2.5 幂函数与二次函数（Word练习）-【导学教程】2025年数学新编高考大一轮总复习（人教A版）

[对应学生用书P273] A级[基础过关] 1．已知幂函数f(x)满足＝4，则f的值为(　　) A．2　　　　　　　 B． C．－ D．－2 解析　设f(x)＝xα，则＝＝3α＝4，所以f＝＝.故选B. 答案　B 2．函数y＝1－|x－x2|的图象大致是(　　) 解析　当0≤x≤1时，y＝x2－x＋1＝＋，又当x＞1或x＜0时，y＝－x2＋x＋1＝－＋，因此，结合图象，选项C正确． 答案　C 3．已知a＝2，b＝3，c＝25，则(　　) A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b 解析　由题意得b＝3＜4＝2＝a，a＝2＝4＜4＜5＝25＝c，所以b＜a＜c. 答案　A 4．(2024·山西吕梁段考)已知函数f(x)＝ax2＋2(a－1)x＋2在区间[－2，3]上单调递减，则实数a的取值范围为(　　) A． B． C．[－1，0] D．[－1，1] 解析　当a＝0时，f(x)＝－2x＋2在区间[－2，3]上单调递减，满足题意．当a≠0时，函数f(x)的图象的对称轴为直线x＝－＝，当a＞0时，由f(x)在区间[－2，3]上单调递减，可得≥3，得0＜a≤；当a＜0时，由f(x)在区间[－2，3]上单调递减，可得≤－2，得－1≤a＜0.综上，实数a的取值范围为.故选A. 答案　A 5．(多选)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x－x2，则下列说法正确的是(　　) A．f(x)的最大值为 B．f(x)在(－1，0)上是增函数 C．f(x)＞0的解集为(－1，1) D．f(x)＋2x≥0的解集为[0，3] 解析　由题意，当x≥0时，f(x)＝x－x2＝－＋；当x＜0时，f(x)＝－x2－x＝－＋，f(x)的最大值为，A正确；f(x)在上是减函数，B错误；f(x)＞0的解集为(－1，0)∪(0，1)，C错误；当x≥0时，f(x)＋2x＝3x－x2≥0的解集为[0，3]，当x＜0时，f(x)＋2x＝x－x2≥0无解，故D正确． 答案　AD 6．已知f(x)＝为奇函数，则g(x)＝x2＋ax＋b的单调递增区间为________． 解析　易知函数f(x)的定义域为(－1，1).因为f(x)为奇函数，所以f(0)＝0，所以a－1＝0，即a＝1.经检验，a＝1符合题意，所以g(x)＝x2＋x＋b，该二次函数图象的开口向上，对称轴为直线x＝－，所以g(x)的单调递增区间是. 答案　 7．已知函数f(x)同时满足①f(0)＝0；②在[1，3]上单调递减；③f(1＋x)＝f(1－x)，则该函数的表达式可以是f(x)＝________． 解析　由f(1＋x)＝f(1－x)可知y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，可设f(x)为二次函数，又f(0)＝0且f(x)在[1，3]上单调递减，所以可设f(x)＝2x－x2. 答案　2x－x2(答案不唯一) 8．已知幂函数f(x)＝x，若f(a＋1)＜f(10－2a)，则a的取值范围是________． 解析　∵f(x)＝x＝(x＞0)，易知x∈(0，＋∞)时，f(x)为减函数，又f(a＋1)＜f(10－2a)， ∴解得∴3＜a＜5. 答案　(3，5) 9．已知二次函数f(x)的最小值为1，函数y＝f(x＋1)是偶函数，且f(0)＝3. (1)求f(x)的解析式； (2)若函数f(x)在区间[2a，a＋1]上单调，求实数a的取值范围． 解析　(1)因为函数y＝f(x＋1)是偶函数，所以f(x)的图象关于直线x＝1对称，又因为f(x)的最小值为1，所以可设f(x)＝a(x－1)2＋1(a＞0)，又f(0)＝3，所以a＝2，所以f(x)＝2(x－1)2＋1＝2x2－4x＋3. (2)要使f(x)在区间[2a，a＋1]上单调，则或解得≤a＜1或a≤0，所以实数a的取值范围为(－∞，0]∪. B级[能力提升] 10．已知函数是幂函数，对任意x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，满足＞0，若a，b∈R，且a＋b＞0，则f(a)＋f(b)的值(　　) A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断 解析　由题得m2－m－5＝1，解得m＝－2或m＝3.因为对任意x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，满足＞0，所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以m2－6＞0，所以m＝3，所以f(x)＝x3.若a，b∈R，且a＋b＞0，则a＞－b，易知f(x)为奇函数且在R上单调递增，所以f(a)＞f(－b)＝－f(b)，所以f(a)＋f(b)＞0.故选A. 答案　A 11．已知函数f(x)＝x2－2tx＋1在区间(－∞，1]上单调递减，且当x∈[0，t＋1]时，有f(x)max－f(x)min≤2，则实数t的取值范围是(　　) A．[－，] B．[1，] C．[2，3] D．[1，2] 解析　由题意得，函数f(x)＝x2－2tx＋1的图象的对称轴为直线x＝t，∵f(x)在区间(－∞，1]上单调递减，∴t≥1，∴当x∈[0，t＋1]时，f(x)max＝f(0)＝1，f(x)min＝f(t)＝t2－2t2＋1＝－t2＋1，∴1－(－t2＋1)≤2，解得－≤t≤，又t≥1，∴1≤t≤，即实数t的取值范围是[1，]，故选B. 答案　B 12．(多选)若关于x的一元二次方程(x－2)(x－3)＝m有实数根x1，x2，且x1＜x2，则下列结论正确的是(　　) A．当m＝0时，x1＝2，x2＝3 B．m＞－ C．当m＞0时，2＜x1＜x2＜3 D．当m＞0时，x1＜2＜3＜x2 解析　当m＝0时，(x－2)(x－3)＝0，所以x1＝2，x2＝3，故A正确； 方程(x－2)(x－3)＝m化为x2－5x＋6－m＝0， 由方程有两个不等实根得Δ＝25－4(6－m)＝1＋4m＞0，所以m＞－，故B正确； 当m＞0时，画出函数y＝(x－2)(x－3)和函数y＝m的图象，如图所示，可得x1＜2＜3＜x2，所以C不正确，D正确． 答案　ABD 13．设关于x的方程x2－2mx＋2－m＝0(m∈R)的两个实数根分别是α，β，则α2＋β2＋5的最小值为________． 解析　由题意有且Δ＝4m2－4(2－m)≥0， 解得m≤－2或m≥1， α2＋β2＋5＝(α＋β)2－2αβ＋5＝4m2＋2m＋1， 令f(m)＝4m2＋2m＋1， 而f(m)图象的对称轴为m＝－， 且m≤－2或m≥1， 所以f(m)min＝f(1)＝7. 答案　7 14．已知函数g(x)＝ax2－2ax＋1＋b(a＞0)在区间[2，3]上有最大值4和最小值1. (1)求a，b的值； (2)若存在x∈[3，4]，使g(x)＜2m2－tm＋7对任意的t∈[0，5]都成立，求实数m的取值范围． 解析　(1)g(x)＝ax2－2ax＋1＋b＝a(x－1)2＋1＋b－a. 因为a＞0，所以g(x)在[2，3]上单调递增， 所以⇒⇒ (2)由(1)得g(x)＝x2－2x＋1， 因为存在x∈[3，4]，使g(x)＜2m2－tm＋7对任意的t∈[0，5]都成立， 所以当x∈[3，4]时，g(x)min＝g(3)＝4＜2m2－tm＋7对任意的t∈[0，5]都成立， 即－mt＋2m2＋3＞0对任意的t∈[0，5]都成立，其中t看作自变量，m看作参数， 所以 解得m＜1或m＞， 故实数m的取值范围为(－∞，1)∪. C级[拓广探索] 15．已知幂函数y＝xa与y＝xb的部分图象如图所示，直线x＝m2，x＝m(0＜m＜1)与y＝xa，y＝xb的图象分别交于A，B，C，D四点，且|AB|＝|CD|，则ma＋mb等于(　　) A． B．1 C． D．2 解析　由题意，|AB|＝|(m2)a－(m2)b|，|CD|＝|ma－mb|，根据图象可知b＞1＞a＞0，当0＜m＜1时，(m2)a＞(m2)b，ma＞mb，因为|AB|＝|CD|，所以m2a－m2b＝(ma＋mb)(ma－mb)＝ma－mb，因为ma－mb＞0，所以ma＋mb＝1. 答案　B 16．已知函数f(x)＝kx2＋(3＋k)x＋3，其中k为常数． (1)若f(2)＝3，求函数f(x)的表达式； (2)在(1)的条件下，设函数g(x)＝f(x)－mx，若g(x)在区间[－2，2]上是单调函数，求实数m的取值范围； (3)是否存在k使得函数f(x)在[－1，4]上的最大值是4？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． 解析　(1)∵f(2)＝4k＋2(3＋k)＋3＝3，解得k＝－1，∴f(x)＝－x2＋2x＋3. (2)由(1)可得g(x)＝－x2＋2x＋3－mx＝－x2＋(2－m)x＋3，其对称轴方程为x0＝， 若g(x)在[－2，2]上为增函数，则x0≥2，解得m≤－2；若g(x)在[－2，2]上为减函数，则x0≤－2，解得m≥6. 综上可知，m的取值范围为 {m|m≤－2，或m≥6}． (3)当k＝0时，函数f(x)＝3x＋3在[－1，4]上的最大值是15，不满足条件； 当k≠0时，假设存在满足条件的k，则f(x)的最大值只可能在－1，4或对称轴处取得， 其中对称轴x0＝－， ①若f(x)max＝f(－1)＝4，则有k－3－k＋3＝4，k的值不存在； ②若f(x)max＝f(4)＝4，则16k＋12＋4k＋3＝4，解得k＝－，此时，对称轴x0＝∈[－1，4]，则最大值应在x0处取得，与条件矛盾，舍去； ③若f(x)max＝f(x0)＝4，则k＜0，且＝4， 化简得k2＋10k＋9＝0，解得k＝－1或k＝－9，满足k＜0且x0＝－∈[－1，4]， 综上可知，当k＝－1或k＝－9时，函数f(x)在[－1，4]上的最大值是4. 学科网（北京）股份有限公司 $$