2.4 函数性质的综合应用（Word练习）-【导学教程】2025年数学新编高考大一轮总复习（人教A版）

[对应学生用书P271]

A级[基础过关]

1．已知函数y＝f(x)的图象经过点P(1，－2)，则函数y＝－f(－x)的图象必过点(　　)

A．(－1，2)　　　　　　　 B．(1，2)

C．(－1，－2)    D．(－2，1)

解析　函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点对称，又y＝f(x)的图象经过点P(1，－2)，则函数y＝－f(－x)的图象必过点(－1，2).

答案　A

2．已知函数f(x)＝2|x－a|的图象关于直线x＝2对称，则a等于(　　)

A.1　　 B．2　　　

C．0　　 D．－2

解析　函数y＝2|x|的图象关于y轴对称，将函数y＝2|x|的图象向右平移2个单位长度可得函数y＝2|x－2|的图象，所以函数y＝2|x－2|的图象关于直线x＝2对称，故a＝2.

答案　B

3. 已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－2)＝－f(x)，且在[0，1]上是增函数，则(　　)

A．f＜f＜f B．f＜f＜f

C．f＜f＜f D．f＜f＜f

解析　由题设知f(x)＝－f(x－2)＝f(2－x)，所以函数f(x)的图象关于直线x＝1对称．又函数f(x)是奇函数，其图象关于坐标原点对称，函数f(x)在[0，1]上是增函数，故f(x)在[－1，0]上也是增函数．综上，函数f(x)在[－1，1]上是增函数，在[1，3]上是减函数．又f＝f＝f，所以f＜f＜f＝f.

答案　B

4．(多选)若定义在R上的偶函数f(x)的图象关于点(2，0)对称，则下列说法正确的是(　　)

A．f(x)＝f(－x)　　 B．f(2＋x)＋f(2－x)＝0

C．f(3)＝f(5)    D．f(x＋2)＝f(x－2)

解析　因为f(x)为偶函数，则f(x)＝f(－x)，故A正确；

因为f(x)的图象关于点(2，0)对称，对于f(x)的图象上的点(x，y)关于(2，0)的对称点(4－

x，－y)也在函数图象上，即f(4－x)＝－y＝－f(x)，用2＋x替换x，得到f[4－(2＋x)]＝－f(2＋x)，即f(2＋x)＋f(2－x)＝0，故B正确；

由f(2＋x)＋f(2－x)＝0，

令x＝1，则f(3)＝－f(1)，令x＝3，则f(5)＝－f(－1)＝－f(1)，则f(3)＝f(5)，故C正确；

由B知，f(2＋x)＝－f(2－x)＝－f(x－2)，故D错误．

答案　ABC

5．(多选)(2024·九省联考)已知函数f(x)的定义域为R，且f≠0，若f(x＋y)＋f(x)f(y)＝4xy，则(　　)

A．f＝0 B．f＝－2

C．函数f是偶函数 D．函数f是减函数

解析　对于A，当x＝0，y＝时，f＋f(0)f＝0，f(1＋f(0))＝0，而f≠0，所以f(0)＝－1.当x＝－，y＝时，f(0)＋f·f＝－1，所以ff＝0，所以f＝0，故A正确；对于B，f(x)过(0，－1)，，不妨令f(x)＝kx＋b，则解得所以f(x)＝－2x－1，f(x＋y)＋f(x)f(y)＝－2(x＋y)－1＋(－2x－1)(－2y－1)＝4xy满足条件，所以f＝－2，故B正确；对于C，f＝－2－1＝－2x，为奇函数，故C错误；对于D，f＝－2－1＝－2x－2，为减函数，故D正确．

答案　ABD

6．函数f(x)＝lg |2x－1|图象的对称轴方程为________．

解析　内层函数t＝|2x－1|的对称轴是x＝，所以函数f(x)＝lg |2x－1|图象的对称轴方程是x＝.

答案　x＝

7．偶函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，且当x∈[2，3]时，f(x)＝2x－1，则f(－1)＝________．

解析　∵f(x)为偶函数，∴f(－1)＝f(1)，由f(x)的图象关于x＝2对称，可得f(1)＝f(3)＝2×3－1＝5，∴f(－1)＝5.

答案　5

8．若函数f(x)＝e|x|－满足f(x＋1)＞f(3x－1)，则实数x的取值范围为________．

解析　因为f(－x)＝e|－x|－＝e|x|－＝f(x)，

所以f(x)为偶函数，所以f(x)＝f(|x|).

易知当x≥0时，f(x)＝ex－为增函数，

所以f(x＋1)＞f(3x－1)⇔f(|x＋1|)＞f(|3x－1|)，

所以|x＋1|＞|3x－1|，

所以(x＋1)2＞(3x－1)2，得0＜x＜1.

答案　(0，1)

9．函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2).

(1)求f(1)的值；

(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；

(3)如果f(4)＝1，f(x－1)＜2，且f(x)在(0，＋∞)上单调递增，求x的取值范围．

解析　(1)因为对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，所以令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)，所以f(1)＝0.

(2)f(x)为偶函数，证明如下：

f(x)的定义域关于原点对称，令x1＝x2＝－1，

有f(1)＝f(－1)＋f(－1)，

所以f(－1)＝f(1)＝0.

令x1＝－1，x2＝x，得f(－x)＝f(－1)＋f(x)，所以f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数．

(3)依题设有f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，由(2)知f(x)是偶函数，所以f(x－1)＜2等价于f(|x－1|)＜f(16).