2.9 函数的零点与方程的解（Word练习）-【导学教程】2025年数学新编高考大一轮总复习（人教A版）

[对应学生用书P281] A级[基础过关] 1．下列函数在(0，＋∞)上单调递增且存在零点的是(　　) A．y＝x2－x－3　　　　 B．y＝－0.2x C．y＝sin 2x D．y＝x－ 解析　对于A，y＝x2－x－3在(0，＋∞)上不单调，不合题意，A错误；对于B，令－0.2x＝0，则该方程无解，不合题意，B错误；对于C，y＝sin 2x在(0，＋∞)上不单调，不合题意，C错误；对于D，y＝x与y＝－在(0，＋∞)上均单调递增，∴y＝x－在(0，＋∞)上单调递增，令x－＝0，解得x＝±1，则y＝x－在(0，＋∞)上存在零点1，D正确，故选D. 答案　D 2．设函数f(x)＝4x3＋x－8，用二分法求方程4x3＋x－8＝0近似解的过程中，计算得到f(1)＜0，f(3)＞0，则方程的近似解落在区间(　　) A． B． C． D． 解析　取x1＝2，因为f(2)＝4×8＋2－8＝26＞0，所以方程近似解x0∈(1，2)，取x2＝，因为f＝4×＋－8＝7＞0，所以方程近似解x0∈. 答案　A 3．关于函数f(x)＝(ln x)2－2ln x，下列说法正确的是(　　) A．函数f(x)有2个零点 B．函数f(x)有4个零点 C．e是函数f(x)的一个零点 D．2e是函数f(x)的一个零点 解析　令f(x)＝(ln x)2－2ln x＝(ln x－2)ln x＝0，得ln x＝0或ln x＝2，即x＝1或x＝e2，所以函数f(x)有2个零点，分别为1，e2.故选A. 答案　A 4．已知函数f(x)＝ln |x－2|＋x2与g(x)＝4x，则两函数图象所有交点的横坐标之和为(　　) A．0 B．2 C．3 D．4 解析　原问题可以转化为求方程ln |x－2|＝4x－x2的所有根之和，易知y＝ln |x－2|和y＝4x－x2的图象均关于直线x＝2对称，且两个函数的图象有2个交点，故两个交点的横坐标之和为4. 答案　D 5．(多选)函数f(x)＝sin x＋2|sin x|，x∈[0，2π]的图象与直线y＝k的交点个数可能是(　　) A．1 B．2 C．4 D．6 解析　由题意知，f(x)＝在直角坐标系中画出函数f(x)的图象如图所示． 由其图象知，直线y＝k与y＝f(x)的图象交点个数可能为0，1，2，3，4. 答案　ABC 6．已知a＞0，若函数f(x)＝有两个不同的零点，则a的取值范围为________． 解析　令x＋a＝0，x＝－a＜a，则x＝－a是函数f(x)的一个零点；令ln x＋2＝0，解得x＝，要使得f(x)有两个不同的零点，则a∈. 答案　 7．若函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c是奇函数，且有三个不同的零点，写出一个符合条件的函数：f(x)＝________． 解析　f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c为奇函数，故a＝c＝0，f(x)＝x3＋bx＝x(x2＋b)有三个不同零点，∴b＜0，∴f(x)＝x3－x满足题意． 答案　x3－x(答案不唯一) 8．方程2x＋3x＝k的解在[1，2)内，则k的取值范围是________． 解析　令函数f(x)＝2x＋3x－k，则f(x)在R上是增函数．当方程2x＋3x＝k的解在(1，2)内时，f(1)·f(2)＜0，即(5－k)(10－k)＜0，解得5＜k＜10，又当f(1)＝0时，k＝5.综上，实数k的取值范围是[5，10). 答案　[5，10) 9．函数f(x)＝x2＋bx＋c的两个零点为2，3. (1)求b，c的值； (2)若函数g(x)＝f(x)＋mx的两个零点分别在区间(1，2)，(2，4)内，求实数m的取值范围． 解析　(1)∵2，3为方程x2＋bx＋c＝0的两根， ∴∴ (2)由(1)知f(x)＝x2－5x＋6. ∴g(x)＝x2＋(m－5)x＋6， 依题意解得－＜m＜0， 故实数m的取值范围是. B级[能力提升] 10．定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋1)＝f(x)，则f(x)在[－3，3]上的零点个数至少为(　　) A．6 B．7 C．12 D．13 解析　因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，又由f(x＋1)＝f(x)得f(x)的周期为1，所以f(－3)＝f(－2)＝f(－1)＝f(0)＝f(1)＝f(2)＝f(3)＝0.又f＝f，f＝－f，因此f＝f＝0，则f＝f＝f＝f＝f＝f＝0，故f(x)在[－3，3]上至少有13个零点，故选D. 答案　D 11．已知函数f(x)＝若f(x)有两个零点x1，x2(x1＞x2)，则x1－x2的最小值是(　　) A．1 B．2 C． D． 解析　根据题意可得－t＝0，解得x1＝t2(t≥0)，2(x2＋1)－t＝0，解得x2＝t－1(t＜2)，则x1－x2＝t2－t＋1＝＋(0≤t＜2)，当t＝时，x1－x2取得最小值. 答案　D 12．(多选)已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)＋f(2)，且在区间[0，2]上是增函数，则下列说法正确的是(　　) A．函数f(x)的一个周期为4 B．直线x＝－4是函数f(x)图象一条对称轴 C．函数f(x)在[－6，－5)上单调递增，在[－5，－1)上单调递减 D．函数f(x)在[0，100]内有25个零点 解析　令x＝－2，得f(－2＋4)＝f(－2)＋f(2)，即f(－2)＝0.由于函数f(x)为偶函数，故f(2)＝f(－2)＝0，所以f(x＋4)＝f(x)，函数f(x)是以4为周期的函数，故A正确；因为f(－4＋x)＝f(4－x)＝f(4－8－x)＝f(－4－x)，所以直线x＝－4是函数图象的一条对称轴，故B正确；结合函数在区间[0，2]上是增函数，画出函数f(x)的大致图象如图所示，由图可知，函数在[－6，－4)上单调递减，故C错误；根据图象可知，f(2)＝f(6)＝f(10)＝…＝f(98)＝0，故共有25个零点．故D正确． 答案　ABD 13．已知函数f(x)＝那么f(f(4))＝________，若存在实数a，使得f(a)＝f(f(a))，则a的个数是________． 解析　由f(4)＝－2，得f(f(4))＝f(－2)＝1. 设f(a)＝t，由f(a)＝f(f(a))，得t＝f(t)， 即图象与y＝x有交点，可得t＝1或t＝－1， 由图象可知， 当t＝1时，即f(a)＝1，可得a＝1或a＝－2， 当t＝－1时，即f(a)＝－1，可得a＝3或a＝0或a＝－1. 综上，存在实数a，使得f(a)＝f(f(a))，且a的个数是5. 答案　1　5 14．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c，且f(1)＝－，3a＞2c＞2b.求证： (1)当a＞0时，－3＜＜－； (2)函数f(x)在区间(0，2)内至少有一个零点． 证明　(1)∵f(1)＝a＋b＋c＝－， ∴3a＋2b＋2c＝0，又3a＞2c＞2b， ∴3a＞0，2b＜0，即a＞0，b＜0. 又2c＝－3a－2b， ∴3a＞－3a－2b＞2b，又a＞0， 所以－3＜＜－. (2)f(0)＝c，f(2)＝4a＋2b＋c， f(1)＝－，Δ＝b2－4ac＝b2＋4ab＋6a2＞0. 当c＞0时，f(0)＞0，f(1)＜0， ∴f(x)在(0，2)内至少有一个零点； 当c＝0时，f(0)＝0，f(1)＜0，f(2)＝4a＋2b＝a＞0，∴f(x)在(0，2)内有一个零点； 当c＜0时，f(0)＜0，f(1)＜0，b＝－a－c，f(2)＝4a－3a－2c＋c＝a－c＞0， ∴f(x)在(0，2)内有一个零点． 综上，f(x)在(0，2)内至少有一个零点． C级[拓广探索] 15．已知函数f(x)＝当n分别取1，2，3，…，k(k∈N*)时，方程f(x)＝(n∈N*)对应的整数解分别为x1，x2，x3，…，xk，则k＝________． 解析　当－2≤x≤0时， f(x)＝－x2－2x＝－x(x＋2)， 所以f(x)图象的对称轴x＝－1在该区间内， 且f(－1)＝1，f(－2)＝f(0)＝0. 当x＞0时，f(x)＝f(x－2)，即将前一个区间内的图象向右平移2个单位，并且函数值变为原来的，作出f(x)的图象如图所示． 当－2≤x≤0时，方程f(x)＝(n∈N*)无整数解． 又f(1)＝，f(2k－1)＝f(2k－3)＝…＝，k∈Z，f(2k)＝f(2k－2)＝…＝f(0)＝0，k∈Z， 所以f(x)＝(n∈N*)时，整数解唯一且为2n－1， 所以f(2n－1)＝，即xn＝2n－1， 所以k＝1＋3＋5＋7＋…＋(2×20－1)＝＝400. 答案　400 16．已知函数f(x)＝－x2－2x，g(x)＝ (1)求g[f(1)]的值； (2)若方程g[f(x)]－a＝0有4个实数根，求实数a的取值范围． 解析　(1)利用解析式直接求解得g[f(1)]＝g(－3)＝－3＋1＝－2. (2)令f(x)＝t，则原方程化为g(t)＝a，易知方程f(x)＝t在t∈(－∞，1)上有2个不同的解，则原方程有4个解等价于函数y＝g(t)(t＜1)与y＝a的图象有2个不同的交点，作出函数y＝g(t)(t＜1)的图象，如图，由图象可知，当1≤a＜时，函数y＝g(t)(t＜1)与y＝a有2个不同的交点，即所求实数a的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $$