2.3 函数的奇偶性、周期性（Word练习）-【导学教程】2025年数学新编高考大一轮总复习（人教A版）

[对应学生用书P269]

A级[基础过关]

1．下列函数在定义域内既是奇函数又是增函数的是(　　)

A．y＝sin x　　　　　 B．y＝2x

C．y＝log2x    D．y＝x3

解析　对于A，因为函数y＝sin x在其定义域内既有增区间又有减区间，所以函数y＝sin x不符合题意，故A不正确；对于B，因为指数函数在其定义域上是非奇非偶函数，所以函数y＝2x不符合题意，故B不正确；对于C，因为对数函数的定义域为(0，＋∞)，所以函数y＝log2x是非奇非偶函数，故C不正确；对于D，y＝x3是奇函数，且是R上的增函数．故选D.

答案　D

2．已知函数f(x)的定义域为R，则“f(x)是偶函数”是“|f(x)|是偶函数”的(　　)

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

解析　偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称，根据这一特征，若f(x)是偶函数，则|f(x)|是偶函数，若f(x)是奇函数，|f(x)|也是偶函数，所以“f(x)是偶函数”是“|f(x)|是偶函数”的充分不必要条件．

答案　A

3．已知f(x)是R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝2x－.若f(2)＋f(0)＝1，则f(－3)＝(　　)

A.－4    B．－3

C．－2    D．1

解析　因为f(x)是R上的奇函数，所以f(0)＝0.又因为f(2)＋f(0)＝1，所以f(2)＝4－＝1，解得a＝6，所以f(x)＝2x－(x＞0)，所以f(－3)＝－f(3)＝－＝－4.

答案　A

4．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋5)＝f(x－3)，如果当x∈[0，4)时，f(x)＝log2(x＋2)，则f(766)＝(　　)

A．3    B．－3

C．2    D．－2

解析　由f(x＋5)＝f(x－3)，得f(x＋8)＝f(x)，所以f(x)是周期为8的周期函数，当x∈[0，4)时，f(x)＝log2(x＋2)，所以f(766)＝f(96×8－2)＝f(－2)，又f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(－2)＝f(2)＝log24＝2.

答案　C

5．(多选)若二次函数f(x)＝ax2＋2a在区间[－a，a2]上是偶函数，且g(x)＝f(x－1)，则(　　)

A．g＜g(0)    B．g(0)＜g(3)

C．g(－1)＜g(1)    D．g(4)＜g(2)

解析　由题意得解得a＝1，所以f(x)＝x2＋2，所以g(x)＝f(x－1)＝(x－1)2＋2.因为函数g(x)的图象关于直线x＝1对称，所以g(0)＝g(2).因为函数g(x)＝(x－1)2＋2在区间[1，＋∞)上单调递增，在区间(－∞，1)上单调递减，所以g＜g(0)，g(0)＜g(3)，g(－1)＞g(1)，g(4)＞g(2).故选AB.

答案　AB

6．已知函数f(x)＝为偶函数，则2a＋b＝________．

解析　因为f(x)为偶函数，所以所以解得经检验，符合题意，所以2a＋b＝.

答案　

7．设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈(－1，1]时，f(x)＝其中m∈R.若f＝f，则m的值是________．

解析　由题意得，f＝f＝＋2×＋m＝－＋m，f＝＝，所以＝－＋m，解得m＝1.

答案　1

8．设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x).当x∈[0，2]时，f(x)＝2x－x2.

(1)求证：f(x)是周期函数；

(2)当x∈[2，4]时，求f(x)的解析式．

(1)证明　∵f(x＋2)＝－f(x)，

∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x).

∴f(x)是周期为4的周期函数．

(2)解析　当x∈[－2，0]时，－x∈[0，2]，

由已知得f(－x)＝2(－x)－(－x)2＝－2x－x2.

又f(x)是奇函数，

∴f(－x)＝－f(x)＝－2x－x2.

∴f(x)＝x2＋2x.

又当x∈[2，4]时，x－4∈[－2，0]，

∴f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4).

又f(x)是周期为4的周期函数，

∴f(x)＝f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)＝x2－6x＋8.

从而求得x∈[2，4]时，f(x)＝x2－6x＋8.

B级[能力提升]

9．已知函数f(x)＝－x2＋bx＋c，且f(x＋1)是偶函数，则f(－1)，f(1)，f(2)的大小关系是(　　)

A．f(－1)＜f(1)＜f(2) B．f(1)＜f(2)＜f(－1)

C．f(2)＜f(－1)＜f(1) D．f(－1)＜f(2)＜f(1)

解析　因为f(x＋1)是偶函数，所以其对称轴为x＝0，所以f(x)的对称轴为x＝1，又二次函数f(x)＝－x2＋bx＋c的开口向下，根据自变量离对称轴的距离可得f(－1)＜f(2)＜f(1).

答案　D

10．已知函数f(x)＝a sin 3x＋bx3＋4(a∈R，b∈R)，f′(x)为f(x)的导函数，则f(2 024)＋f(－2 024)＋f′(2 023)－f′(－2 023)＝(　　)

A．8    B．2 023

C．2 024    D．0

解析　设g(x)＝f(x)－4＝a sin 3x＋bx3，

由g(－x)＝－g(x)得g(x)是奇函数，

f′(x)＝3a cos 3x＋3bx2为偶函数，

所以f′(－x)＝f′(x)，