3.2 导数与函数的单调性（Word练习）-【导学教程】2025年数学新编高考大一轮总复习（人教A版）

[对应学生用书P287]

A级[基础过关]

1．若函数f(x)＝x3－x2＋ax＋4的单调递减区间是[－1，4]，则a＝(　　)

A．－4　　　　　　　 B．－1

C．1    D．4

解析　易知f′(x)＝x2－3x＋a，由题意知f′(x)≤0的解集为[－1，4]，则－1与4是方程x2－3x＋a＝0的两个根，故a＝－1×4＝－4.

答案　A

2．下列函数，在(0，＋∞)内为增函数的是(　　)

A．f(x)＝sin 2x    B．f(x)＝xex

C．f(x)＝x3－x    D．f(x)＝－x＋ln x

解析　由于x＞0，对于A选项，f′(x)＝2cos 2x，f′＝－1＜0，不符合题意；对于B选项，f′(x)＝(x＋1)ex＞0，符合题意；对于C选项，f′(x)＝3x2－1，f′＝－＜0，不符合题意；对于D选项，f′(x)＝－1＋，f′(2)＝－＜0，不符合题意．故选B.

答案　B

3．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且函数f(x)的图象如图所示，则函数y＝xf′(x)的图象可能是(　　)

解析　由图可知函数f(x)在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，＋∞)上单调递增，则当x∈(－∞，－1)时，f′(x)＜0，当x∈(－1，＋∞)时，f′(x)＞0，且f′(－1)＝0.对于函数y＝xf′(x)，当x∈(－∞，－1)时，xf′(x)＞0，当x∈(－1，0)时，xf′(x)＜0，当x∈(0，＋∞)时，

xf′(x)＞0，且当x＝－1时，xf′(x)＝0，当x＝0时，xf′(x)＝0，显然选项C符合，故选C.

答案　C

4．设函数f′(x)是奇函数f(x)(x≠0)的导函数，f(－1)＝－1.当x＞0时，f′(x)＞1，则使得f(x)＞x成立的x的取值范围是(　　)

A．(－∞，－1)∪(0，1) B．(－1，0)∪(1，＋∞)

C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－1，0)∪(0，1)

解析　由f′(x)＞1(x＞0)，可得f′(x)－1＞0，令g(x)＝f(x)－x，则g′(x)＝f′(x)－1＞0，故g(x)在(0，＋∞)上单调递增．因为f(－1)＝－1，所以g(－1)＝f(－1)＋1＝0，又因为f(x)为奇函数，所以g(x)＝f(x)－x为奇函数，所以g(1)＝0，且在区间(－∞，0)上单调递增．所以使得f(x)＞x，即g(x)＞0成立的x的取值范围是(－1，0)∪(1，＋∞).故选B.

答案　B

5．(多选)已知定义域为R的连续函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足＜0，当m＜0时，下列关系一定成立的是(　　)

A．f(2)＞f(3) B．f(4)＜f(3)

C．f(2)＋f(4)＜2f(3) D．f(2)＋f(4)＞2f(3)

解析　由＜0，得m(x－3)f′(x)＜0，

又m＜0，则(x－3)f′(x)＞0，

当x＞3时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；

当x＜3时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；

所以f(2)＞f(3)，f(4)＞f(3)，

所以f(2)＋f(4)＞2f(3).

答案　AD

6．函数f(x)＝x＋2的单调递增区间是________；单调递减区间是________．

解析　f(x)的定义域为{x|x≤1}，f′(x)＝1－.令f′(x)＝0，得x＝0.当0＜x＜1时，f′(x)＜0；当x＜0时，f′(x)＞0.∴f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为(0，1).

答案　(－∞，0)　(0，1)

7．已知函数f(x)＝x2(x－a).

(1)若f(x)在(2，3)上单调，则实数a的取值范围是____________________；

(2)若f(x)在(2，3)上不单调，则实数a的取值范围是________．

解析　由f(x)＝x3－ax2，

得f′(x)＝3x2－2ax＝3x.

(1)若f(x)在(2，3)上单调递减，则有≥3，解得a≥；

若f(x)在(2，3)上单调递增，则有≤2，解得a≤3，

所以若f(x)在(2，3)上单调，则实数a的取值范围是(－∞，3]∪.

(2)若f(x)在(2，3)上不单调，则有

可得3＜a＜.

答案　(1)(－∞，3]∪　(2)

8．已知函数y＝f(x)(x∈R)的图象如图所示，则不等式xf′(x)≥0的解集为________．

解析　由题中f(x)的图象特征可得，在和[2，＋∞)上f′(x)≥0，在上f′(x)＜0，所以xf′(x)≥0⇔或⇔0≤x≤或x≥2，所以xf′(x)≥0的解集为∪[2，＋∞).

答案　∪[2，＋∞)

9．(2023·全国甲卷改编)已知函数f(x)＝8x－，x∈，讨论f(x)的单调性．

解析　f(x)＝8x－，

则f′(x)＝