2.3 函数的奇偶性、周期性（Word练习）-【导学教程】2025年数学新编高考大一轮总复习（人教A版）

[对应学生用书P269] A级[基础过关] 1．下列函数在定义域内既是奇函数又是增函数的是(　　) A．y＝sin x　　　　　 B．y＝2x C．y＝log2x D．y＝x3 解析　对于A，因为函数y＝sin x在其定义域内既有增区间又有减区间，所以函数y＝sin x不符合题意，故A不正确；对于B，因为指数函数在其定义域上是非奇非偶函数，所以函数y＝2x不符合题意，故B不正确；对于C，因为对数函数的定义域为(0，＋∞)，所以函数y＝log2x是非奇非偶函数，故C不正确；对于D，y＝x3是奇函数，且是R上的增函数．故选D. 答案　D 2．已知函数f(x)的定义域为R，则“f(x)是偶函数”是“|f(x)|是偶函数”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析　偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称，根据这一特征，若f(x)是偶函数，则|f(x)|是偶函数，若f(x)是奇函数，|f(x)|也是偶函数，所以“f(x)是偶函数”是“|f(x)|是偶函数”的充分不必要条件． 答案　A 3．已知f(x)是R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝2x－.若f(2)＋f(0)＝1，则f(－3)＝(　　) A.－4 B．－3 C．－2 D．1 解析　因为f(x)是R上的奇函数，所以f(0)＝0.又因为f(2)＋f(0)＝1，所以f(2)＝4－＝1，解得a＝6，所以f(x)＝2x－(x＞0)，所以f(－3)＝－f(3)＝－＝－4. 答案　A 4．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋5)＝f(x－3)，如果当x∈[0，4)时，f(x)＝log2(x＋2)，则f(766)＝(　　) A．3 B．－3 C．2 D．－2 解析　由f(x＋5)＝f(x－3)，得f(x＋8)＝f(x)，所以f(x)是周期为8的周期函数，当x∈[0，4)时，f(x)＝log2(x＋2)，所以f(766)＝f(96×8－2)＝f(－2)，又f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(－2)＝f(2)＝log24＝2. 答案　C 5．(多选)若二次函数f(x)＝ax2＋2a在区间[－a，a2]上是偶函数，且g(x)＝f(x－1)，则(　　) A．g＜g(0) B．g(0)＜g(3) C．g(－1)＜g(1) D．g(4)＜g(2) 解析　由题意得解得a＝1，所以f(x)＝x2＋2，所以g(x)＝f(x－1)＝(x－1)2＋2.因为函数g(x)的图象关于直线x＝1对称，所以g(0)＝g(2).因为函数g(x)＝(x－1)2＋2在区间[1，＋∞)上单调递增，在区间(－∞，1)上单调递减，所以g＜g(0)，g(0)＜g(3)，g(－1)＞g(1)，g(4)＞g(2).故选AB. 答案　AB 6．已知函数f(x)＝为偶函数，则2a＋b＝________． 解析　因为f(x)为偶函数，所以所以解得经检验，符合题意，所以2a＋b＝. 答案　 7．设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈(－1，1]时，f(x)＝其中m∈R.若f＝f，则m的值是________． 解析　由题意得，f＝f＝＋2×＋m＝－＋m，f＝＝，所以＝－＋m，解得m＝1. 答案　1 8．设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x).当x∈[0，2]时，f(x)＝2x－x2. (1)求证：f(x)是周期函数； (2)当x∈[2，4]时，求f(x)的解析式． (1)证明　∵f(x＋2)＝－f(x)， ∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x). ∴f(x)是周期为4的周期函数． (2)解析　当x∈[－2，0]时，－x∈[0，2]， 由已知得f(－x)＝2(－x)－(－x)2＝－2x－x2. 又f(x)是奇函数， ∴f(－x)＝－f(x)＝－2x－x2. ∴f(x)＝x2＋2x. 又当x∈[2，4]时，x－4∈[－2，0]， ∴f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4). 又f(x)是周期为4的周期函数， ∴f(x)＝f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)＝x2－6x＋8. 从而求得x∈[2，4]时，f(x)＝x2－6x＋8. B级[能力提升] 9．已知函数f(x)＝－x2＋bx＋c，且f(x＋1)是偶函数，则f(－1)，f(1)，f(2)的大小关系是(　　) A．f(－1)＜f(1)＜f(2) B．f(1)＜f(2)＜f(－1) C．f(2)＜f(－1)＜f(1) D．f(－1)＜f(2)＜f(1) 解析　因为f(x＋1)是偶函数，所以其对称轴为x＝0，所以f(x)的对称轴为x＝1，又二次函数f(x)＝－x2＋bx＋c的开口向下，根据自变量离对称轴的距离可得f(－1)＜f(2)＜f(1). 答案　D 10．已知函数f(x)＝a sin 3x＋bx3＋4(a∈R，b∈R)，f′(x)为f(x)的导函数，则f(2 024)＋f(－2 024)＋f′(2 023)－f′(－2 023)＝(　　) A．8 B．2 023 C．2 024 D．0 解析　设g(x)＝f(x)－4＝a sin 3x＋bx3， 由g(－x)＝－g(x)得g(x)是奇函数， f′(x)＝3a cos 3x＋3bx2为偶函数， 所以f′(－x)＝f′(x)， 所以f(2 024)＋f(－2 024)＋f′(2 023)－f′(－2 023)＝g(2 024)＋4＋g(－2 024)＋4＋f′(2 023)－f′(－2 023)＝g(2 024)－g(2 024)＋f′(2 023)－f′(2 023)＋8＝8. 答案　A 11．(多选)已知定义在R上的偶函数f(x)，其周期为4，当x∈[0，2]时，f(x)＝2x－2，则(　　) A．f(2 025)＝0 B．f(x)的值域为[－1，2] C．f(x)在[4，6]上单调递减 D．f(x)在[－6，6]上有8个零点 解析　f(2 025)＝f(506×4＋1)＝f(1)＝0，所以A正确； 当x∈[0，2]时，f(x)＝2x－2单调递增， 所以当x∈[0，2]时，函数的值域为[－1，2]， 由于函数是偶函数，所以函数的值域为[－1，2]，所以B正确； 当x∈[0，2]时，f(x)＝2x－2单调递增， 又函数的周期是4， 所以f(x)在[4，6]上单调递增，所以C错误； 令f(x)＝2x－2＝0，所以x＝1， 所以f(1)＝f(－1)＝0， 由于函数的周期为4， 所以f(5)＝f(－5)＝0，f(3)＝f(－3)＝0， 所以f(x)在[－6，6]上有6个零点，所以D错误． 答案　AB 12．若函数f(x)＝ex－e－x，则不等式f(ln x)＋f(ln x－1)＞0的解集是________． 解析　因为f(x)＝ex－e－x，定义域为R，且f(－x)＝e－x－ex＝－f(x)，故f(x)为奇函数，又y＝ex，y＝－e－x均为增函数，故f(x)为R上的增函数，则原不等式等价于f(ln x)＞f(1－ln x)，也即ln x＞1－ln x，整理得ln x＞，解得x＞，故不等式的解集为(，＋∞). 答案　(，＋∞) 13．已知函数f(x)＝是奇函数． (1)求实数m的值； (2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围． 解析　(1)设x＜0，则－x＞0， 所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x. 又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，于是当x＜0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2. (2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，结合f(x)的图象(如图所示)知所以1＜a≤3，故实数a的取值范围是(1，3]. C级[拓广探索] 14．(2023·湖北省三校联考)设g(x)是定义在R上的不恒为零的函数，且满足g(x＋1)为偶函数，g(x＋2)为奇函数，则(k)＝________． 解析　由g(x＋1)为偶函数，知函数g(x)的图象关于直线x＝1对称，则有g(－x)＝g(2＋x).由函数g(x＋2)为奇函数，知函数g(x)的图象关于点(2，0)对称，则－g(－x)＝g(4＋x)，所以g(4＋x)＝－g(x＋2)，所以g(2＋x)＝－g(x)，所以g(x)＝g(x＋4)，所以函数g(x)是周期为4的周期函数，因为函数g(x)的图象关于点(2，0)对称，所以g(1)＋g(3)＝0.因为函数g(x＋2)为奇函数，所以g(2)＝0.由g(2)＝－g(0)＝0可得g(0)＝0，所以g(4)＝0，所以g(1)＋g(2)＋g(3)＋g(4)＝0，所以(k)＝g(1)＋g(2)＋…＋g(2 023)＝505×[g(1)＋g(2)＋g(3)＋g(4)]＋g(1)＋g(2)＋g(3)＝505×0＋0＝0. 答案　0 15．设函数f(x)的定义域为R.若存在常数T，A(T＞0，A＞0)，使得对任意x∈R，f(x＋T)＝Af(x)都成立，则称函数f(x)具有性质P. (1)判断函数y＝x和y＝cos x是否具有性质P？(结论不要求证明) (2)若函数f(x)具有性质P，且其对应的T＝π，A＝2.当x∈(0，π]时，f(x)＝sin x，求函数f(x)在区间[－π，0]上的最大值． 解析　(1)因为函数y＝x是增函数， 所以函数y＝x不具有性质P. 当A＝1，T＝2π时， 函数y＝cos x对于任意x∈R， f(x＋T)＝Af(x)成立， 所以y＝cos x具有性质P. (2)设x∈(－π，0]，则x＋π∈(0，π]， 由题意得，f(x＋π)＝2f(x)＝sin (x＋π)， 所以f(x)＝－sin x，x∈(－π，0]， 由f(－π＋π)＝2f(－π)，f(0＋π)＝2f(0)， 得f(－π)＝f(π)＝0， 所以当x∈[－π，0]时，f(x)＝－sin x， 所以当x＝－时，f(x)在[－π，0]上有最大值f＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$