2.7 对数与对数函数（Word练习）-【导学教程】2025年数学新编高考大一轮总复习（人教A版）

[对应学生用书P277]

A级[基础过关]

1．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数且f(2)＝1，则f(x)等于(　　)

A．log2x　　　　　　　 B．

C．logx    D．2x－2

解析　函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数是f(x)＝logax，

又f(2)＝1，即loga2＝1，

所以a＝2.故f(x)＝log2x.

答案　A

2．(2023·北京西城区期末)已知函数f(x)＝lg |x|，则f(x)(　　)

A．是奇函数，且在(0，＋∞)上单调递增

B．是奇函数，且在(0，＋∞)上单调递减

C．是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增

D．是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减

解析　由已知可得，f(x)的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称．又f(－x)＝lg |－x|＝lg |x|＝f(x)，所以f(x)为偶函数．当x＞0时，f(x)＝lg x，因为y＝lg x在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增．故选C.

答案　C

3．函数y＝logax与y＝－x＋a在同一平面直角坐标系中的图象可能是(　　)

解析　当a＞1时，函数y＝logax的图象为选项B、D中过点(1，0)的曲线，此时函数y

＝－x＋a的图象与y轴的交点的纵坐标a应满足a＞1，选项B、D中的图象都不符合要求；

当0＜a＜1时，函数y＝logax的图象为选项A、C中过点(1，0)的曲线，此时函数y＝－x＋a的图象与y轴的交点的纵坐标a应满足0＜a＜1，只有选项A中的图象符合要求．

答案　A

4．已知定义域为R的偶函数f(x)在(－∞，0]上是减函数，且f(1)＝2，则不等式f(log2x)＞2的解集为(　　)

A．(2，＋∞) B．∪(2，＋∞)

C．∪(，＋∞) D．(，＋∞)

解析　因为f(x)是R上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，

所以f(x)在[0，＋∞)上是增函数，

所以f(log2x)＞2＝f(1)⇔f(|log2x|)＞f(1)⇔|log2x|＞1，

即log2x＞1或log2x＜－1，

解得x＞2或0＜x＜.故选B.

答案　B

5．(多选)已知函数f(x)＝lg ，则下列说法正确的是(　　)

A．f(x)的定义域为(－1，1) B．f(x)的图象关于y轴对称

C．f(x)的图象关于原点对称 D．f(x)在(0，1)上单调递增

解析　f(x)＝lg ＝lg ，由＞0，得－1＜x＜1，所以f(x)的定义域为(－1，1)，故选项A正确；因为f(－x)＝lg ＝－f(x)，所以f(x)是奇函数，则f(x)的图象关于原点对称，故选项B错误，选项C正确；因为y＝1－x在(0，1)上单调递减，所以y＝－1在(0，1)上单调递增，又y＝lg x在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)＝lg 在(0，1)上单调递增，故选项D正确．故选ACD.

答案　ACD

6．计算：＋＋log4＝________．

解析　＋＋log4＝22＋＋ ()4＝4＋2＋4＝10.

答案　10

7．已知函数f(x)满足：①定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)；②值域为R；③f(－x)＝f(x)，则一个满足上述条件的函数f(x)＝________．

解析　f(x)＝ln |x|的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域为R，且f(－x)＝ln |－x|＝ln |x|＝f(x)，因此f(x)＝ln |x|符合题意．

答案　ln |x|(答案不唯一)

8．已知函数f(x)＝log2(2x－1)，函数f(x)的单调递增区间是________；若x∈，则函数f(x)的值域是________．

解析　因为函数f(x)＝log2(2x－1)的定义域为.

令t＝2x－1，易知t＝2x－1在上单调递增，而y＝log2t在(0，＋∞)上单调递增，故函数f(x)的单调递增区间是.

因为函数f(x)＝log2(2x－1)在上是增函数，所以f(1)≤f(x)≤f，

所以0≤f(x)≤3，故所求函数的值域为[0，3].

答案　　[0，3]

9．已知f(x)＝logax＋loga(4－x)(a＞0，且a≠1)，且f(2)＝2.

(1)求a的值及f(x)的定义域；

(2)求f(x)在上的值域．

解析　(1)由f(2)＝2得，loga2＋loga(4－2)＝2，解得a＝2，所以f(x)＝log2x＋log2(4－x).

由解得0＜x＜4，

故f(x)的定义域为(0，4).

(2)由(1)及条件知f(x)＝log2x＋log2(4－x)＝log2[x(4－x)]＝log2[－(x－2)2＋4]，

设t(x)＝－(x－2)2＋4，x∈，则当x＝2时，t(x)max＝4；