3.3 导数与函数的极值、最值（Word练习）-【导学教程】2025年数学新编高考大一轮总复习（人教A版）

[对应学生用书P289]

A级[基础过关]

1．函数f(x)＝x3－3x2＋3x的极值点的个数是(　　)

A．0　　　　　　　 B．1

C．2    D．3

解析　f′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2，当x＝1时导函数值为0，但在此零点两侧导函数均大于0，所以此处不是函数的极值点，所以函数极值点个数为0.

答案　A

2．函数f(x)＝x－sin x在上的极小值为(　　)

A．－    B．－

C．－    D．－

解析　由f(x)＝x－sin x，得f′(x)＝－cos x，

当x∈时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；

当x∈时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，

所以是函数f(x)的极小值点，且极小值为f＝－.

答案　D

3．(2022·全国甲卷)当x＝1时，函数f(x)＝a ln x＋取得最大值－2，则f′(2)＝(　　)

A．－1    B．－

C．    D．1

解析　因为f′(x)＝，由题意可知f′(1)＝a－b＝0，f(1)＝a ln 1＋b＝b＝－2，所以a＝－2，因此f′(2)＝＝－，故选B.

答案　B

4．若函数f(x)＝6a ln x＋x2－(a＋6)x(x＞0)有2个极值点，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－∞，6)∪(6，＋∞)

B．(0，6)∪(6，＋∞)

C．{6}

D．(0，＋∞)

解析　f′(x)＝＋x－(a＋6)＝(x＞0)，因为函数f(x)有2个极值点，所以f′(x)＝0有2个不同的正实数根，所以a＞0且a≠6，即实数a的取值范围是(0，6)∪(6，＋∞).故选B.

答案　B

5．(多选)已知函数f(x)的定义域为[－1，5]，部分对应值如下表：

f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，下列关于函数f(x)的结论正确的是(　　)

A．函数f(x)的极大值点有2个

B．函数f(x)在[0，2]上是减函数

C．当x∈[－1，t]时，若f(x)的最大值是2，则t的最大值为4

D．当1＜a＜2时，函数y＝f(x)－a有4个零点

解析　由题中f′(x)的图象可知，当x＝0时，函数f(x)取得极大值；当x＝4时，函数f(x)取得极大值，即函数f(x)有2个极大值点，故A正确；易知函数f(x)在[0，2]上是减函数，故B正确；当x∈[－1，t]时，若f(x)的最大值是2，则t满足0≤t≤5，即t的最大值是5，故C错误；令y＝f(x)－a＝0，得f(x)＝a，当f(2)≤1，1＜a＜2时，易知f(x)＝a有四个根；当1＜f(2)＜2，1＜a＜2时，易知f(x)＝a不一定有四个根，故函数y＝f(x)－a有4个零点不一定正确，故D错误．故选AB.

答案　AB

6．已知x＝0是f(x)＝(x－a)ex＋1的极值点，则a＝________．

解析　因为f(x)＝(x－a)ex＋1，

所以f′(x)＝(x－a＋1)ex，

因为x＝0是函数f(x)的极值点，

则f′(0)＝0，得1－a＝0，解得a＝1，

当a＝1时，f′(x)＝xex，

当x＜0时，f′(x)＜0, 则f(x)单调递减，

当x＞0时，f′(x)＞0，则f(x)单调递增，

所以x＝0是函数f(x)的极值点，故a＝1.

答案　1

7．已知函数f(x)＝(x＋a)ex的最小值为－e2，则a的值为________．

解析　函数f(x)＝(x＋a)ex的定义域为R，f′(x)＝(x＋a＋1)ex.所以当x∈(－∞，－a－1)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；当x∈(－a－1，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增．所以函数f(x)＝(x＋a)ex的最小值为f(－a－1)＝(－a－1＋a)e－a－1＝－e2，解得a＝－3.

答案　－3

8．甲、乙两地相距240 km，汽车从甲地以速度v(km/h)匀速行驶到乙地．已知汽车每小时的运输成本由固定成本和可变成本组成，固定成本为160元，可变成本为元．为使全程运输成本最小，汽车应以________km/h的速度行驶．

解析　设全程运输成本为y元，由题意，得

y＝＝240，v＞0，

y′＝240.

令y′＝0，得v＝80.

当v＞80时，y′＞0；当0＜v＜80时，y′＜0.

所以函数y＝在(0，80)上单调递减，在(80，＋∞)上单调递增，

所以当v＝80时，全程运输成本最小．

答案　80

9．已知a，b是实数，1和－1是函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的两个极值点．

(1)求a，b的值；

(2)设函数g(x)的导函数g′(x)＝f(x)＋2，求g(x)的极值点．

解析　(1)由题设知f′(x)＝3x2＋2ax＋b，且f′(－1)＝3－2a＋b＝0，f′(1)＝3＋2a＋b＝