3.2 导数与函数的单调性（Word练习）-【导学教程】2025年数学新编高考大一轮总复习（人教A版）

[对应学生用书P287] A级[基础过关] 1．若函数f(x)＝x3－x2＋ax＋4的单调递减区间是[－1，4]，则a＝(　　) A．－4　　　　　　　 B．－1 C．1 D．4 解析　易知f′(x)＝x2－3x＋a，由题意知f′(x)≤0的解集为[－1，4]，则－1与4是方程x2－3x＋a＝0的两个根，故a＝－1×4＝－4. 答案　A 2．下列函数，在(0，＋∞)内为增函数的是(　　) A．f(x)＝sin 2x B．f(x)＝xex C．f(x)＝x3－x D．f(x)＝－x＋ln x 解析　由于x＞0，对于A选项，f′(x)＝2cos 2x，f′＝－1＜0，不符合题意；对于B选项，f′(x)＝(x＋1)ex＞0，符合题意；对于C选项，f′(x)＝3x2－1，f′＝－＜0，不符合题意；对于D选项，f′(x)＝－1＋，f′(2)＝－＜0，不符合题意．故选B. 答案　B 3．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且函数f(x)的图象如图所示，则函数y＝xf′(x)的图象可能是(　　) 解析　由图可知函数f(x)在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，＋∞)上单调递增，则当x∈(－∞，－1)时，f′(x)＜0，当x∈(－1，＋∞)时，f′(x)＞0，且f′(－1)＝0.对于函数y＝xf′(x)，当x∈(－∞，－1)时，xf′(x)＞0，当x∈(－1，0)时，xf′(x)＜0，当x∈(0，＋∞)时，xf′(x)＞0，且当x＝－1时，xf′(x)＝0，当x＝0时，xf′(x)＝0，显然选项C符合，故选C. 答案　C 4．设函数f′(x)是奇函数f(x)(x≠0)的导函数，f(－1)＝－1.当x＞0时，f′(x)＞1，则使得f(x)＞x成立的x的取值范围是(　　) A．(－∞，－1)∪(0，1) B．(－1，0)∪(1，＋∞) C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－1，0)∪(0，1) 解析　由f′(x)＞1(x＞0)，可得f′(x)－1＞0，令g(x)＝f(x)－x，则g′(x)＝f′(x)－1＞0，故g(x)在(0，＋∞)上单调递增．因为f(－1)＝－1，所以g(－1)＝f(－1)＋1＝0，又因为f(x)为奇函数，所以g(x)＝f(x)－x为奇函数，所以g(1)＝0，且在区间(－∞，0)上单调递增．所以使得f(x)＞x，即g(x)＞0成立的x的取值范围是(－1，0)∪(1，＋∞).故选B. 答案　B 5．(多选)已知定义域为R的连续函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足＜0，当m＜0时，下列关系一定成立的是(　　) A．f(2)＞f(3) B．f(4)＜f(3) C．f(2)＋f(4)＜2f(3) D．f(2)＋f(4)＞2f(3) 解析　由＜0，得m(x－3)f′(x)＜0， 又m＜0，则(x－3)f′(x)＞0， 当x＞3时，f′(x)＞0，f(x)单调递增； 当x＜3时，f′(x)＜0，f(x)单调递减； 所以f(2)＞f(3)，f(4)＞f(3)， 所以f(2)＋f(4)＞2f(3). 答案　AD 6．函数f(x)＝x＋2的单调递增区间是________；单调递减区间是________． 解析　f(x)的定义域为{x|x≤1}，f′(x)＝1－.令f′(x)＝0，得x＝0.当0＜x＜1时，f′(x)＜0；当x＜0时，f′(x)＞0.∴f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为(0，1). 答案　(－∞，0)　(0，1) 7．已知函数f(x)＝x2(x－a). (1)若f(x)在(2，3)上单调，则实数a的取值范围是____________________； (2)若f(x)在(2，3)上不单调，则实数a的取值范围是________． 解析　由f(x)＝x3－ax2， 得f′(x)＝3x2－2ax＝3x. (1)若f(x)在(2，3)上单调递减，则有≥3，解得a≥； 若f(x)在(2，3)上单调递增，则有≤2，解得a≤3， 所以若f(x)在(2，3)上单调，则实数a的取值范围是(－∞，3]∪. (2)若f(x)在(2，3)上不单调，则有 可得3＜a＜. 答案　(1)(－∞，3]∪　(2) 8．已知函数y＝f(x)(x∈R)的图象如图所示，则不等式xf′(x)≥0的解集为________． 解析　由题中f(x)的图象特征可得，在和[2，＋∞)上f′(x)≥0，在上f′(x)＜0，所以xf′(x)≥0⇔或⇔0≤x≤或x≥2，所以xf′(x)≥0的解集为∪[2，＋∞). 答案　∪[2，＋∞) 9．(2023·全国甲卷改编)已知函数f(x)＝8x－，x∈，讨论f(x)的单调性． 解析　f(x)＝8x－， 则f′(x)＝ ＝＝. 令f′(x)＞0，则cosx＞或cos x＜－， 又0＜x＜，所以0＜x＜. 令f′(x)＜0，则－＜cos x＜， 又0＜x＜，所以＜x＜. 所以f(x)在上单调递增，在上单调递减． B级[能力提升] 10．(2024·重庆市质量调研)已知函数f(x)＝ax3＋x2＋x＋4，则“a≥0”是“∀x∈R，f(x)单调递增”的(　　) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 解析　因为f(x)＝ax3＋x2＋x＋4，所以f′(x)＝ax2＋2x＋1.由∀x∈R，f(x)单调递增，得∀x∈R，f′(x)≥0恒成立，当a＝0时，显然不成立，当a≠0时，则解得a≥1.当a≥1时，∀x∈R，f(x)单调递增，所以“∀x∈R，f(x)单调递增”的充要条件是“a≥1”．因为“a≥0”是“a≥1”的必要不充分条件，所以“a≥0”是“∀x∈R，f(x)单调递增”的必要不充分条件，故选C. 答案　C 11．(多选)若函数f(x)＝ax3＋3x2－x＋1恰好有三个单调区间，则实数a的取值可以是(　　) A．－3 B．－1 C．0 D．2 解析　依题意知，f′(x)＝3ax2＋6x－1有两个不相等的零点，故解得a＞－3且a≠0.故选BD. 答案　BD 12．(多选)已知函数f(x)＝ex＋e－x－2cos x，则下列说法正确的是(　　) A．函数y＝f(x)是偶函数，且在(－∞，＋∞)上不单调 B．函数y＝f′(x)是奇函数，且在(－∞，＋∞)上不单调递增 C．函数y＝f(x)在上单调递增 D．对任意m∈R，都有f(|m|)＝f(m)，且f(m)≥0 解析　函数f(x)的定义域为R，且f(－x)＝e－x＋ex－2cos (－x)＝ex＋e－x－2cos x＝f(x)，即函数f(x)为偶函数，在(－∞，＋∞)上显然不单调，故A正确； 又f′(x)＝ex－e－x＋2sin x，所以f′(－x)＝e－x－ex－2sin x＝－f′(x)， 所以函数y＝f′(x)是奇函数，因为f″(x)＝ex＋e－x＋2cos x≥2＋2cos x≥0恒成立， 所以y＝f′(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，故B错误； 当x∈时，sin x＜0，ex－e－x＜0， 所以f′(x)＝ex－e－x＋2sin x＜0在上恒成立， 所以f(x)在上单调递减，故C错误； 因为函数f(x)为偶函数， 所以对任意m∈R，都有f(|m|)＝f(m)， 当x＞0时，f′(x)＞f′(0)＝1－1＋0＝0， 所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增， 则函数f(x)在(－∞，0)上单调递减， 所以f(x)≥f(0)＝1＋1－2＝0，所以f(m)≥0，故D正确．故选AD. 答案　AD 13．已知函数f(x)＝－x2－3x＋4ln x在(t，t＋2)上不单调，则实数t的取值范围是________． 解析　由题意，f′(x)＝－x－3＋＝－，x∈(0，＋∞)，当f′(x)＝0时，有x2＋3x－4＝0，得x＝－4或x＝1， ∵f(x)在(t，t＋2)上不单调，且(t，t＋2)⊆(0，＋∞)， ∴解得t∈[0，1). 答案　[0，1) 14．已知函数f(x)＝x2＋a ln x(x＞0). (1)当a＝－2时，求函数f(x)的单调区间； (2)若函数g(x)＝f(x)＋在[1，＋∞)上单调，求实数a的取值范围． 解析　(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，当a＝－2时，f′(x)＝2x－＝. 当0＜x＜1时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；当x＞1时，f′(x)＞0，f(x)单调递增． 故f(x)的单调递增区间是(1，＋∞)，单调递减区间是(0，1). (2)由g(x)＝x2＋a ln x＋(x＞0)，得g′(x)＝2x＋－. 由题意知，当x≥1时，g′(x)≥0恒成立或g′(x)≤0恒成立． 若g′(x)＝2x＋－≥0，则a≥－2x2＝－， 当x≥1时，－≤0，∴a≥0； 若g′(x)＝2x＋－≤0，则a≤－2x2＝－， 当x≥1时，y＝－无最小值， ∴g′(x)≤0不可能恒成立． 综上，实数a的取值范围是[0，＋∞). C级[拓广探索] 15．(多选)若函数g(x)＝f(x)ln x在定义域上单调递增，则称函数f(x)具有“Z魔力”，下列函数中具有“Z魔力”的是(　　) A.f(x)＝ B．f(x)＝x－1 C．f(x)＝ D．f(x)＝ex 解析　要使函数f(x)具有“Z魔力”，则g(x)＝f(x)ln x在定义域上单调递增，即当x∈(0，＋∞)时，g′(x)≥0恒成立，对于A，f(x)＝，g(x)＝ln x在定义域上单调递增，故函数f(x)具有“Z魔力”，故A正确；对于B，f(x)＝x－1，g(x)＝(x－1)ln x，g′(x)＝ln x＋＝1＋ln x－，当x∈(0，1)时，g′(x)＜0，g(x)在(0，1)上单调递减，函数f(x)不具有“Z魔力”，故B错误；对于C，f(x)＝，g(x)＝，g′(x)＝，当x∈(e，＋∞)时，g′(x)＜0，g(x)在(e，＋∞)上单调递减，函数f(x)不具有“Z魔力”，故C错误；对于D，f(x)＝ex，g(x)＝ex ln x，g′(x)＝ex，令h(x)＝ln x＋(x＞0)，h′(x)＝－＝，当x∈(0，1)时，h′(x)＜0，h(x)在(0，1)上单调递减，当x∈(1，＋∞)时，h′(x)＞0，h(x)在(1，＋∞)上单调递增，故h(x)min＝h(x)极小值＝h(1)＝1＞0，即g′(x)＞0恒成立，g(x)在定义域上单调递增，因此函数f(x)具有“Z魔力”，故D正确．故选AD. 答案　AD 16．已知函数f(x)＝a ln x－ax－3(a∈R). (1)求函数f(x)的单调区间； (2)若函数y＝f(x)的图象在点(2，f(2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数g(x)＝x3＋x2·在区间(t，3)上总不是单调函数，求实数m的取值范围． 解析　(1)f′(x)＝(x＞0). 当a＞0时，f(x)的单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为(1，＋∞)； 当a＜0时，f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0，1)； 当a＝0时，f(x)为常数函数，无单调区间． (2)由(1)及题意得f′(2)＝－＝1，即a＝－2， 所以f(x)＝－2ln x＋2x－3，f′(x)＝(x＞0). 所以g(x)＝x3＋x2－2x， 所以g′(x)＝3x2＋(m＋4)x－2. 因为g(x)在区间(t，3)上总不是单调函数， 即g′(x)在区间(t，3)上有变号零点． 由于g′(0)＝－2，所以 当g′(t)＜0时， 即3t2＋(m＋4)t－2＜0对任意t∈[1，2]恒成立， 由于g′(0)＜0，故只要g′(1)＜0且g′(2)＜0， 即m＜－5且m＜－9，即m＜－9. 由g′(3)＞0，即m＞－. 所以－＜m＜－9. 即实数m的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $$