2.5 幂函数与二次函数（Word练习）-【导学教程】2025年数学新编高考大一轮总复习（人教A版）

[对应学生用书P273]

A级[基础过关]

1．已知幂函数f(x)满足＝4，则f的值为(　　)

A．2　　　　　　　 B．

C．－    D．－2

解析　设f(x)＝xα，则＝＝3α＝4，所以f＝＝.故选B.

答案　B

2．函数y＝1－|x－x2|的图象大致是(　　)

解析　当0≤x≤1时，y＝x2－x＋1＝＋，又当x＞1或x＜0时，y＝－x2＋x＋1＝－＋，因此，结合图象，选项C正确．

答案　C

3．已知a＝2，b＝3，c＝25，则(　　)

A．b＜a＜c    B．a＜b＜c

C．b＜c＜a    D．c＜a＜b

解析　由题意得b＝3＜4＝2＝a，a＝2＝4＜4＜5＝25＝c，所以b＜a＜c.

答案　A

4．(2024·山西吕梁段考)已知函数f(x)＝ax2＋2(a－1)x＋2在区间[－2，3]上单调递减，则实数a的取值范围为(　　)

A．    B．

C．[－1，0]    D．[－1，1]

解析　当a＝0时，f(x)＝－2x＋2在区间[－2，3]上单调递减，满足题意．当a≠0时，

函数f(x)的图象的对称轴为直线x＝－＝，当a＞0时，由f(x)在区间[－2，3]上单调递减，可得≥3，得0＜a≤；当a＜0时，由f(x)在区间[－2，3]上单调递减，可得≤－2，得－1≤a＜0.综上，实数a的取值范围为.故选A.

答案　A

5．(多选)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x－x2，则下列说法正确的是(　　)

A．f(x)的最大值为 B．f(x)在(－1，0)上是增函数

C．f(x)＞0的解集为(－1，1) D．f(x)＋2x≥0的解集为[0，3]

解析　由题意，当x≥0时，f(x)＝x－x2＝－＋；当x＜0时，f(x)＝－x2－x＝－＋，f(x)的最大值为，A正确；f(x)在上是减函数，B错误；f(x)＞0的解集为(－1，0)∪(0，1)，C错误；当x≥0时，f(x)＋2x＝3x－x2≥0的解集为[0，3]，当x＜0时，f(x)＋2x＝x－x2≥0无解，故D正确．

答案　AD

6．已知f(x)＝为奇函数，则g(x)＝x2＋ax＋b的单调递增区间为________．

解析　易知函数f(x)的定义域为(－1，1).因为f(x)为奇函数，所以f(0)＝0，所以a－1＝0，即a＝1.经检验，a＝1符合题意，所以g(x)＝x2＋x＋b，该二次函数图象的开口向上，对称轴为直线x＝－，所以g(x)的单调递增区间是.

答案　

7．已知函数f(x)同时满足①f(0)＝0；②在[1，3]上单调递减；③f(1＋x)＝f(1－x)，则该函数的表达式可以是f(x)＝________．

解析　由f(1＋x)＝f(1－x)可知y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，可设f(x)为二次函数，又f(0)＝0且f(x)在[1，3]上单调递减，所以可设f(x)＝2x－x2.

答案　2x－x2(答案不唯一)

8．已知幂函数f(x)＝x，若f(a＋1)＜f(10－2a)，则a的取值范围是________．

解析　∵f(x)＝x＝(x＞0)，易知x∈(0，＋∞)时，f(x)为减函数，又f(a＋1)＜f(10－2a)，

∴解得∴3＜a＜5.

答案　(3，5)

9．已知二次函数f(x)的最小值为1，函数y＝f(x＋1)是偶函数，且f(0)＝3.

(1)求f(x)的解析式；

(2)若函数f(x)在区间[2a，a＋1]上单调，求实数a的取值范围．

解析　(1)因为函数y＝f(x＋1)是偶函数，所以f(x)的图象关于直线x＝1对称，又因为f(x)的最小值为1，所以可设f(x)＝a(x－1)2＋1(a＞0)，又f(0)＝3，所以a＝2，所以f(x)＝2(x－1)2＋1＝2x2－4x＋3.

(2)要使f(x)在区间[2a，a＋1]上单调，则或解得≤a＜1或a≤0，所以实数a的取值范围为(－∞，0]∪.

B级[能力提升]

10．已知函数是幂函数，对任意x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，满足＞0，若a，b∈R，且a＋b＞0，则f(a)＋f(b)的值(　　)

A．恒大于0    B．恒小于0

C．等于0    D．无法判断

解析　由题得m2－m－5＝1，解得m＝－2或m＝3.因为对任意x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，满足＞0，所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以m2－6＞0，所以m＝3，所以f(x)＝x3.若a，b∈R，且a＋b＞0，则a＞－b，易知f(x)为奇函数且在R上单调递增，所以f(a)＞f(－b)＝－f(b)，所以f(a)＋f(b)＞0.故选A.

答案　A

11．已知函数f(x)＝x2－2tx＋1在区间(－∞，1]上单调递减，且当x∈[0，t＋1]时，有f(x)max－f(x)min≤2，则实数t的取值范围是(　　)

A．[－，]    B．[1，]

C．[2，3]    D．[1，2]