2.4 函数性质的综合应用（Word练习）-【导学教程】2025年数学新编高考大一轮总复习（人教A版）

[对应学生用书P271] A级[基础过关] 1．已知函数y＝f(x)的图象经过点P(1，－2)，则函数y＝－f(－x)的图象必过点(　　) A．(－1，2)　　　　　　　 B．(1，2) C．(－1，－2) D．(－2，1) 解析　函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点对称，又y＝f(x)的图象经过点P(1，－2)，则函数y＝－f(－x)的图象必过点(－1，2). 答案　A 2．已知函数f(x)＝2|x－a|的图象关于直线x＝2对称，则a等于(　　) A.1　　 B．2　　　 C．0　　 D．－2 解析　函数y＝2|x|的图象关于y轴对称，将函数y＝2|x|的图象向右平移2个单位长度可得函数y＝2|x－2|的图象，所以函数y＝2|x－2|的图象关于直线x＝2对称，故a＝2. 答案　B 3. 已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－2)＝－f(x)，且在[0，1]上是增函数，则(　　) A．f＜f＜f B．f＜f＜f C．f＜f＜f D．f＜f＜f 解析　由题设知f(x)＝－f(x－2)＝f(2－x)，所以函数f(x)的图象关于直线x＝1对称．又函数f(x)是奇函数，其图象关于坐标原点对称，函数f(x)在[0，1]上是增函数，故f(x)在[－1，0]上也是增函数．综上，函数f(x)在[－1，1]上是增函数，在[1，3]上是减函数．又f＝f＝f，所以f＜f＜f＝f. 答案　B 4．(多选)若定义在R上的偶函数f(x)的图象关于点(2，0)对称，则下列说法正确的是(　　) A．f(x)＝f(－x)　　 B．f(2＋x)＋f(2－x)＝0 C．f(3)＝f(5) D．f(x＋2)＝f(x－2) 解析　因为f(x)为偶函数，则f(x)＝f(－x)，故A正确； 因为f(x)的图象关于点(2，0)对称，对于f(x)的图象上的点(x，y)关于(2，0)的对称点(4－x，－y)也在函数图象上，即f(4－x)＝－y＝－f(x)，用2＋x替换x，得到f[4－(2＋x)]＝－f(2＋x)，即f(2＋x)＋f(2－x)＝0，故B正确； 由f(2＋x)＋f(2－x)＝0， 令x＝1，则f(3)＝－f(1)，令x＝3，则f(5)＝－f(－1)＝－f(1)，则f(3)＝f(5)，故C正确； 由B知，f(2＋x)＝－f(2－x)＝－f(x－2)，故D错误． 答案　ABC 5．(多选)(2024·九省联考)已知函数f(x)的定义域为R，且f≠0，若f(x＋y)＋f(x)f(y)＝4xy，则(　　) A．f＝0 B．f＝－2 C．函数f是偶函数 D．函数f是减函数 解析　对于A，当x＝0，y＝时，f＋f(0)f＝0，f(1＋f(0))＝0，而f≠0，所以f(0)＝－1.当x＝－，y＝时，f(0)＋f·f＝－1，所以ff＝0，所以f＝0，故A正确；对于B，f(x)过(0，－1)，，不妨令f(x)＝kx＋b，则解得所以f(x)＝－2x－1，f(x＋y)＋f(x)f(y)＝－2(x＋y)－1＋(－2x－1)(－2y－1)＝4xy满足条件，所以f＝－2，故B正确；对于C，f＝－2－1＝－2x，为奇函数，故C错误；对于D，f＝－2－1＝－2x－2，为减函数，故D正确． 答案　ABD 6．函数f(x)＝lg |2x－1|图象的对称轴方程为________． 解析　内层函数t＝|2x－1|的对称轴是x＝，所以函数f(x)＝lg |2x－1|图象的对称轴方程是x＝. 答案　x＝ 7．偶函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，且当x∈[2，3]时，f(x)＝2x－1，则f(－1)＝________． 解析　∵f(x)为偶函数，∴f(－1)＝f(1)，由f(x)的图象关于x＝2对称，可得f(1)＝f(3)＝2×3－1＝5，∴f(－1)＝5. 答案　5 8．若函数f(x)＝e|x|－满足f(x＋1)＞f(3x－1)，则实数x的取值范围为________． 解析　因为f(－x)＝e|－x|－＝e|x|－＝f(x)， 所以f(x)为偶函数，所以f(x)＝f(|x|). 易知当x≥0时，f(x)＝ex－为增函数， 所以f(x＋1)＞f(3x－1)⇔f(|x＋1|)＞f(|3x－1|)， 所以|x＋1|＞|3x－1|， 所以(x＋1)2＞(3x－1)2，得0＜x＜1. 答案　(0，1) 9．函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2). (1)求f(1)的值； (2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论； (3)如果f(4)＝1，f(x－1)＜2，且f(x)在(0，＋∞)上单调递增，求x的取值范围． 解析　(1)因为对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，所以令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)，所以f(1)＝0. (2)f(x)为偶函数，证明如下： f(x)的定义域关于原点对称，令x1＝x2＝－1， 有f(1)＝f(－1)＋f(－1)， 所以f(－1)＝f(1)＝0. 令x1＝－1，x2＝x，得f(－x)＝f(－1)＋f(x)，所以f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数． (3)依题设有f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，由(2)知f(x)是偶函数，所以f(x－1)＜2等价于f(|x－1|)＜f(16). 又f(x)在(0，＋∞)上单调递增， 所以0＜|x－1|＜16，解得－15＜x＜17且x≠1， 所以x的取值范围是(－15，1)∪(1，17). B级[能力提升] 10．(多选)已知函数f(x)的定义域为R，对任意x都有f(2＋x)＝f(2－x)，且f(－x)＝f(x)，则下列结论正确的是(　　) A．f(x)的图象关于直线x＝2对称 B．f(x)的图象关于点(2，0)对称 C．f(x)的周期为4 D．y＝f(x＋4)为偶函数 解析　∵f(2＋x)＝f(2－x)，则f(x)的图象关于直线x＝2对称，故A正确，B错误； ∵函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，则f(－x)＝f(x＋4)，又f(－x)＝f(x)，∴f(x＋4)＝f(x)，∴T＝4，故C正确；∵T＝4且f(x)为偶函数，故y＝f(x＋4)为偶函数，故D正确． 答案　ACD 11．(2024·鄂东示范高中联考)已知函数f(x)的定义域为R，g(x)＝f(2－x)－f(2＋x)，h(x)＝f(2－x)＋f(x)，则下述结论正确的是(　　) A．g(x)的图象关于点(1，0)对称 B．g(x)的图象关于y轴对称 C．h(x)的图象关于直线x＝1对称 D．h(x)的图象关于点(1，0)对称 解析　因为函数f(x)的定义域为R，且g(x)＝f(2－x)－f(2＋x)，所以g(2－x)＝f[2－(2－x)]－f[2＋(2－x)]＝f(x)－f(4－x)，则g(x)＋g(2－x)不一定为0，所以函数g(x)的图象不一定关于点(1，0)对称，选项A错误；g(－x)＝f(2＋x)－f(2－x)，即g(－x)＝－g(x)，所以函数g(x)为奇函数，则函数g(x)的图象不一定关于y轴对称，选项B错误；因为h(x)＝f(2－x)＋f(x)，所以h(2－x)＝f[2－(2－x)]＋f(2－x)＝f(x)＋f(2－x)，所以h(2－x)＝h(x)，所以函数h(x)的图象关于直线x＝1对称，所以选项C正确，选项D错误．故选C. 答案　C 12．(2024·泉州市质量监测)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x).当1≤x＜2时，f(x)＝x－2.若y＝x－与f(x)的图象交于点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n∈N*)，则(xi＋yi)＝(　　) A．6 B．8 C．10 D．14 解析　因为f(x＋2)＝－f(x)，且f(－x)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝f(x)，f(2＋x)＝f(－x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数，且其图象关于直线x＝1对称，作出f(x)的部分图象如图所示，由图可知f(x)∈[－1，1]，且f(x)的图象关于点(2，0)对称． 易知当x≥8时，y＝x－≥1，当x≤－4时，y＝x－≤－1，且直线y＝x－关于点(2，0)对称，作出直线y＝x－，由图可知，直线y＝x－与曲线y＝f(x)有7个不同的交点，且除点(2，0)外，其余6个交点两两关于点(2，0)对称，所以x1＋x2＋x3＋…＋x7＝2＋3×4＝14，y1＋y2＋y3＋…＋y7＝0，所以(xi＋yi)＝14.故选D. 答案　D 13．已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋2)为偶函数，f(x)在[2，＋∞)上单调递减，则不等式f(－x2)＞f(－1)的解集为________． 解析　∵f(x＋2)是偶函数，∴f(x＋2)的图象关于直线x＝0对称， ∴f(x)的图象关于直线x＝2对称， 又f(x)在[2，＋∞)上单调递减， ∴f(x)在(－∞，2]上单调递增． 又－x2，－1∈(－∞，2]，f(－x2)＞f(－1)， ∴－x2＞－1，即x2＜1，∴－1＜x＜1， ∴原不等式的解集为(－1，1). 答案　(－1，1) 14．已知函数f(x)＝是奇函数． (1)求a的值，并解关于x的不等式f(x)＞； (2)求函数g(x)＝图象的对称中心． 解析　(1)对任意的x∈R，2x＋2－x＞0，故函数f(x)的定义域为R，又因为函数f(x)＝为奇函数，则f(0)＝＝0，解得a＝1， 所以f(x)＝，下面验证函数f(x)＝为奇函数，f(－x)＝＝－f(x)，故函数f(x)＝为奇函数， 由f(x)＝＝＝＞，得2·4x＞4，即22x＋1＞22，所以2x＋1＞2，解得x＞， 因此不等式f(x)＞的解集为. (2)g(x)＝＝， 则g(－x)＝， 所以g(x)＋g(－x)＝＝2， 因此函数g(x)＝图象的对称中心为(0，1). C级[拓广探索] 15．(多选)函数y＝f(x)的图象关于点M(a，b)成中心对称图形的充要条件是函数y＝f(x＋a)－b为奇函数，给出下列四个结论，其中正确的是(　　) A．f(x)＝x＋－1图象的对称中心是(2，1) B．f(x)＝x＋－1图象的对称中心是(2，－1) C.类比可得函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a成轴对称图形的充要条件是y＝f(x＋a)为偶函数 D．类比可得函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a成轴对称图形的充要条件是y＝f(x－a)为偶函数 解析　y＝x＋是奇函数，其图象的对称中心为(0，0)，将y＝x＋的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度可得f(x)＝x－2＋＋1＝x＋－1的图象，所以f(x)＝x＋－1图象的对称中心是(2，1)，故A正确，B不正确；若函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a成轴对称图形，则将其图象向左平移a个单位长度可得y＝f(x＋a)的图象，y＝f(x＋a)的图象关于直线x＝0，即y轴对称，所以y＝f(x＋a)为偶函数，反之也成立，故C正确，D不正确．故选AC. 答案　AC 16．对于定义域为D的函数y＝f(x)，如果存在区间[m，n]⊆D，同时满足①f(x)在[m，n]内是单调函数；②当定义域是[m，n]时，f(x)的值域也是[m，n]，则称[m，n]是该函数的“优美区间”． (1)求证：[0，2]是函数f(x)＝x2的一个“优美区间”； (2)求证：函数g(x)＝4＋不存在“优美区间”． 证明　(1)f(x)＝x2在区间[0，2]上单调递增， 又f(0)＝0，f(2)＝2， ∴f(x)＝x2的值域为[0，2]， ∴区间[0，2]是f(x)＝x2的一个“优美区间”． (2)设[m，n]是已知函数g(x)的定义域的子集． 由x≠0，可得[m，n]⊆(－∞，0)或[m，n]⊆(0，＋∞)， ∴函数g(x)＝4＋在[m，n]上单调递减． 假设[m，n]是已知函数的“优美区间”， 则两式相减得，－＝n－m. 则＝n－m，∵n＞m，∴mn＝6，∴n＝， 则4＋＝，显然等式不成立， ∴函数g(x)＝4＋不存在“优美区间”． 学科网（北京）股份有限公司 $$