2.9 函数的零点与方程的解（Word练习）-【导学教程】2025年数学新编高考大一轮总复习（人教A版）

[对应学生用书P281]

A级[基础过关]

1．下列函数在(0，＋∞)上单调递增且存在零点的是(　　)

A．y＝x2－x－3　　　　 B．y＝－0.2x

C．y＝sin 2x    D．y＝x－

解析　对于A，y＝x2－x－3在(0，＋∞)上不单调，不合题意，A错误；对于B，令－0.2x＝0，则该方程无解，不合题意，B错误；对于C，y＝sin 2x在(0，＋∞)上不单调，不合题意，C错误；对于D，y＝x与y＝－在(0，＋∞)上均单调递增，∴y＝x－在(0，＋∞)上单调递增，令x－＝0，解得x＝±1，则y＝x－在(0，＋∞)上存在零点1，D正确，故选D.

答案　D

2．设函数f(x)＝4x3＋x－8，用二分法求方程4x3＋x－8＝0近似解的过程中，计算得到f(1)＜0，f(3)＞0，则方程的近似解落在区间(　　)

A．    B．

C．    D．

解析　取x1＝2，因为f(2)＝4×8＋2－8＝26＞0，所以方程近似解x0∈(1，2)，取x2＝，因为f＝4×＋－8＝7＞0，所以方程近似解x0∈.

答案　A

3．关于函数f(x)＝(ln x)2－2ln x，下列说法正确的是(　　)

A．函数f(x)有2个零点 B．函数f(x)有4个零点

C．e是函数f(x)的一个零点 D．2e是函数f(x)的一个零点

解析　令f(x)＝(ln x)2－2ln x＝(ln x－2)ln x＝0，得ln x＝0或ln x＝2，即x＝1或x＝e2，所以函数f(x)有2个零点，分别为1，e2.故选A.

答案　A

4．已知函数f(x)＝ln |x－2|＋x2与g(x)＝4x，则两函数图象所有交点的横坐标之和为(　　)

A．0    B．2

C．3    D．4

解析　原问题可以转化为求方程ln |x－2|＝4x－x2的所有根之和，易知y＝ln |x－2|和y＝4x－x2的图象均关于直线x＝2对称，且两个函数的图象有2个交点，故两个交点的横坐标之和为4.

答案　D

5．(多选)函数f(x)＝sin x＋2|sin x|，x∈[0，2π]的图象与直线y＝k的交点个数可能是(　　)

A．1    B．2

C．4    D．6

解析　由题意知，f(x)＝在直角坐标系中画出函数f(x)的图象如图所示．

由其图象知，直线y＝k与y＝f(x)的图象交点个数可能为0，1，2，3，4.

答案　ABC

6．已知a＞0，若函数f(x)＝有两个不同的零点，则a的取值范围为________．

解析　令x＋a＝0，x＝－a＜a，则x＝－a是函数f(x)的一个零点；令ln x＋2＝0，解得x＝，要使得f(x)有两个不同的零点，则a∈.

答案　

7．若函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c是奇函数，且有三个不同的零点，写出一个符合条件的函数：f(x)＝________．

解析　f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c为奇函数，故a＝c＝0，f(x)＝x3＋bx＝x(x2＋b)有三个不同零点，∴b＜0，∴f(x)＝x3－x满足题意．

答案　x3－x(答案不唯一)

8．方程2x＋3x＝k的解在[1，2)内，则k的取值范围是________．

解析　令函数f(x)＝2x＋3x－k，则f(x)在R上是增函数．当方程2x＋3x＝k的解在(1，2)内时，f(1)·f(2)＜0，即(5－k)(10－k)＜0，解得5＜k＜10，又当f(1)＝0时，k＝5.综上，实数k的取值范围是[5，10).

答案　[5，10)

9．函数f(x)＝x2＋bx＋c的两个零点为2，3.

(1)求b，c的值；

(2)若函数g(x)＝f(x)＋mx的两个零点分别在区间(1，2)，(2，4)内，求实数m的取值范围．

解析　(1)∵2，3为方程x2＋bx＋c＝0的两根，

∴∴

(2)由(1)知f(x)＝x2－5x＋6.

∴g(x)＝x2＋(m－5)x＋6，

依题意解得－＜m＜0，

故实数m的取值范围是.

B级[能力提升]

10．定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋1)＝f(x)，则f(x)在[－3，3]上的零点个数至少为(　　)

A．6    B．7

C．12    D．13

解析　因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，又由f(x＋1)＝f(x)得f(x)的周期为1，所以f(－3)＝f(－2)＝f(－1)＝f(0)＝f(1)＝f(2)＝f(3)＝0.又f＝f，f＝－f，因此f＝f＝0，则f＝f＝f＝f＝f＝f＝0，故f(x)在[－3，3]上至少有13个零点，故选D.

答案　D

11．已知函数f(x)＝若f(x)有两个零点x1，x2(x1＞x2)，则x1－x2的最小值是(　　)