3.1 导数的概念及其意义、导数的运算（Word练习）-【导学教程】2025年数学新编高考大一轮总复习（人教A版）

[对应学生用书P285] A级[基础过关] 1．已知函数f(x)＝2x，则 ＝(　　) A．1　　　　　　　　　 B．－1 C．ln 2 D．－ln 2 解析　由f(x)＝2x，得f′(x)＝2x ln 2， 所以 ＝－f′(1)＝－×2ln 2＝－ln 2，故选D. 答案　D 2．曲线f(x)＝在点P(1，f(1))处的切线l的方程为(　　) A．x＋y－2＝0 B．2x＋y－3＝0 C．3x＋y＋2＝0 D．3x＋y－4＝0 解析　因为f(x)＝，所以f′(x)＝.又f(1)＝1，且f′(1)＝－3，故所求切线方程为y－1＝－3(x－1)，即3x＋y－4＝0.故选D. 答案　D 3．已知函数f(x)的导函数是f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋ln ，则f(1)＝(　　) A．－e B．2 C．－2 D．e 解析　由题意得，f′(x)＝2f′(1)＋·′＝2f′(1)＋x·＝2f′(1)－，所以f′(1)＝2f′(1)－1，解得f′(1)＝1. 所以f(x)＝2x＋ln ，则f(1)＝2＋ln 1＝2. 答案　B 4．已知函数f(x)＝x ln x，若直线l过点(0，－e)，且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的斜率为(　　) A．－2 B．2 C．－e D．e 解析　设切点坐标为(t，t ln t)，∵f(x)＝x ln x，∴f′(x)＝ln x＋1，直线l的斜率为f′(t)＝ln t＋1，∴直线l的方程为y－t ln t＝(ln t＋1)(x－t)，将点(0，－e)的坐标代入直线l的方程得－e－t ln t＝－t(ln t＋1)，解得t＝e，∴直线l的斜率为f′(e)＝2. 答案　B 5．(多选)已知函数f(x)及其导数f′(x)，若存在x0∈R，使得f(x0)＝f′(x0)，则称x0是f(x)的一个“巧值点”，下列函数中，没有“巧值点”的是(　　) A．f(x)＝2x2＋3 B．f(x)＝ C．f(x)＝e－x D．f(x)＝ln x 解析　对于A，由f(x0)＝f′(x0)得2x＋3＝4x0，即2x－4x0＋3＝0，Δ＝－8＜0，∴该方程无解，∴函数f(x)＝2x2＋3无“巧值点”，故A符合题意； 对于B，由f(x0)＝f′(x0)得＝－，解得x0＝－1，∴函数f(x)＝有“巧值点”－1，故B不符合题意； 对于C，由f(x0)＝f′(x0)得，无解，∴函数f(x)＝e－x无“巧值点”，故C符合题意； 对于D，由f(x0)＝f′(x0)得ln x0＝，易知函数y＝ln x0与y＝的图象(图略)在第一象限内有一个交点，∴方程ln x0＝有一个解，∴函数f(x)＝ln x有“巧值点”，故D不符合题意．故选AC. 答案　AC 6．已知函数f(x)＝＋ex cos x，若f′(0)＝－1，则a＝________． 解析　f′(x)＝＋ex cos x－ex sin x＝＋ex cos x－ex sin x，所以f′(0)＝－a＋1＝－1，则a＝2. 答案　2 7．曲线y＝sin x＋ex在x＝0处的切线过点(m，0)，则m＝________． 解析　因为y′＝(sin x＋ex)′＝cos x＋ex，所以y′|x＝0＝cos 0＋e0＝2，所以曲线y＝sin x＋ex在点(0，1)处的切线方程为y－1＝2(x－0)，即2x－y＋1＝0，此直线过点.故m＝－. 答案　－ 8．曲线y＝2ln x－x在x＝1处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为________． 解析　对y＝2ln x－x求导，得y′＝－1，故曲线y＝2ln x－x在x＝1处的切线斜率为2－1＝1，又当x＝1时，y＝－1，∴切线方程为y－(－1)＝1×(x－1)，即y＝x－2，令x＝0得y＝－2，令y＝0得x＝2，∴切线与两坐标轴围成的三角形的面积为×2×2＝2. 答案　2 9. 已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(e)＋ln x. (1)求f′(e)及f(e)的值； (2)求f(x)在点(e2，f(e2))处的切线方程． 解析　(1)∵f(x)＝2xf′(e)＋ln x， ∴f′(x)＝2f′(e)＋，f′(e)＝2f′(e)＋， ∴f′(e)＝－，f(x)＝－＋ln x， ∴f(e)＝－＋ln e＝－1. (2)∵f(x)＝－＋ln x，f′(x)＝－＋， ∴f(e2)＝－＋ln e2＝2－2e， f′(e2)＝－＋， ∴f(x)在点(e2，f(e2))处的切线方程为y－(2－2e)＝(x－e2)， 即(2e－1)x＋e2y－e2＝0. B级[能力提升] 10．已知P是曲线y＝－sin x(x∈[0，π])上的动点，点Q在直线x－2y－6＝0上运动，则当|PQ|取最小值时，点P的横坐标为(　　) A． B． C． D． 解析　如图所示，若使|PQ|取得最小值，则曲线y＝－sin x(x∈[0，π])在点P处的切线与直线x－2y－6＝0平行，对函数y＝－sin x求导得y′＝－cos x，令y′＝，可得cos x＝－，因为0≤x≤π，解得x＝，故点P的横坐标为.故选C. 答案　C 11．(多选)若函数y＝f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线相互垂直，则称y＝f(x)具有T性质．下列函数具有T性质的是(　　) A．y＝cos x B．y＝ln x C．y＝ex D．y＝x2 解析　由题意，若y＝f(x)具有T性质，则存在x1，x2，使得f′(x1)f′(x2)＝－1.对于A，因为f′(x)＝－sin x，存在x1＝，x2＝－，使得f′(x1)f′(x2)＝－1，正确；对于B，因为f′(x)＝＞0，不存在x1，x2，使得f′(x1)f′(x2)＝－1，错误；对于C，因为f′(x)＝ex＞0，不存在x1，x2，使得f′(x1)f′(x2)＝－1，错误；对于D，因为f′(x)＝2x，存在x1＝1，x2＝－，使得f′(x1)f′(x2)＝4x1x2＝－1，正确．故选AD. 答案　AD 12．(多选)若函数f(x)＝＋ln (x＋1)的图象上不存在互相垂直的切线，则a的值可以是(　　) A．－1 B．5 C．1 D．3 解析　f′(x)＝x＋－a＝x＋1＋－a－1≥2－a－1＝1－a， 当且仅当x＋1＝，即x＝0时，等号成立． 因为函数f(x)的图象上不存在互相垂直的切线， 所以f′(x)min≥0，即1－a≥0，解得a≤1，故选AC. 答案　AC 13．若过点P(a，0)与曲线y＝xex相切的直线有且仅有两条，则实数a的取值范围为________． 解析　设切点为(x0，x0)，因为y′＝(x＋1)ex，则，所以切线方程为y－x0＝(x0＋1) (x－x0)，切线过点P(a，0)， 代入得－x0＝(x0＋1) (a－x0)，即方程x－ax0－a＝0有两个解，则有Δ＝a2＋4a＞0，解得a＞0或a＜－4. 答案　(－∞，－4)∪(0，＋∞) 14．已知函数f(x)＝x－1＋(a∈R，e为自然对数的底数). (1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求a的值； (2)当a＝1时，若直线l：y＝kx－1与曲线y＝f(x)相切，求直线l的方程． 解析　(1)f′(x)＝1－，因为曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，即f′(1)＝1－＝0，解得a＝e. (2)当a＝1时，f(x)＝x－1＋，f′(x)＝1－.设切点为(x0，y0)， 因为f(x0)＝x0－1＋＝kx0－1，① f′(x0)＝1－＝k，② ①＋②得x0＝kx0－1＋k，即(k－1)(x0＋1)＝0. 若k＝1，则②式无解，所以x0＝－1，k＝1－e， 所以直线l的方程为y＝(1－e)x－1. C级[拓广探索] 15．若存在a＞0，使得两曲线f(x)＝a ln x与g(x)＝x2－3x－b存在相同的切线，且切线的斜率为1，则b的最大值为________． 解析　f′(x)＝，g′(x)＝2x－3， 令f′(x)＝＝1，得x＝a，∴切点为(a，a ln a)， 令g′(x)＝2x－3＝1，得x＝2， ∴切点为(2，－2－b). 代入切线方程为y－a ln a＝x－a，可得－2－b－a ln a＝2－a，则b＝a－a ln a－4， 令h(x)＝x－x ln x－4，x＞0，则h′(x)＝1－ln x－1＝－ln x，当0＜x＜1时，h′(x)＞0，当x＞1时，h′(x)＜0， ∴h(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， ∴h(x)max＝h(1)＝－3，即b的最大值为－3. 答案　－3 16．已知函数f(x)＝ax3＋3x2－6ax－11，g(x)＝3x2＋6x＋12和直线m：y＝kx＋9，且f′(－1)＝0. (1)求a的值； (2)是否存在实数k，使直线m既是曲线y＝f(x)的切线，又是曲线y＝g(x)的切线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由． 解析　(1)由已知得f′(x)＝3ax2＋6x－6a，因为f′(－1)＝0，所以3a－6－6a＝0，所以a＝－2. (2)存在．理由如下： 由已知得，直线m恒过定点(0，9)，若直线m是曲线y＝g(x)的切线，则设切点为(x0，3x＋6x0＋12). 因为g′(x0)＝6x0＋6，所以切线方程为y－(3x＋6x0＋12)＝(6x0＋6)(x－x0)，将(0，9)代入切线方程，解得x0＝±1. 当x0＝－1时，切线方程为y＝9. 当x0＝1时，切线方程为y＝12x＋9. 由(1)知f(x)＝－2x3＋3x2＋12x－11，f′(x)＝－6x2＋6x＋12. ①由f′(x)＝0得－6x2＋6x＋12＝0，解得x＝－1或x＝2. 在x＝－1处，曲线y＝f(x)的切线方程为y＝－18； 在x＝2处，曲线y＝f(x)的切线方程为y＝9， 所以曲线y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是直线y＝9. ②由f′(x)＝12得－6x2＋6x＋12＝12，解得x＝0或x＝1. 在x＝0处，曲线y＝f(x)的切线方程为y＝12x－11； 在x＝1处，曲线y＝f(x)的切线方程为y＝12x－10，所以直线y＝12x＋9不是曲线y＝f(x)与y＝g(x)的公切线． 综上所述，曲线y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是直线y＝9，此时k＝0. 学科网（北京）股份有限公司 $$