2.7 对数与对数函数（Word练习）-【导学教程】2025年数学新编高考大一轮总复习（人教A版）

[对应学生用书P277] A级[基础过关] 1．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数且f(2)＝1，则f(x)等于(　　) A．log2x　　　　　　　 B． C．logx D．2x－2 解析　函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数是f(x)＝logax， 又f(2)＝1，即loga2＝1， 所以a＝2.故f(x)＝log2x. 答案　A 2．(2023·北京西城区期末)已知函数f(x)＝lg |x|，则f(x)(　　) A．是奇函数，且在(0，＋∞)上单调递增 B．是奇函数，且在(0，＋∞)上单调递减 C．是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增 D．是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减 解析　由已知可得，f(x)的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称．又f(－x)＝lg |－x|＝lg |x|＝f(x)，所以f(x)为偶函数．当x＞0时，f(x)＝lg x，因为y＝lg x在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增．故选C. 答案　C 3．函数y＝logax与y＝－x＋a在同一平面直角坐标系中的图象可能是(　　) 解析　当a＞1时，函数y＝logax的图象为选项B、D中过点(1，0)的曲线，此时函数y＝－x＋a的图象与y轴的交点的纵坐标a应满足a＞1，选项B、D中的图象都不符合要求； 当0＜a＜1时，函数y＝logax的图象为选项A、C中过点(1，0)的曲线，此时函数y＝－x＋a的图象与y轴的交点的纵坐标a应满足0＜a＜1，只有选项A中的图象符合要求． 答案　A 4．已知定义域为R的偶函数f(x)在(－∞，0]上是减函数，且f(1)＝2，则不等式f(log2x)＞2的解集为(　　) A．(2，＋∞) B．∪(2，＋∞) C．∪(，＋∞) D．(，＋∞) 解析　因为f(x)是R上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数， 所以f(x)在[0，＋∞)上是增函数， 所以f(log2x)＞2＝f(1)⇔f(|log2x|)＞f(1)⇔|log2x|＞1， 即log2x＞1或log2x＜－1， 解得x＞2或0＜x＜.故选B. 答案　B 5．(多选)已知函数f(x)＝lg ，则下列说法正确的是(　　) A．f(x)的定义域为(－1，1) B．f(x)的图象关于y轴对称 C．f(x)的图象关于原点对称 D．f(x)在(0，1)上单调递增 解析　f(x)＝lg ＝lg ，由＞0，得－1＜x＜1，所以f(x)的定义域为(－1，1)，故选项A正确；因为f(－x)＝lg ＝－f(x)，所以f(x)是奇函数，则f(x)的图象关于原点对称，故选项B错误，选项C正确；因为y＝1－x在(0，1)上单调递减，所以y＝－1在(0，1)上单调递增，又y＝lg x在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)＝lg 在(0，1)上单调递增，故选项D正确．故选ACD. 答案　ACD 6．计算：＋＋log4＝________． 解析　＋＋log4＝22＋＋ ()4＝4＋2＋4＝10. 答案　10 7．已知函数f(x)满足：①定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)；②值域为R；③f(－x)＝f(x)，则一个满足上述条件的函数f(x)＝________． 解析　f(x)＝ln |x|的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域为R，且f(－x)＝ln |－x|＝ln |x|＝f(x)，因此f(x)＝ln |x|符合题意． 答案　ln |x|(答案不唯一) 8．已知函数f(x)＝log2(2x－1)，函数f(x)的单调递增区间是________；若x∈，则函数f(x)的值域是________． 解析　因为函数f(x)＝log2(2x－1)的定义域为. 令t＝2x－1，易知t＝2x－1在上单调递增，而y＝log2t在(0，＋∞)上单调递增，故函数f(x)的单调递增区间是. 因为函数f(x)＝log2(2x－1)在上是增函数，所以f(1)≤f(x)≤f， 所以0≤f(x)≤3，故所求函数的值域为[0，3]. 答案　　[0，3] 9．已知f(x)＝logax＋loga(4－x)(a＞0，且a≠1)，且f(2)＝2. (1)求a的值及f(x)的定义域； (2)求f(x)在上的值域． 解析　(1)由f(2)＝2得，loga2＋loga(4－2)＝2，解得a＝2，所以f(x)＝log2x＋log2(4－x). 由解得0＜x＜4， 故f(x)的定义域为(0，4). (2)由(1)及条件知f(x)＝log2x＋log2(4－x)＝log2[x(4－x)]＝log2[－(x－2)2＋4]， 设t(x)＝－(x－2)2＋4，x∈，则当x＝2时，t(x)max＝4； 当x＝1时，t(x)＝3；当x＝时，t(x)＝， 所以当x∈时，t(x)∈， 所以f(x)max＝log24＝2， f(x)min＝log2＝log27－2， 所以f(x)在上的值域为[log27－2，2]. B级[能力提升] 10．(2024·安徽部分学校联考)设m＝log45，n＝log3，则(　　) A．m＋n＜0＜mn B．mn＜0＜m＋n C．0＜mn＜m＋n D．mn＜m＋n＜0 解析　∵n＝log3＝－log35＜0，m＝log45＞log44＝1，∴mn＜0，∵＋＝log54－log53＝log5，0＜log5＜1，即0＜＜1，∴m＋n＜0，m＋n＞mn，故选D. 答案　D 11．(多选)已知f(x)＝|lg x|，当a＜b时，f(a)＝f(b)，则(　　) A．0＜a＜1，b＞1 B．ab＝10 C．－b2＜ D．2a＋2b＞4 解析　由题意，得0＜a＜1，b＞1，则|lg a|＝－lg a＝lg ＝lg b，则ab＝1.由＝b，得－b2＝b－b2＝－＋＜0； 又2a＋2b＞2＞2＝4.故选ACD. 答案　ACD 12．若函数f(x)＝loga(a＞0，且a≠1)在区间内恒有f(x)＞0，则f(x)的单调递增区间为(　　) A．(0，＋∞) B．(2，＋∞) C．(1，＋∞) D． 解析　令M＝x2＋x，当x∈时，M∈(1，＋∞)，恒有f(x)＞0，所以a＞1，所以函数y＝logaM为增函数，又M＝－，因为M的单调递增区间为.又x2＋x＞0，所以x＞0或x＜－，所以函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞). 答案　A 13．已知函数f(x)＝loga(2x－a)在区间上恒有f(x)＞0，则实数a的取值范围是________． 解析　当0＜a＜1时，函数f(x)在区间上是减函数，所以loga＞0，即0＜－a＜1，解得＜a＜，故＜a＜1；当a＞1时，函数f(x)在区间上是增函数，所以loga(1－a)＞0，即1－a＞1，解得a＜0，此时无解．综上可知，实数a的取值范围是. 答案　 14．已知函数f(x)＝log(x2－2ax＋3). (1)若函数f(x)的定义域为R，值域为(－∞，－1]，求实数a的值； (2)若函数f(x)在(－∞，－1]上为增函数，求实数a的取值范围． 解析　(1)∵函数f(x)的值域为(－∞，－1]， ∴f(x)max＝－1，又f(x)＝log(x2－2ax＋3)， 而函数f(x)的定义域为R，∴u＝x2－2ax＋3的最小值umin＝2. 而u＝x2－2ax＋3＝(x－a)2＋3－a2， ∴3－a2＝2，解得a2＝1，即a＝±1， ∴实数a的值为1或－1. (2)∵f(x)＝log(x2－2ax＋3)在(－∞，－1]上为增函数，函数y＝logu在u∈(0，＋∞)上是减函数，∴函数u＝x2－2ax＋3在(－∞，－1]上为减函数且u＞0， ∴解得即a≥－1， 故实数a的取值范围为[－1，＋∞). C级[拓广探索] 15．已知函数f(x)＝ex＋x－π，g(x)＝x＋ln x－π，若＝1(a＞0，且a≠1)，则x1＋x2＝________． 解析　＝1(a＞0，且a≠1)， 则f(x1)＝＋x1－π＝0，得＝π－x1； g(x2)＝x2＋ln x2－π＝0，得ln x2＝π－x2， 所以x1，x2分别为y＝ex和y＝ln x与y＝π－x的图象交点的横坐标，如图所示． 因为y＝ex和y＝ln x互为反函数，所以y＝ex和y＝ln x的图象关于y＝x对称，所以A，B两点关于y＝x对称．又A，B两点均在y＝π－x的图象上，所以x1＝π－x2，所以x1＋x2＝π. 答案　π 16．设函数g(x)＝log3x，且函数y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象关于y＝x对称． (1)求函数y＝f(x)的解析式； (2)是否存在实数m＞0，使得对∀x∈R，不等式2m－3＜mf(x)恒成立？若存在，求出m；若不存在，请说明理由． 解析　(1)由题意得，f(x)与g(x)互为反函数．因为g(x)＝log3x，所以f(x)＝3x. (2)存在．不等式2m－3＜mf(x)恒成立，即2m－3＜m·3x恒成立． 令t＝3x(t＞0)，则关于t的不等式2m－3＜mt，即mt－2m＋3＞0在(0，＋∞)上恒成立． 令h(t)＝mt－2m＋3，t∈(0，＋∞)，因为m＞0，所以h(t)在(0，＋∞)上单调递增，由题意知h(0)＝－2m＋3≥0，解得m≤，所以0＜m≤. 所以实数m的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $$