1.4 基本不等式（Word练习）-【导学教程】2025年数学新编高考大一轮总复习（人教A版）

[对应学生用书P262] A级[基础过关] 1．已知函数f(x)＝4x＋(x＞0，a＞0)在x＝3时取得最小值，则a＝(　　) A．24　　　　　　　　 B．28 C．32 D．36 解析　因为x＞0，a＞0，所以f(x)＝4x＋≥2＝4，当且仅当4x＝，即4x2＝a时，f(x)取得最小值．又因为f(x)在x＝3时取得最小值，所以a＝4×32＝36.故选D. 答案　D 2．若正实数a，b满足a＋4b＝ab，则ab的最小值为(　　) A．16 B．8 C．4 D．2 解析　因为正实数a，b满足a＋4b＝ab，所以ab＝a＋4b≥2＝4，所以ab≥16，当且仅当a＝4b，即a＝8，b＝2时等号成立． 答案　A 3．已知a＞0，b＞0，并且，，成等差数列，则a＋9b的最小值为(　　) A．16 B．9 C．5 D．4 解析　根据题意，a＞0，b＞0，且，，成等差数列，则＋＝2×＝1，则a＋9b＝(a＋9b)·＝10＋＋≥10＋2＝16，当且仅当＝，即a＝4，b＝时等号成立，∴a＋9b的最小值为16.故选A. 答案　A 4．设实数x满足x＞0，则函数y＝2＋3x＋的最小值为(　　) A．4－1 B．4＋2 C．4＋1 D．6 解析　因为x＞0，所以x＋1＞0，所以y＝2＋3x＋＝2＋3(x＋1)－3＋＝3(x＋1)＋－1≥2－1＝4－1，当且仅当3(x＋1)＝，即x＝－1时等号成立，所以函数y＝2＋3x＋的最小值为4－1.故选A. 答案　A 5．(2024·重庆巴蜀中学适应性考试)已知正实数a，b满足＋＝1，则a＋2b的最小值为(　　) A．6 B．8 C．10 D．12 解析　由题意知a＋2b＋1＝(a＋b＋b＋1)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝，即b＝2，a＝4时等号成立，此时a＋2b取得最小值8.故选B. 答案　B 6．若log2m＋log2n＝1，那么m＋n的最小值是________． 解析　因为log2m＋log2n＝1，即log2(mn)＝1，所以mn＝2，由基本不等式可得m＋n≥2＝2，当且仅当m＝n时等号成立，故m＋n的最小值是2. 答案　2 7．当3＜x＜12时，函数y＝的最大值为________． 解析　y＝＝＝－＋15≤－2＋15＝3，当且仅当x＝，即x＝6时等号成立，所以ymax＝3. 答案　3 8．已知正实数x，y满足x＋y＝1，则的最小值为________． 解析　由题意可知，＝ ＝＝＋＝(x＋y) ＝4＋5＋＋≥9＋2 ＝9＋4， 当且仅当＝，即x＝5－2，y＝2－4时等号成立，故的最小值为9＋4. 答案　9＋4 B级[能力提升] 9．《几何原本》中的几何代数法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称为无字证明．现有图形如图所示，C为线段AB上的点，且AC＝a，BC＝b，O为AB的中点，以AB为直径作半圆，过点C作AB的垂线交半圆于D，连接OD，AD，BD，过点C作OD的垂线，垂足为E，则该图形可以完成的无字证明为(　　) A．≤(a＞0，b＞0) B．a2＋b2≥2ab(a＞0，b＞0) C．≥(a＞0，b＞0) D．≥(a＞0，b＞0) 解析　根据图形，利用射影定理得CD2＝DE·OD，又OD＝AB＝(a＋b)，CD2＝AC·CB＝ab，所以DE＝＝，由于OD≥CD，所以≥(a＞0，b＞0).由于CD≥DE，所以≥＝(a＞0，b＞0). 答案　C 10．(多选)下列不等式一定成立的有(　　) A．x＋≥2 B．2x(1－x)≤ C．x2＋≥2－1 D．＋≥2 解析　对于A，当x＜0时，x＋＜0，故A错误；对于B，2x(1－x)＝－2x2＋2x＝－2＋≤，故B错误；对于C，x2＋＝x2＋1＋－1≥2－1＝2－1，当且仅当x2＝－1时等号成立，故C正确；对于D，＋≥2＝2，当且仅当x＝1时等号成立，故D正确．故选CD. 答案　CD 11．(多选)若a＞0，b＞0，且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是(　　) A．0＜≤ B．＋≥1 C．log2a＋log2b＜2 D．≤ 解析　因为a＞0，b＞0，所以ab≤≤，当且仅当a＝b＝2时等号成立，则ab≤＝4或≤，当且仅当a＝b＝2时等号成立，则≥，a2＋b2≥8，≤，当且仅当a＝b＝2时等号成立，则log2a＋log2b＝log2(ab)≤log24＝2，当且仅当a＝b＝2时等号成立，故A，C不恒成立，D恒成立；对于B选项，＋＝＝≥4×＝1，当且仅当a＝b＝2时等号成立，故B恒成立． 答案　BD 12．已知不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为________． 解析　已知不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，只要求(x＋y)的最小值大于或等于9，因为1＋a＋＋≥a＋2＋1，当且仅当y＝时等号成立，所以a＋2＋1≥9，所以≥2或≤－4(舍去)，所以a≥4，即正实数a的最小值为4. 答案　4 13．(2023·临汾二模)已知a，b为正实数，且满足a＋b＝1.证明： (1)a2＋b2≥； (2) ≥1＋. 证明　(1)因为a＋b＝1，a＞0，b＞0，所以a2＋b2＝(a2＋b2＋a2＋b2)≥(a2＋b2＋2ab)＝(a＋b)2＝(当且仅当a＝b时等号成立). (2)＋＝(a＋b)＝3＋＋≥3＋2＝3＋2＝(1＋)2，所以≥1＋. C级[拓广探索] 14．(2024·重庆市质量调研)已知a，b为非负实数，且2a＋b＝1，则＋的最小值为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析　＋＝＋b＋＝2(a＋1)－4＋＋b＋＝＋＋2a＋b－2，因为2a＋b＝1，所以＋＝＋－1，2(a＋1)＋b＝3.因为a，b为非负实数，且b≠0，所以a≥0，b＞0，所以＋＝＋－1＝[2(a＋1)＋b]－1＝－1≥－1＝2，当且仅当＝，即a＝0，b＝1时等号成立，所以＋的最小值为2，故选B. 答案　B 15．某地区计划修建一个如图所示的市民公园，其中AB＝3，∠A＝∠B＝90°，AB∥DE，AB与DE之间的距离为3，曲线段CD，EF是半径相等，且圆心角为90°的圆弧．设该市民公园的面积为S，周长为L，则的最大值为________(本题取π＝3进行计算). 解析　设圆弧的半径为x，根据题意可得DE＝3－2x，AF＝BC＝3－x，S＝3(3－x)＋(3－2x)x＋＝9－2x2＋，L＝3＋2(3－ x)＋3－2x＋πx＝12－4x＋πx. ∵π＝3，∴S＝9－，L＝12－x， ∴＝＝. 令t＝24－2x(21＜t＜24)，则x＝， ∴＝＝－＋12. 由基本不等式，得＋≥2＝3，当且仅当＝，即t＝6时等号成立，且6∈(21，24)， ∴当t＝6时，＝12－3. 答案　12－3 学科网（北京）股份有限公司 $$