3.1 导数的概念及其意义、导数的运算（Word练习）-【导学教程】2025年数学新编高考大一轮总复习（人教A版）

[对应学生用书P285]

A级[基础过关]

1．已知函数f(x)＝2x，则 ＝(　　)

A．1　　　　　　　　　 B．－1

C．ln 2    D．－ln 2

解析　由f(x)＝2x，得f′(x)＝2x ln 2，

所以 ＝－f′(1)＝－×2ln 2＝－ln 2，故选D.

答案　D

2．曲线f(x)＝在点P(1，f(1))处的切线l的方程为(　　)

A．x＋y－2＝0    B．2x＋y－3＝0

C．3x＋y＋2＝0    D．3x＋y－4＝0

解析　因为f(x)＝，所以f′(x)＝.又f(1)＝1，且f′(1)＝－3，故所求切线方程为y－1＝－3(x－1)，即3x＋y－4＝0.故选D.

答案　D

3．已知函数f(x)的导函数是f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋ln ，则f(1)＝(　　)

A．－e    B．2

C．－2    D．e

解析　由题意得，f′(x)＝2f′(1)＋·′＝2f′(1)＋x·＝2f′(1)－，所以f′(1)＝2f′(1)－1，解得f′(1)＝1.

所以f(x)＝2x＋ln ，则f(1)＝2＋ln 1＝2.

答案　B

4．已知函数f(x)＝x ln x，若直线l过点(0，－e)，且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的斜率为(　　)

A．－2    B．2

C．－e    D．e

解析　设切点坐标为(t，t ln t)，∵f(x)＝x ln x，∴f′(x)＝ln x＋1，直线l的斜率为f′(t)＝ln t＋1，∴直线l的方程为y－t ln t＝(ln t＋1)(x－t)，将点(0，－e)的坐标代入直线l的方程得－e－t ln t＝－t(ln t＋1)，解得t＝e，∴直线l的斜率为f′(e)＝2.

答案　B

5．(多选)已知函数f(x)及其导数f′(x)，若存在x0∈R，使得f(x0)＝f′(x0)，则称x0是f(x)的一个“巧值点”，下列函数中，没有“巧值点”的是(　　)

A．f(x)＝2x2＋3    B．f(x)＝

C．f(x)＝e－x    D．f(x)＝ln x

解析　对于A，由f(x0)＝f′(x0)得2x＋3＝4x0，即2x－4x0＋3＝0，Δ＝－8＜0，∴该方程无解，∴函数f(x)＝2x2＋3无“巧值点”，故A符合题意；

对于B，由f(x0)＝f′(x0)得＝－，解得x0＝－1，∴函数f(x)＝有“巧值点”－1，故B不符合题意；

对于C，由f(x0)＝f′(x0)得，无解，∴函数f(x)＝e－x无“巧值点”，故C符合题意；

对于D，由f(x0)＝f′(x0)得ln x0＝，易知函数y＝ln x0与y＝的图象(图略)在第一象限内有一个交点，∴方程ln x0＝有一个解，∴函数f(x)＝ln x有“巧值点”，故D不符合题意．故选AC.

答案　AC

6．已知函数f(x)＝＋ex cos x，若f′(0)＝－1，则a＝________．

解析　f′(x)＝＋ex cos x－ex sin x＝＋ex cos x－ex sin x，所以f′(0)＝－a＋1＝－1，则a＝2.

答案　2

7．曲线y＝sin x＋ex在x＝0处的切线过点(m，0)，则m＝________．

解析　因为y′＝(sin x＋ex)′＝cos x＋ex，所以y′|x＝0＝cos 0＋e0＝2，所以曲线y＝sin x＋ex在点(0，1)处的切线方程为y－1＝2(x－0)，即2x－y＋1＝0，此直线过点.故m＝－

.

答案　－

8．曲线y＝2ln x－x在x＝1处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为________．

解析　对y＝2ln x－x求导，得y′＝－1，故曲线y＝2ln x－x在x＝1处的切线斜率为2－1＝1，又当x＝1时，y＝－1，∴切线方程为y－(－1)＝1×(x－1)，即y＝x－2，令x＝0得y＝－2，令y＝0得x＝2，∴切线与两坐标轴围成的三角形的面积为×2×2＝2.

答案　2

9. 已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(e)＋ln x.

(1)求f′(e)及f(e)的值；

(2)求f(x)在点(e2，f(e2))处的切线方程．

解析　(1)∵f(x)＝2xf′(e)＋ln x，

∴f′(x)＝2f′(e)＋，f′(e)＝2f′(e)＋，

∴f′(e)＝－，f(x)＝－＋ln x，

∴f(e)＝－＋ln e＝－1.

(2)∵f(x)＝－＋ln x，f′(x)＝－＋，

∴f(e2)＝－＋ln e2＝2－2e，

f′(e2)＝－＋，

∴f(x)在点(e2，f(e2))处的切线方程为y－(2－2e)＝(x－e2)，

即(2e－1)x＋e2y－e2＝0.

B级[能力提升]

10．已知P是曲线y＝－sin x(x∈[0，π])上的动点，点Q在直线x－2y－6＝0上运动，则当|PQ|取最小值时，点P的横坐标为(　　)

A．    B．