当x≥0时，φ′(x)＝f′(x)－cos x＜0，

∴φ(x)在[0，＋∞)上单调递减，

又f(x)为R上的奇函数，

∴φ(x)为R上的奇函数，

∴φ(x)在(－∞，0]上单调递减，

故φ(x)在R上单调递减且φ(0)＝0，

不等式f(x)＜sin x可化为f(x)－sin x＜0，

即φ(x)＜0，即φ(x)＜φ(0)，故x＞0，

∴原不等式的解集为(0，＋∞).

答案　(0，＋∞)

7．已知定义在R上的函数f(x)满足：f(x)＋f′(x)＞1，f(0)＝4，则不等式exf(x)＞ex＋3的解集为________．

解析　将f(x)＋f′(x)＞1两边同乘ex得，exf(x)＋exf′(x)－ex＞0，令g(x)＝exf(x)－ex，则g′(x)＝exf(x)＋exf′(x)－ex＞0，所以函数g(x)在R上单调递增，且g(0)＝f(0)－1＝3.又因为不等式exf(x)＞ex＋3等价于exf(x)－ex＞3，即g(x)＞g(0)，所以x＞0.

答案　(0，＋∞)

B级[能力提升]

8．(多选)已知f(x)是定义在R上的函数，f′(x)是函数f(x)的导函数，且∀x∈R，f′(x)＞1，f(1)＝0，则(　　)

A．f(e)＞e－1    B．f(0)＞－1

C．f(0)＜－1    D．f(e)＜f(0)＋e

解析　因为f′(x)是函数f(x)的导函数，且∀x∈R，f′(x)＞1，

故令g(x)＝f(x)－x，则g′(x)＝f′(x)－1＞0，所以g(x)在R上单调递增，

由g(e)＞g(1)得f(e)－e＞f(1)－1＝－1，所以f(e)＞e－1，故A正确；

由g(0)＜g(1)得f(0)＜f(1)－1＝－1，故B不正确，C正确；

由g(e)＞g(0)得f(e)－e＞f(0)，所以f(e)＞f(0)＋e，故D不正确．

答案　AC

9．(多选)已知定义在上的函数f(x)，f′(x)是f(x)的导函数，且恒有f′(x)sin x－