2.10 函数模型的应用（Word练习）-【导学教程】2025年数学新编高考大一轮总复习（人教A版）

[对应学生用书P283] A级[基础过关] 1．下列函数，随着x的增大，y也增大，且增长速度最快的是(　　) A．y＝0.001ex　　　　　　 B．y＝1 000ln x C．y＝x1 000 D．y＝1 000×2x 解析　在对数函数、幂函数、指数函数中，指数函数的增长速度最快，故排除B，C；指数函数中，当底数大于1时，底数越大，函数的增长速度就越快，系数的影响可忽略不计．故选A. 答案　A 2．某校拟用一种喷雾剂对宿舍进行消毒，需对喷雾完毕后空气中每立方米药物残留量y(单位：mg)与时间x(单位：h)的关系进行研究，为此收集部分数据并进行了初步处理，得到如下散点图．现拟从下列四个函数模型中选择一个估计y与x的关系，则应选用的函数模型是(　　) A．y＝ax＋b B．y＝a·＋b(a>0) C．y＝xa＋b(a>0) D．y＝ax＋(a>0，b>0) 解析　由题图可知，函数在(0，＋∞)上单调递减，且散点分布在一条曲线附近．函数y＝ax＋b的图象为一条直线，不符合题意；函数y＝a·＋b的图象为一条曲线，且当a>0时，该函数单调递减，符合题意；函数y＝xa＋b(a>0)在区间(0，＋∞)上单调递增，不符合题意；函数y＝ax＋(a>0，b>0)在区间上单调递减，在区间上单调递增，不符合题意．故选B. 答案　B 3．据统计，第x年某湿地公园越冬的白鹭数量y(只)近似满足y＝klog3(x＋1)，观测发现第2年有越冬白鹭1 000只，估计第5年有越冬白鹭(ln 2≈0.7，ln 3≈1.1)(　　) A．1 530只 B．1 636只 C．1 830只 D．1 930只 解析　∵第x年某湿地公园越冬的白鹭数量y(只)近似满足y＝klog3(x＋1)， 且当x＝2时，y＝1 000， ∴1 000＝klog33，解得k＝1 000， ∴当x＝5时，y＝1 000×log36＝1 000×(log33＋log32)＝1 000×≈1 636. 答案　B 4．在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，每名感染者平均可传染的人数．假设某种传染病的基本传染数为R0，1个感染者在每个传染期会接触到N个新人，这N个人中有V个人接种过疫苗，那么1个感染者传染人数为(N－V).已知某种传染病在某地的基本传染数R0＝4，为了使1个感染者传染人数不超过1，则该地疫苗的接种率至少为(　　) A.45% B．55% C．65% D．75% 解析　为了使1个感染者传染人数不超过1，只需(N－V)≤1，即R0·≤1.因为R0＝4，所以1－≤，可得≥＝75%.故选D. 答案　D 5．医学家们为了揭示药物在人体内吸收、排出的规律，常借助恒速静脉滴注一室模型来进行描述．在该模型中，人体内药物含量x(单位：mg)与给药时间t(单位：h)近似满足函数关系式ln (kx)＝ln k0＋ln (1－e－kt)，其中k0，k分别称为给药速率和药物消除速率(单位：mg/h).经测试发现，对于某种药物，给药时间12 h后，人体内的药物含量为，则该药物的消除速率k的值约为(　　) (参考数据：ln 2≈0.693) A．0.105 5 B．0.106 5 C．0.116 5 D．0.115 5 解析　由题意，ln ＝ln k0＋ln (1－e－12k)⇒e－12k＝⇒－12k＝－2ln 2，即6k＝ln 2≈0.693，解得k≈0.115 5. 答案　D 6．经市场调查，某种商品在过去50天的销售量和单价均为销售时间t(天)的函数，且该商品的销售量f(t)＝－2t＋200(1≤t≤50，t∈N)，该商品的单价g(t)＝(t∈N)，则该商品日销售额的最大值为________． 解析　设该商品的日销售额为S.当1≤t≤30，t∈N时，S＝(－2t＋200)×＝－t2＋40t＋6 000＝－(t－20)2＋6 400，当t＝20时，Smax＝6 400；当30＜t≤50，t∈N时，S＝45(－2t＋200)＝－90t＋9 000，当t＝31时，Smax＝6 210.因为6 210＜6 400，所以当t＝20时，该商品的日销售额有最大值6 400. 答案　6 400 7．某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边夹角为60°(如图)，考虑防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为9 m2，且高度不低于 m.记防洪堤横断面的腰长为x m，外周长(梯形的长底线段BC与两腰长的和)为y m．要使防洪堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即横断面的外周长最小)，则防洪堤的腰长x＝________m. 解析　设梯形的高为h m．由题意可知9＝(AD＋BC)h，其中AD＝BC＋2·＝BC＋x，h＝x，整理可得BC＝－，由h≥，BC＞0，可得2≤x＜6，∴y＝BC＋2x＝＋≥2＝6，当且仅当＝(2≤x＜6)，即x＝2时等号成立． 答案　2 8．某村利用当地优势引进经济效益好、养殖密度高的“活水围网”养鱼技术．研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v(单位：千克/年)是养殖密度x(单位：尾/立方米)的连续函数．当x不超过4尾/立方米时，v的值为2千克/年；当4＜x≤20时，v是x的一次函数；当x达到20尾/立方米时，因缺氧等原因，v的值为0千克/年． (1)当0＜x≤20时，求函数v关于x的函数解析式； (2)当养殖密度x为多大时，鱼的年生长量(单位：千克/立方米)可以达到最大？并求出最大值． 解析　(1)由题意得当0＜x≤4时，v＝2，当4＜x≤20时，设v＝ax＋b(a≠0)， 显然v＝ax＋b在(4，20]内是减函数， 由已知得解得 所以v＝－x＋. 故函数v＝(x∈N*). (2)设年生长量为f(x)千克/立方米， 依题意，由(1)得 f(x)＝(x∈N*). 当0＜x≤4时，f(x)为增函数， 故f(x)max＝f(4)＝4×2＝8； 当4＜x≤20时，f(x)＝－x2＋x＝－(x2－20x)＝－(x－10)2＋. 所以f(x)max＝f(10)＝12.5. 因为8＜12.5， 所以当0＜x≤20时，f(x)的最大值为12.5. 故当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为12.5(千克/立方米). B级[能力提升] 9．为了做好蝗虫防控工作，完善应急预案演练，专家假设蝗虫的日增长率为6%，最初有N0只，则能达到最初的1 200倍大约经过(参考数据：ln 1.06≈0.058 3，ln 1 200≈7.090 1)(　　) A．122天 B．124天 C．130天 D．136天 解析　由题意可知，蝗虫最初有N0只且日增长率为6%.设经过n天后蝗虫数量达到原来的1 200倍，则＝1 200， ∴1.06n＝1 200， ∴n＝log1.06 1 200＝≈121.614， ∵n∈N*，∴大约经过122天能达到最初的1 200倍． 答案　A 10．“百日冲刺”是学校针对高三学生进行的高考前的激情教育，它能在短时间内最大限度地激发一个人的潜能，使成绩在原来的基础上有不同程度的提高，以便在高考中取得令人满意的成绩，特别对于成绩在中等偏下的学生来讲，其增加分数的空间尤其大．现有某班主任老师根据历年成绩在中等偏下的学生经历“百日冲刺”之后的成绩变化，构造了一个经过时间t(30≤t≤100)(单位：天)，增加总分数f(t)(单位：分)的函数模型：f(t)＝，k为增分转化系数，P为“百日冲刺”前的最后一次模考总分，且f(60)＝P.现有某学生在高考前100天的最后一次模考总分为400分，依据此模型估计此学生在高考中可能取得的总分约为________(保留到个位)(lg 61≈1.79). 解析　由题意得， f(60)＝≈＝P，∴k＝＝0.465， ∴f(100)＝＝≈＝62，∴该学生在高考中可能取得的总分约为400＋62＝462. 答案　462 11．某乡镇为创建“绿色家园”，决定在乡镇范围内栽种某种观赏树木，已知这种树木自栽种之日起，其生长规律为：树木的高度f(x)(单位：米)与生长年限x(单位：年)满足关系f(x)＝(x∈N).树木栽种时的高度为米，1年后，树木的高度达到 米． (1)求f(x)的解析式； (2)问从种植之日起，第几年树木生长最快？ 解析　(1)由已知得即 所以解得 所以f(x)＝(x∈N). (2)令g(x)＝f(x＋1)－f(x)＝－＝， 则g(x)＝＝≤＝41(2－)， 当且仅当3x＝37－x，即x＝时等号成立，又x∈N，g(3)＝＝g(4)， 故从种植之日起，第3年与第4年树木生长的最快． C级[拓广探索] 12．为进一步奏响“绿水青山就是金山银山”的主旋律，某旅游风景区以“绿水青山”为主题，特别制作了旅游纪念章，并决定近期投放市场．根据市场调研情况，预计每枚该纪念章的市场价y(单位：元)与上市时间x(单位：天)的数据如下表： 上市时间x/天 2 6 20 市场价y/元 102 78 120 (1)根据上表数据，从下列函数中选取一个恰当的函数描述每枚该纪念章的市场价y与上市时间x的变化关系并说明理由：①y＝ax＋b(a≠0)；②y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；③y＝alogbx(a≠0，b＞0，b≠1)；④y＝＋b(a≠0)； (2)利用你选取的函数，求该纪念章市场价最低时的上市天数及最低市场价； (3)利用你选取的函数，若存在x∈(10，＋∞)使得不等式－k≤0成立，求实数k的取值范围． 解析　(1)由题表知，随着时间x的增大，y的值先减小后增大，而所给的函数①y＝ax＋b(a≠0)，③y＝alogbx(a≠0，b＞0，b≠1)和④y＝＋b(a≠0)在(0，＋∞)上显然都是单调函数，不满足题意，故选择②y＝ax2＋bx＋c(a≠0). (2)把(2，102)，(6，78)，(20，120)分别代入y＝ax2＋bx＋c， 得解得 所以y＝x2－10x＋120＝(x－10)2＋70，x∈(0，＋∞). 所以当x＝10时，y有最小值，且ymin＝70. 故当该纪念章上市10天时，市场价最低，最低市场价为每枚70元． (3)令g(x)＝＝(x－10)＋，x∈(10，＋∞)， 因为存在x∈(10，＋∞)使得不等式g(x)－k≤0成立，则k≥g(x)min. 又g(x)＝(x－10)＋≥2＝2， 当且仅当(x－10)＝，即x＝10＋2时，等号成立．所以实数k的取值范围是[2，＋∞). 学科网（北京）股份有限公司 $$