2.10 函数模型的应用（Word练习）-【导学教程】2025年数学新编高考大一轮总复习（人教A版）

[对应学生用书P283]

A级[基础过关]

1．下列函数，随着x的增大，y也增大，且增长速度最快的是(　　)

A．y＝0.001ex　　　　　　 B．y＝1 000ln x

C．y＝x1 000    D．y＝1 000×2x

解析　在对数函数、幂函数、指数函数中，指数函数的增长速度最快，故排除B，C；指数函数中，当底数大于1时，底数越大，函数的增长速度就越快，系数的影响可忽略不计．故选A.

答案　A

2．某校拟用一种喷雾剂对宿舍进行消毒，需对喷雾完毕后空气中每立方米药物残留量y(单位：mg)与时间x(单位：h)的关系进行研究，为此收集部分数据并进行了初步处理，得到如下散点图．现拟从下列四个函数模型中选择一个估计y与x的关系，则应选用的函数模型是(　　)

A．y＝ax＋b B．y＝a·＋b(a>0)

C．y＝xa＋b(a>0) D．y＝ax＋(a>0，b>0)

解析　由题图可知，函数在(0，＋∞)上单调递减，且散点分布在一条曲线附近．函数y＝ax＋b的图象为一条直线，不符合题意；函数y＝a·＋b的图象为一条曲线，且当a>0时，该函数单调递减，符合题意；函数y＝xa＋b(a>0)在区间(0，＋∞)上单调递增，不符合题意；函数y＝ax＋(a>0，b>0)在区间上单调递减，在区间上单调递增，不符合题意．故选B.

答案　B

3．据统计，第x年某湿地公园越冬的白鹭数量y(只)近似满足y＝klog3(x＋1)，观测发现第2年有越冬白鹭1 000只，估计第5年有越冬白鹭(ln 2≈0.7，ln 3≈1.1)(　　)

A．1 530只    B．1 636只

C．1 830只    D．1 930只

解析　∵第x年某湿地公园越冬的白鹭数量y(只)近似满足y＝klog3(x＋1)，

且当x＝2时，y＝1 000，

∴1 000＝klog33，解得k＝1 000，

∴当x＝5时，y＝1 000×log36＝1 000×(log33＋log32)＝1 000×≈1 636.

答案　B

4．在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，每名感染者平均可传染的人数．假设某种传染病的基本传染数为R0，1个感染者在每个传染期会接触到N个新人，这N个人中有V个人接种过疫苗，那么1个感染者传染人数为(N－V).已知某种传染病在某地的基本传染数R0＝4，为了使1个感染者传染人数不超过1，则该地疫苗的接种率至少为(　　)

A.45%    B．55%

C．65%    D．75%

解析　为了使1个感染者传染人数不超过1，只需(N－V)≤1，即R0·≤1.因为R0＝4，所以1－≤，可得≥＝75%.故选D.

答案　D

5．医学家们为了揭示药物在人体内吸收、排出的规律，常借助恒速静脉滴注一室模型来进行描述．在该模型中，人体内药物含量x(单位：mg)与给药时间t(单位：h)近似满足函数关系式ln (kx)＝ln k0＋ln (1－e－kt)，其中k0，k分别称为给药速率和药物消除速率(单位：mg/h).经测试发现，对于某种药物，给药时间12 h后，人体内的药物含量为，则该药物的消除速率k的值约为(　　)

(参考数据：ln 2≈0.693)

A．0.105 5    B．0.106 5

C．0.116 5    D．0.115 5

解析　由题意，ln ＝ln k0＋ln (1－e－12k)⇒e－12k＝⇒－12k＝－2ln 2，即6k＝ln 2≈0.693，解得k≈0.115 5.

答案　D

6．经市场调查，某种商品在过去50天的销售量和单价均为销售时间t(天)的函数，且该商品的销售量f(t)＝－2t＋200(1≤t≤50，t∈N)，该商品的单价g(t)＝(t∈N)，则该商品日销售额的最大值为________．

解析　设该商品的日销售额为S.当1≤t≤30，t∈N时，S＝(－2t＋200)×＝－t2＋40t＋6 000＝－(t－20)2＋6 400，当t＝20时，Smax＝6 400；当30＜t≤50，t∈N时，S＝45(－2t＋200)＝－90t＋9 000，当t＝31时，Smax＝6 210.因为6 210＜6 400，所以当t＝20时，该商品的日销售额有最大值6 400.

答案　6 400

7．某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边夹角为60°(如图)，考虑防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为9 m2，且高度不低于 m.记防洪堤横断面的腰长为x m，外周长(梯形的长底线段BC与两腰长的和)为y m．要使防洪堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即横断面的外周长最小)，则防洪堤的腰长x＝________m.

解析　设梯形的高为h m．由题意可知9＝(AD＋BC)h，其中AD＝BC＋2·＝BC＋x，h＝x，整理可得BC＝－，由h≥，BC＞0，可得2≤x＜6，∴y＝BC＋2x＝＋≥2＝6，当且仅当＝(2≤x＜6)，即x＝2时等号成立．

答案　2

8．某村利用当地优势引进经济效益好、养殖密度高的“活水围网”养鱼技术．研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v(单位：千克/年)是养殖密度x(单位：尾/立方米)的连续函数．当x不超过4尾/立方米时，v的值为2千克/年；当4＜x≤20时，v是x的一次函数；当x达到20尾/立方米时，因缺氧等原因，v的值为0千克/年．

(1)当0＜x≤20时，求函数v关于x的函数解析式；

(2)当养殖密度x为多大时，鱼的年生长量(单位：千克/立方米)可以达到最大？并求出最大值．