2.6 指数与指数函数（Word练习）-【导学教程】2025年数学新编高考大一轮总复习（人教A版）

[对应学生用书P275] A级[基础过关] 1．化简的结果为(　　) A．－　　　　　　 B．－ C．－ D．－6ab 解析　原式＝4÷·＝－6ab－1＝－.故选C. 答案　C 2．已知指数函数f(x)＝(2a2－5a＋3)ax在(0，＋∞)上单调递增，则实数a的值为(　　) A． B．1 C． D．2 解析　由题意得2a2－5a＋3＝1，∴2a2－5a＋2＝0，∴a＝2或a＝.当a＝2时，f(x)＝2x在(0，＋∞)上单调递增，符合题意； 当a＝时，f(x)＝在(0，＋∞)上单调递减，不符合题意．∴a＝2. 答案　D 3．已知a＝，b＝，c＝logπ3，则a，b，c的大小关系为(　　) A．c＞a＞b B．c＞b＞a C．a＞b＞c D．b＞a＞c 解析　因为a＝＝＞＝b＞＝1，c＝logπ3＜logππ＝1，所以a＞b＞c，故选C. 答案　C 4．(多选)(2024·皖南八校联考)函数f(x)＝ax－b(a＞0，且a≠1)，其图象经过第二、三、四象限，则下列结论正确的是(　　) A．0＜ab＜1 B．0＜ba＜1 C．ab＞1 D．ba＞1 解析　若函数f(x)＝ax－b(a＞0，且a≠1)的图象经过第二、三、四象限，则0＜a＜1且f(0)＝1－b＜0，得b＞1，所以0＜ab＜1，ba＞1，故选AD. 答案　AD 5．(多选)已知函数，则下列说法正确的是(　　) A.定义域为R B．值域为(0，2] C．在[－2，＋∞)上单调递增 D．在[－2，＋∞)上单调递减 解析　函数的定义域为R，A正确； ∵x2＋4x＋3＝(x＋2)2－1≥－1， ∴≤2，故函数的值域为(0，2]，B正确； ∵y＝在R上是减函数，u＝x2＋4x＋3在(－∞，－2]上是减函数，在[－2，＋∞)上是增函数， ∴函数在[－2，＋∞)上单调递减，C错误，D正确． 答案　ABD 6．已知函数f(x)＝ax－2＋1(a＞0，且a≠1)的图象恒过定点M(m，n)，则函数g(x)＝n－mx的图象不经过第________象限． 解析　因为f(x)的图象恒过定点(2，2)，所以m＝n＝2，所以g(x)＝2－2x，所以g(x)为减函数，且其图象过点(0，1)，所以g(x)的图象不经过第三象限． 答案　三 7．求值：＋＋(0.1)－2－(π)0＝ ________． 解析　原式＝＋＋－＝＋＋100－＝100. 答案　100 8．若不等式成立，则实数a的取值范围为________． 解析　因为指数函数f(x)＝为单调递减函数， 所以a2－8＜2a，即a2－2a－8＜0，解得－2＜a＜4. 答案　(－2，4) 9．已知函数f(x)＝2x的定义域是[0，3]，设g(x)＝f(2x)－f(x＋2). (1)求g(x)的解析式及定义域； (2)求函数g(x)的最大值和最小值． 解析　(1)因为f(x)＝2x， 所以g(x)＝f(2x)－f(x＋2)＝22x－2x＋2. 因为f(x)的定义域是[0，3]， 所以解得0≤x≤1. 即g(x)的定义域为[0，1]. (2)设g(x)＝(2x)2－4×2x＝(2x－2)2－4. 因为x∈[0，1]，所以2x∈[1，2]， 所以当2x＝2即x＝1时，g(x)取得最小值－4. 当2x＝1即x＝0时，g(x)取得最大值－3. B级[能力提升] 10．(多选)关于函数f(x)＝，下列说法正确的是(　　) A．函数f(x)的定义域为R B．函数f(x)的值域为(0，＋∞) C．方程f(x)＝x有且只有一个实根 D．函数f(x)的图象是中心对称图形 解析　函数f(x)＝的定义域为R，所以A正确；因为y＝4x在定义域内单调递增，所以函数f(x)＝在定义域内单调递减，所以函数的值域为，方程f(x)＝x只有一个实根，所以B不正确，C正确；因为f(x＋1)＋f(－x)＝＋＝＋＝，所以f(x)的图象关于点对称，所以D正确． 答案　ACD 11．已知函数f(x)＝－ex－2x＋4，其中e是自然对数的底数，若f(a－6)＋f(a2)＞8，则实数a的取值范围是(　　) A．(－3，2) B．(2，＋∞) C．(－∞，－3) D．(－∞，－3)∪(2，＋∞) 解析　令g(x)＝f(x)－4＝－ex－2x(x∈R)，则g(－x)＝－e－x＋2x＝ex－＋2x＝－g(x)，所以g(x)为奇函数．不等式f(a－6)＋f(a2)＞8等价于f(a－6)－4＞－[f(a2)－4]，即g(a－6)＞－g(a2).因为g(x)为奇函数，所以g(a－6)＞g(－a2)，因为y＝，y＝－ex，y＝－2x在R上均为减函数，所以g(x)在R上为减函数，则a－6＜－a2，解得－3＜a＜2.故选A. 答案　A 12．函数f(x)＝－8·＋17的单调递增区间是________． 解析　设t＝＞0，又y＝t2－8t＋17＝(t－4)2＋1在(0，4]上单调递减，在(4，＋∞)上单调递增．令≤4，得x≥－2；令＞4，得x＜－2. 而函数t＝在R上单调递减，所以函数f(x)的单调递增区间为[－2，＋∞). 答案　[－2，＋∞) 13．设a为实数，若关于x的方程9x＋a·3x＋1＋a2＋1＝0有实数解，则a的取值范围是________． 解析　方程9x＋a·3x＋1＋a2＋1＝0可化为(3x)2＋3a·3x＋a2＋1＝0，令t＝3x，则t＞0，所以原问题转化为关于t的方程t2＋3at＋a2＋1＝0有正根．因为a2＋1＞0，所以该方程有两个正根，则解得a≤－，所以a的取值范围是. 答案　 14．已知定义域为R的函数f(x)＝ax－(k－1)·a－x(a＞0，且a≠1)是奇函数． (1)求实数k的值； (2)若f(1)＜0，判断函数f(x)的单调性，若f(m2－2)＋f(m)＞0，求实数m的取值范围． 解析　(1)∵f(x)是定义域为R的奇函数， ∴f(0)＝a0－(k－1)a0＝1－(k－1)＝0， ∴k＝2， 经检验k＝2符合题意，∴k＝2. (2)由(1)知，f(x)＝ax－a－x(a＞0，且a≠1)， ∵f(1)＜0，即a－＜0， 又a＞0，且a≠1，∴0＜a＜1， ∴y＝ax在R上单调递减，y＝－a－x在R上单调递减， 故由单调性的性质可判断f(x)＝ax－a－x在R上单调递减， 不等式f(m2－2)＋f(m)＞0可化为 f(m2－2)＞f(－m)， ∴m2－2＜－m，即m2＋m－2＜0， 解得－2＜m＜1， ∴实数m的取值范围是(－2，1). C级[拓广探索] 15．已知函数f(x)，若在其定义域内存在实数x满足f(－x)＝－f(x)，则称函数f(x)为“局部奇函数”，若函数f(x)＝4x－m·2x－3是定义在R上的“局部奇函数”，则实数m的取值范围是(　　) A．[－2，2) B．[－2，＋∞) C．(－∞，2) D．[－4，－2) 解析　根据“局部奇函数”的定义可知， 方程f(－x)＝－f(x)有解即可， 即4－x－m·2－x－3＝－(4x－m·2x－3)， 所以4－x＋4x－m(2－x＋2x)－6＝0， 化为(2－x＋2x)2－m(2－x＋2x)－8＝0有解， 令2－x＋2x＝t(t≥2)， 则有t2－mt－8＝0在[2，＋∞)上有解， 设g(t)＝t2－mt－8，对称轴为t＝. ①若m≥4，则Δ＝m2＋32＞0，满足方程有解； ②若m＜4，要使t2－mt－8＝0在t≥2时有解， 则需解得－2≤m＜4. 综上可得，实数m的取值范围为[－2，＋∞). 答案　B 16．对于定义域为[0，1]的函数f(x)，如果同时满足以下三个条件：①对任意的x∈[0，1]，总有f(x)≥0；②f(1)＝1；③若x1≥0，x2≥0，x1＋x2≤1，都有f(x1＋x2)≥f(x1)＋f(x2)成立，则称函数f(x)为理想函数． (1)若函数f(x)为理想函数，求f(0)的值； (2)判断函数g(x)＝2x－1(x∈[0，1])是不是理想函数，并予以证明． 解析　(1)若函数f(x)为理想函数，取x1＝x2＝0，由条件③可得f(0)≥f(0)＋f(0)，即f(0)≤0. 由条件①对任意的x∈[0，1]，总有f(0)≥0，得f(0)＝0. (2)函数g(x)＝2x－1(x∈[0，1])为理想函数，证明如下： 函数g(x)＝2x－1在[0，1]上满足g(x)≥0，即满足条件①. ∵g(1)＝21－1＝1，∴g(x)满足条件②. 若x1≥0，x2≥0，x1＋x2≤1， 则g(x1＋x2)－[g(x1)＋g(x2)] 即满足条件③. 综上所述，g(x)同时满足理想函数的三个条件，故g(x)为理想函数． 学科网（北京）股份有限公司 $$