1.5 一元二次方程、不等式（Word练习）-【导学教程】2025年数学新编高考大一轮总复习（人教A版）

[对应学生用书P263] A级[基础过关] 1．不等式|x|(1－2x)＞0的解集为(　　) A．(－∞，0)∪　　　 B． C． D． 解析　由题意得x≠0，当x＞0时，原不等式即为x(1－2x)＞0，所以0＜x＜；当x＜0时，原不等式即为－x(1－2x)＞0，所以x＜0，综上，原不等式的解集为(－∞，0)∪. 答案　A 2．不等式≤0的解集是(　　) A． B． C． D． 解析　由不等式≤0，得(1－2x)(x＋4)≤0且x＋4≠0，即(2x－1)(x＋4)≥0且x≠－4，解得x＜－4或x≥，所以不等式≤0的解集是.故选C. 答案　C 3．设f(x)＝则不等式f(x)＜x2的解集是(　　) A．(－∞，0]∪(2，＋∞) B．R C．[0，2) D．(－∞，0) 解析　当x＞0时，f(x)＝x＋2，代入不等式f(x)＜x2得x＋2＜x2，即(x－2)(x＋1)＞0，解得x＞2或x＜－1，所以不等式f(x)＜x2的解集为(2，＋∞)；当x≤0时，f(x)＝x－2，代入不等式f(x)＜x2得x－2＜x2，解得x∈R，所以不等式f(x)＜x2的解集为(－∞，0].综上，不等式f(x)＜x2的解集为(－∞，0]∪(2，＋∞).故选A. 答案　A 4．已知函数f(x)＝的定义域为R，则实数m的取值范围是(　　) A． B．[－1，3] C．∪(3，＋∞) D．(－∞，－1]∪[3，＋∞) 解析　由题意得(2m＋3)x2＋2mx＋1≥0对x∈R恒成立，当2m＋3＝0，即m＝－时，不满足题意．当2m＋3≠0时，由解得－1≤m≤3. 综上，实数m的取值范围是[－1，3]，故选B. 答案　B 5．(多选)已知关于x的不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为{x|x≤3，或x≥4}，则下列结论正确的有(　　) A．a＞0 B．不等式bx＋c＞0的解集为{x|x＜－4} C．不等式cx2－bx＋a＜0的解集为 D．a＋b＋c＞0 解析　由不等式的解集为{x|x≤3，或x≥4}可知a＞0且所以对于A，由上可知，A正确；对于B，bx＋c＝－7ax＋12a＞0，又a＞0，所以x＜，B错误；对于C，cx2－bx＋a＝12ax2＋7ax＋a＜0，又a＞0，即12x2＋7x＋1＜0，解得－＜x＜－，C错误；对于D，a＋b＋c＝a－7a＋12a＝6a＞0，D正确．故选AD. 答案　AD 6．二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分对应值如下表： x －3 －2 －1 0 1 y －10 －4 0 2 2 则关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为________． 解析　代入x＝0，可得c＝2，再代入x＝－1和x＝1可得解得所以－x2＋x＋2＞0，解得－1＜x＜2. 答案　(－1，2) 7．若a＜0，则关于x的不等式组的解集为________． 解析　因为a＜0，由ax－a2＝a(x－a)＜0，得x＞a；由x2－ax－2a2＝(x－2a)(x＋a)＜0，得2a＜x＜－a.所以原不等式组的解集为(a，－a). 答案　(a，－a) 8．求下列关于x的不等式的解集． (1)≤1； (2)ax2＋(2a－1)x－2＜0(a＜0). 解析　(1)由≤1，得≤0，故≥0， 则(2x－3)(x－1)≥0且x≠1，解得x＜1或x≥.故≤1的解集为(－∞，1)∪. (2)由ax2＋(2a－1)x－2＜0，得(ax－1)(x＋2)＜0， 因为a＜0，所以(x＋2)＞0， 当a＝－时，解得x≠－2； 当a＜－时，＞－2，解得x＜－2或x＞； 当－＜a＜0时，＜－2，解得x＜或x＞－2. 综上，当a＝－时，不等式的解集为{x|x≠－2}； 当a＜－时，不等式的解集为(－∞，－2)∪； 当－＜a＜0时，不等式的解集为∪(－2，＋∞). B级[能力提升] 9．若关于x的不等式x2－(m＋3)x＋3m＜0的解集中恰有3个整数，则实数m的取值范围为(　　) A．(6，7] B．[－1，0) C．[－1，0)∪(6，7] D．[－1，7] 解析　不等式x2－(m＋3)x＋3m＜0可化为(x－3)(x－m)＜0，当m＞3时，不等式的解集为(3，m)，要使解集中恰有3个整数，则这3个整数只能是4，5，6，所以6＜m≤7；当m＝3时，不等式的解集为∅，此时不符合题意；当m＜3时，不等式的解集为(m，3)，要使解集中恰有3个整数，则这3个整数只能是0，1，2，所以－1≤m＜0.综上可知，实数m的取值范围是[－1，0)∪(6，7].故选C. 答案　C 10．已知y＝(x－m)(x－n)＋2 024(n＞m)，且α，β(α＜β)是方程y＝0的两个实数根，则α，β，m，n的大小关系是(　　) A．α＜m＜n＜β B．m＜α＜n＜β C．m＜α＜β＜n D．α＜m＜β＜n 解析　∵α，β为方程y＝0的两个实数根， ∴α，β为函数y＝(x－m)(x－n)＋2 024的图象与x轴交点的横坐标，令y1＝(x－m)(x－n)， ∴m，n为函数y1＝(x－m)(x－n)的图象与x轴交点的横坐标， 易知函数y＝(x－m)(x－n)＋2 024的图象可由y1＝(x－m)(x－n)的图象向上平移2 024个单位长度得到，∴m＜α＜β＜n. 答案　C 11．不等式＞x的解集是________． 解析　不等式＞x化为以下两个不等式组或 解即解得x＜－1；解即 解得1＜x＜5，所以原不等式的解集是(－∞，－1)∪(1，5). 答案　(－∞，－1)∪(1，5) 12．若不等式组的解集是空集，则实数a的取值范围是________． 解析　由x2－2x－3≤0得－1≤x≤3，即不等式x2－2x－3≤0的解集为[－1，3]. 又不等式组的解集是空集，所以对∀x∈[－1，3]，x2＋4x－(1＋a)≤0不成立，即对∀x∈[－1，3]，x2＋4x－(1＋a)＞0.设函数f(x)＝x2＋4x－(a＋1)，则该函数的图象开口向上，且对称轴方程为x＝－2，且－2＜－1＜3，所以必有f(－1)＝－4－a＞0，即a＜－4. 综上，实数a的取值范围是(－∞，－4). 答案　(－∞，－4) 13．已知f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋6. (1)解关于a的不等式f(1)＞0； (2)若不等式f(x)＞b的解集为(－1，3)，求实数a，b的值． 解析　(1)由题意知f(1)＝－3＋a(6－a)＋6＝－a2＋6a＋3＞0， 即a2－6a－3＜0，解得3－2＜a＜3＋2. 所以关于a的不等式的解集为(3－2，3＋2). (2)因为f(x)＞b的解集为(－1，3)， 所以方程－3x2＋a(6－a)x＋6－b＝0的两根为－1，3， 所以解得 故a的值为3±，b的值为－3. C级[拓广探索] 14．下面给出了问题“已知关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|－2＜x＜1}，解关于x的不等式ax2－bx＋c＞0.”的一种解法：因为不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|－2＜x＜1}，又不等式ax2－bx＋c＞0可化为a(－x)2＋b(－x)＋c＞0，所以－2＜－x＜1，即－1＜x＜2.所以不等式ax2－bx＋c＞0的解集为{x|－1＜x＜2}．参考上述解法，解答问题：若关于x的不等式＋＜0的解集为{x|－2＜x＜－1，或1＜x＜3}．则关于x的不等式＋＜0的解集为(　　) A．∪ B．(－1，1)∪(1，3) C.(－3，－1)∪(1，2) D．∪ 解析　因为x＝0不是不等式＋＜0的解，所以不等式＋＜0等价于＋＜0，所以－2＜－＜－1或1＜－＜3，解得－1＜x＜－或＜x＜1. 答案　A 15．已知函数f(x)＝ax2＋(1－a)x＋a－2. (1)若不等式f(x)≥－2对于一切实数x恒成立，求实数a的取值范围； (2)若a＜0，解关于x的不等式f(x)＜a－1. 解析　(1)∀x∈R，f(x)≥－2恒成立等价于∀x∈R，ax2＋(1－a)x＋a≥0，当a＝0时，x≥0，对一切实数x不恒成立，则a≠0， 此时必有 即解得a≥， 所以实数a的取值范围是. (2)依题意，因为a＜0，则f(x)＜a－1⇔ax2＋(1－a)x－1＜0⇔(x－1)＞0， 当a＝－1时，－＝1，解得x≠1； 当－1＜a＜0时，－＞1，解得x＜1或x＞－； 当a＜－1时，0＜－＜1，解得x＜－或x＞1. 综上，当a＝－1时，原不等式的解集为{x|x≠1}； 当－1＜a＜0时，原不等式的解集为； 当a＜－1时，原不等式的解集为. 学科网（北京）股份有限公司 $$