2.2 函数的单调性与最值（Word练习）-【导学教程】2025年数学新编高考大一轮总复习（人教A版）

[对应学生用书P267]

A级[基础过关]

1．下列函数在R上为增函数的是(　　)

A．y＝x2　　　　　　　 B．y＝x

C．y＝－    D．y＝

解析　y＝x2在(－∞，0]上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故选项A错误；

y＝x在R上为增函数，故选项B正确；

y＝－在[0，＋∞)上单调递减，故选项C错误；

y＝在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递减，故选项D错误．

答案　B

2．函数f(x)＝x－(x∈[1，2])的最大值为(　　)

A．－1    B．1

C．    D．2

解析　因为函数y＝x，y＝－在区间[1，2]上均单调递增，故函数f(x)在[1，2]上单调递增，当x∈[1，2]时，f(x)max＝f(2)＝2－1＝1.

答案　B

3．函数y＝ 的单调递减区间为(　　)

A．    B．

C．[0，＋∞)    D．(－∞，－3]

解析　由题意，x2＋3x≥0，可得x≤－3或x≥0，所以函数y＝的定义域为(－∞，－3]∪[0，＋∞).令t＝x2＋3x，则外层函数y＝在[0，＋∞)上单调递增，内层函数t＝x2＋3x在(－∞，－3]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增，所以函数y＝的单调递减区间为(－∞，－3].

答案　D

4．(多选)下列函数满足“∀x1，x2∈(0，＋∞)，＜0”的有(　　)

A．f(x)＝5x＋1    B．f(x)＝－3x＋1

C．f(x)＝x2＋4x＋3    D．f(x)＝

解析　∀x1，x2∈(0，＋∞)，＜0，即当0＜x1＜x2时，f(x1)＞f(x2)，故f(x)在(0，＋∞)上单调递减．由一次函数、二次函数、反比例函数的性质知，B、D满足题意，A、C不满足题意．故选BD.

答案　BD

5．(多选)已知函数f(x)满足f＝，则下列关于函数f(x)的说法正确的是(　　)

A．f(x)的定义域为{x|x≠－1}

B．f(x)的值域为{y|y≠1，且y≠2}

C．f(x)在(0，＋∞)上单调递减

D．不等式f(x)＞2的解集为(－1，0)

解析　由于f＝＝，故f(x)＝＝1＋(x≠0且x≠－1)，所以f(x)的定义域为{x|x≠－1，且x≠0}，作出其图象(图象略)，由图象知，f(x)的值域为{y|y≠1，且y≠2}；f(x)在(0，＋∞)上单调递减；f(x)＞2的解集为(－1，0).故选BCD.

答案　BCD

6．函数f(x)＝x2－6|x|＋8的单调递减区间是________．

解析　由题意得函数f(x)＝

当x≥0时，函数f(x)＝x2－6x＋8的单调递减区间为[0，3]；

当x＜0时，函数f(x)＝x2＋6x＋8的单调递减区间为(－∞，－3]，

综上，函数f(x)＝的单调递减区间为(－∞，－3]，[0，3].

答案　(－∞，－3]，[0，3]

7．已知函数f(x)＝且对任意的x1，x2∈R，x1≠x2时，都有＞0，则a的取值范围是________．

解析　由题意得函数f(x)在R上为增函数，

所以解得－1≤a＜0.

答案　[－1，0)

8．已知函数f(x)＝x－.

(1)用函数单调性的定义证明：f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数；

(2)解不等式：f(2x＋1)＞f(4x).

(1)证明　任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝－＝(x1－x2)，

因为x1，x2∈(0，＋∞)，且x1＜x2，所以x1－x2＜0，1＋＞0，所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，所以函数f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数．

(2)解析　对于f＞f(4x)，有2x＋1＞0，4x＞0，而函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，则2x＋1＞4x，解得x＜1.

所以不等式的解集为(－∞，1).

B级[能力提升]

9．(多选)已知函数f(x)＝则下列结论正确的是(　　)

A．f(x)在R上为增函数

B．f(e)＞f(2)

C．若f(x)在(a，a＋1)上单调递增，则a≤－1或a≥0

D．当x∈[－1，1]时，f(x)的值域为[1，2]

解析　易知f(x)在(－∞，0]，(0，＋∞)上单调递增，A错误，B正确；若f(x)在(a，a＋1)上单调递增，则a≥0或a＋1≤0，即a≥0或a≤－1，故C正确；当x∈[－1，0]时，f(x)∈[1，2]，当x∈(0，1]时，f(x)∈(－∞，2]，故x∈[－1，1]时，f(x)∈(－∞，2]，故D错误．

答案　BC

10．已知函数y＝f(x)的定义域为R，对任意x1，x2且x1≠x2，都有＞－1，则下列说法正确的是(　　)

A．y＝f(x)＋x是增函数 B．y＝f(x)＋x是减函数

C．y＝f(x)是增函数 D．y＝f(x)是减函数