3.3 导数与函数的极值、最值（Word练习）-【导学教程】2025年数学新编高考大一轮总复习（人教A版）

[对应学生用书P289] A级[基础过关] 1．函数f(x)＝x3－3x2＋3x的极值点的个数是(　　) A．0　　　　　　　 B．1 C．2 D．3 解析　f′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2，当x＝1时导函数值为0，但在此零点两侧导函数均大于0，所以此处不是函数的极值点，所以函数极值点个数为0. 答案　A 2．函数f(x)＝x－sin x在上的极小值为(　　) A．－ B．－ C．－ D．－ 解析　由f(x)＝x－sin x，得f′(x)＝－cos x， 当x∈时，f′(x)＜0，f(x)单调递减； 当x∈时，f′(x)＞0，f(x)单调递增， 所以是函数f(x)的极小值点，且极小值为f＝－. 答案　D 3．(2022·全国甲卷)当x＝1时，函数f(x)＝a ln x＋取得最大值－2，则f′(2)＝(　　) A．－1 B．－ C． D．1 解析　因为f′(x)＝，由题意可知f′(1)＝a－b＝0，f(1)＝a ln 1＋b＝b＝－2，所以a＝－2，因此f′(2)＝＝－，故选B. 答案　B 4．若函数f(x)＝6a ln x＋x2－(a＋6)x(x＞0)有2个极值点，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，6)∪(6，＋∞) B．(0，6)∪(6，＋∞) C．{6} D．(0，＋∞) 解析　f′(x)＝＋x－(a＋6)＝(x＞0)，因为函数f(x)有2个极值点，所以f′(x)＝0有2个不同的正实数根，所以a＞0且a≠6，即实数a的取值范围是(0，6)∪(6，＋∞).故选B. 答案　B 5．(多选)已知函数f(x)的定义域为[－1，5]，部分对应值如下表： x －1 0 4 5 f(x) 1 2 2 1 f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，下列关于函数f(x)的结论正确的是(　　) A．函数f(x)的极大值点有2个 B．函数f(x)在[0，2]上是减函数 C．当x∈[－1，t]时，若f(x)的最大值是2，则t的最大值为4 D．当1＜a＜2时，函数y＝f(x)－a有4个零点 解析　由题中f′(x)的图象可知，当x＝0时，函数f(x)取得极大值；当x＝4时，函数f(x)取得极大值，即函数f(x)有2个极大值点，故A正确；易知函数f(x)在[0，2]上是减函数，故B正确；当x∈[－1，t]时，若f(x)的最大值是2，则t满足0≤t≤5，即t的最大值是5，故C错误；令y＝f(x)－a＝0，得f(x)＝a，当f(2)≤1，1＜a＜2时，易知f(x)＝a有四个根；当1＜f(2)＜2，1＜a＜2时，易知f(x)＝a不一定有四个根，故函数y＝f(x)－a有4个零点不一定正确，故D错误．故选AB. 答案　AB 6．已知x＝0是f(x)＝(x－a)ex＋1的极值点，则a＝________． 解析　因为f(x)＝(x－a)ex＋1， 所以f′(x)＝(x－a＋1)ex， 因为x＝0是函数f(x)的极值点， 则f′(0)＝0，得1－a＝0，解得a＝1， 当a＝1时，f′(x)＝xex， 当x＜0时，f′(x)＜0, 则f(x)单调递减， 当x＞0时，f′(x)＞0，则f(x)单调递增， 所以x＝0是函数f(x)的极值点，故a＝1. 答案　1 7．已知函数f(x)＝(x＋a)ex的最小值为－e2，则a的值为________． 解析　函数f(x)＝(x＋a)ex的定义域为R，f′(x)＝(x＋a＋1)ex.所以当x∈(－∞，－a－1)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；当x∈(－a－1，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增．所以函数f(x)＝(x＋a)ex的最小值为f(－a－1)＝(－a－1＋a)e－a－1＝－e2，解得a＝－3. 答案　－3 8．甲、乙两地相距240 km，汽车从甲地以速度v(km/h)匀速行驶到乙地．已知汽车每小时的运输成本由固定成本和可变成本组成，固定成本为160元，可变成本为元．为使全程运输成本最小，汽车应以________km/h的速度行驶． 解析　设全程运输成本为y元，由题意，得 y＝＝240，v＞0， y′＝240. 令y′＝0，得v＝80. 当v＞80时，y′＞0；当0＜v＜80时，y′＜0. 所以函数y＝在(0，80)上单调递减，在(80，＋∞)上单调递增， 所以当v＝80时，全程运输成本最小． 答案　80 9．已知a，b是实数，1和－1是函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的两个极值点． (1)求a，b的值； (2)设函数g(x)的导函数g′(x)＝f(x)＋2，求g(x)的极值点． 解析　(1)由题设知f′(x)＝3x2＋2ax＋b，且f′(－1)＝3－2a＋b＝0，f′(1)＝3＋2a＋b＝0，解得a＝0，b＝－3. (2)由(1)知f(x)＝x3－3x， 则g′(x)＝f(x)＋2＝(x－1)2(x＋2)， 所以g′(x)＝0的根为x1＝x2＝1，x3＝－2. 即函数g(x)的极值点只可能是1或－2， 当x＜－2时，g′(x)＜0，当－2＜x＜1时，g′(x)＞0， 当x＞1时，g′(x)＞0， 所以－2是g(x)的极值点，1不是g(x)的极值点． 综上所述，g(x)的极值点为－2. B级[能力提升] 10．已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)ex在x＝a处取极小值，且f(x)的极大值为4，则b等于(　　) A．－1 B．2 C．－3 D．4 解析　f(x)＝(x－a)(x－b)ex＝(x2－ax－bx＋ab)ex，所以f′(x)＝(2x－a－b)ex＋(x2－ax－bx＋ab)ex＝ex[x2＋(2－a－b)x＋ab－a－b]. 因为函数f(x)＝(x－a)(x－b)ex在x＝a处取极小值，所以f′(a)＝ea[a2＋(2－a－b)a＋ab－a－b]＝ea(a－b)＝0，所以a＝b，所以f(x)＝(x－a)2ex，f′(x)＝ex[x2＋(2－2a)x＋a2－2a]＝ex(x－a)[x－(a－2)]，令f′(x)＝0，得x＝a或x＝a－2，当x∈(－∞，a－2)时，f′(x)＞0，所以f(x)在(－∞，a－2)上单调递增；当x∈(a－2，a)时，f′(x)＜0，所以f(x)在(a－2，a)上单调递减；当x∈(a，＋∞)时，f′(x)＞0，所以f(x)在(a，＋∞)上单调递增，所以f(x)在x＝a－2处有极大值，为f(a－2)＝4ea－2＝4，解得a＝2，所以b＝2.故选B. 答案　B 11．已知函数f(x)＝若a＜b，且f(a)＝f(b)，则b－a的最小值为(　　) A．1 B． C．e－1 D．2 解析　令f(a)＝f(b)＝t(t＞0)，因为f(x)＝且a＜b，所以－＝t，ln b＋1＝t，所以a＝－，b＝et－1，因此b－a＝et－1＋， 令f(t)＝et－1＋(t＞0)，则f′(t)＝et－1－， 当t∈(0，1)时，f′(t)＜0，f(t)单调递减； 当t∈(1，＋∞)时，f′(t)＞0，f(t)单调递增， 所以f(t)在t＝1处取得极小值，也是最小值，f(1)＝e1－1＋＝2，因此b－a的最小值为2. 答案　D 12．(2024·江西部分重点中学一模)已知函数f(x)＝＋ln x－x有唯一的极值点t，则f(t)的取值范围是(　　) A．[－2，＋∞) B．[－3，＋∞) C．[2，＋∞) D．[3，＋∞) 解析　因为f(x)＝＋ln x－x，所以f′(x)＝a·＋－1＝(1－x)，因为f(x)有唯一的极值点t，所以t＝1，且y＝＋在x＞0时无变号零点，即－a＝.令h(x)＝(x＞0)，则h′(x)＝，令h′(x)＞0得x＞1，令h′(x)＜0得0＜x＜1，所以函数h(x)＝在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以－a≤h(1)＝e.所以f(t)＝f(1)＝－1≥－1＝－2.故选A. 答案　A 13．函数f(x)＝|2x－1|－2ln x的最小值为________． 解析　函数f(x)＝|2x－1|－2ln x的定义域为(0，＋∞). ①当x＞时，f(x)＝2x－1－2ln x， 所以f′(x)＝2－＝， 当＜x＜1时，f′(x)＜0，当x＞1时，f′(x)＞0， 所以f(x)min＝f(1)＝2－1－2ln 1＝1； ②当0＜x≤时， f(x)＝1－2x－2ln x在上单调递减， 所以f(x)min＝f＝－2ln ＝2ln 2＝ln 4＞ln e＝1. 综上，f(x)min＝1. 答案　1 14．某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000π 元(π为圆周率). (1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域； (2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大． 解析　(1)因为蓄水池侧面的总成本为100×2πrh＝200πrh元，底面的总成本为160πr2元， 所以蓄水池的总成本为(200πrh＋160πr2)元． 根据题意得200πrh＋160πr2＝12 000π， 所以h＝(300－4r2)， 从而V(r)＝πr2h＝(300r－4r3). 由题意得r＞0，又由h＞0可得r＜5， 故函数V(r)的定义域为(0，5). (2)因为V(r)＝(300r－4r3)， 所以V′(r)＝(300－12r2). 令V′(r)＝0，解得r1＝5，r2＝－5(舍去). 当r∈(0，5)时，V′(r)＞0，故V(r)在(0，5)上为增函数； 当r∈(5，5)时，V′(r)＜0，故V(r)在(5，5)上为减函数． 由此可知，V(r)在r＝5处取得最大值，此时h＝8.即当r＝5，h＝8时，该蓄水池的体积最大． C级[拓广探索] 15．(多选)已知函数f(x)＝x ln x－aex＋b有两个极值点，且f(1)＝－1，则(　　) A．ae＋b＝－1 B．ab＝e2a－a C．0＜a＜ D．－≤ab＜0 解析　由题意可得f(x)的定义域为(0，＋∞)， 因为f(1)＝－1，所以－ae＋b＝－1，A错误； 则b＝ae－1，所以ab＝ea2－a，B错误； 由函数f(x)有两个极值点， 可知f′(x)＝1＋ln x－aex＝0， 即a＝有两个实数根． 设g(x)＝，则g′(x)＝， 令g′(x)＞0得0＜x＜1，此时g(x)单调递增； 令g′(x)＜0得x＞1，此时g(x)单调递减， 所以g(x)在x＝1处取得极大值， 即极大值为g(1)＝， 又x→0时，g(x)→－∞；x→＋∞时，g(x)→0， 可得g(x)的图象如图所示， 欲使y＝a与y＝g(x)图象有两个交点，只需0＜a＜，C正确； 因为ab＝ea2－a，当a∈时，由二次函数的性质，得－≤ab＜0，D正确． 答案　CD 16．已知函数f(x)＝ln x＋，a∈R. (1)当a＝1时，求函数f(x)的单调区间； (2)设函数g(x)＝，若g(x)在[1，e2]上存在极值，求a的取值范围． 解析　(1)当a＝1时，函数f(x)＝ln x＋，其定义域为(0，＋∞)， 可得f′(x)＝－＝， 当x∈(0，1)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减； 当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增， 所以函数f(x)的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，＋∞). (2)由g(x)＝＝＋－，x∈[1，e2]， 可得g′(x)＝＋－＝， 设h(x)＝2x－x ln x－2a， 则h′(x)＝2－(1＋ln x)＝1－ln x， 令h′(x)＝0，即1－ln x＝0，解得x＝e， 当x∈[1，e)时，h′(x)＞0； 当x∈(e，e2]时，h′(x)＜0， 所以h(x)在区间[1，e)上单调递增，在区间(e，e2]上单调递减， 且h(1)＝2－2a，h(e)＝e－2a，h(e2)＝－2a，显然h(1)＞h(e2)， 若g(x)在[1，e2]上存在极值，则满足或解得0＜a＜. 综上可得，当0＜a＜时，g(x)在[1，e2]上存在极值，所以实数a的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $$