1.4 基本不等式（Word练习）-【导学教程】2025年数学新编高考大一轮总复习（人教A版）

[对应学生用书P262]

A级[基础过关]

1．已知函数f(x)＝4x＋(x＞0，a＞0)在x＝3时取得最小值，则a＝(　　)

A．24　　　　　　　　 B．28

C．32    D．36

解析　因为x＞0，a＞0，所以f(x)＝4x＋≥2＝4，当且仅当4x＝，即4x2＝a时，f(x)取得最小值．又因为f(x)在x＝3时取得最小值，所以a＝4×32＝36.故选D.

答案　D

2．若正实数a，b满足a＋4b＝ab，则ab的最小值为(　　)

A．16    B．8

C．4    D．2

解析　因为正实数a，b满足a＋4b＝ab，所以ab＝a＋4b≥2＝4，所以ab≥16，当且仅当a＝4b，即a＝8，b＝2时等号成立．

答案　A

3．已知a＞0，b＞0，并且，，成等差数列，则a＋9b的最小值为(　　)

A．16    B．9

C．5    D．4

解析　根据题意，a＞0，b＞0，且，，成等差数列，则＋＝2×＝1，则a＋9b＝(a＋9b)·＝10＋＋≥10＋2＝16，当且仅当＝，即a＝4，b＝时等号成立，∴a＋9b的最小值为16.故选A.

答案　A

4．设实数x满足x＞0，则函数y＝2＋3x＋的最小值为(　　)

A．4－1    B．4＋2

C．4＋1    D．6

解析　因为x＞0，所以x＋1＞0，所以y＝2＋3x＋＝2＋3(x＋1)－3＋＝3(x＋1)

＋－1≥2－1＝4－1，当且仅当3(x＋1)＝，即x＝－1时等号成立，所以函数y＝2＋3x＋的最小值为4－1.故选A.

答案　A

5．(2024·重庆巴蜀中学适应性考试)已知正实数a，b满足＋＝1，则a＋2b的最小值为(　　)

A．6    B．8

C．10    D．12

解析　由题意知a＋2b＋1＝(a＋b＋b＋1)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝，即b＝2，a＝4时等号成立，此时a＋2b取得最小值8.故选B.

答案　B

6．若log2m＋log2n＝1，那么m＋n的最小值是________．

解析　因为log2m＋log2n＝1，即log2(mn)＝1，所以mn＝2，由基本不等式可得m＋n≥2＝2，当且仅当m＝n时等号成立，故m＋n的最小值是2.

答案　2

7．当3＜x＜12时，函数y＝的最大值为________．

解析　y＝＝＝－＋15≤－2＋15＝3，当且仅当x＝，即x＝6时等号成立，所以ymax＝3.

答案　3

8．已知正实数x，y满足x＋y＝1，则的最小值为________．

解析　由题意可知，＝

＝＝＋＝(x＋y)

＝4＋5＋＋≥9＋2

＝9＋4，

当且仅当＝，即x＝5－2，y＝2－4时等号成立，故的最小值为9＋4.

答案　9＋4

B级[能力提升]

9．《几何原本》中的几何代数法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称为无字证明．现有图形如图所示，C为线段AB上的点，且AC＝a，BC＝b，O为AB的中点，以AB为直径作半圆，过点C作AB的垂线交半圆于D，连接OD，AD，BD，过点C作OD的垂线，垂足为E，则该图形可以完成的无字证明为(　　)

A．≤(a＞0，b＞0) B．a2＋b2≥2ab(a＞0，b＞0)

C．≥(a＞0，b＞0) D．≥(a＞0，b＞0)

解析　根据图形，利用射影定理得CD2＝DE·OD，又OD＝AB＝(a＋b)，CD2＝AC·CB＝ab，所以DE＝＝，由于OD≥CD，所以≥(a＞0，b＞0).由于CD≥DE，所以≥＝(a＞0，b＞0).

答案　C

10．(多选)下列不等式一定成立的有(　　)

A．x＋≥2    B．2x(1－x)≤

C．x2＋≥2－1    D．＋≥2