8.7 抛物线（PPT课件）-【导学教程】2025年数学新编高考大一轮总复习（人教A版）

第八章　平面解析几何 8．7　抛物线 栏目导航 第八章　平面解析几何 1 栏目导航 主干知识整合 01 核心考点突破 02 知能达标训练 03 栏目导航 第八章　平面解析几何 1 栏目导航 第八章　平面解析几何 1 01 主干知识整合 栏目导航 栏目导航 第八章　平面解析几何 1 相等 点F 直线l 栏目导航 第八章　平面解析几何 1 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 栏目导航 第八章　平面解析几何 1 x轴 y轴 (0，0) 1 栏目导航 第八章　平面解析几何 1 栏目导航 第八章　平面解析几何 1 栏目导航 第八章　平面解析几何 1 栏目导航 第八章　平面解析几何 1 栏目导航 第八章　平面解析几何 1 栏目导航 第八章　平面解析几何 1 栏目导航 第八章　平面解析几何 1 栏目导航 第八章　平面解析几何 1 栏目导航 第八章　平面解析几何 1 02 核心考点突破 栏目导航 栏目导航 第八章　平面解析几何 1 栏目导航 第八章　平面解析几何 1 栏目导航 第八章　平面解析几何 1 栏目导航 第八章　平面解析几何 1 栏目导航 第八章　平面解析几何 1 栏目导航 第八章　平面解析几何 1 栏目导航 第八章　平面解析几何 1 栏目导航 第八章　平面解析几何 1 栏目导航 第八章　平面解析几何 1 栏目导航 第八章　平面解析几何 1 栏目导航 第八章　平面解析几何 1 栏目导航 第八章　平面解析几何 1 栏目导航 第八章　平面解析几何 1 栏目导航 第八章　平面解析几何 1 栏目导航 第八章　平面解析几何 1 栏目导航 第八章　平面解析几何 1 栏目导航 第八章　平面解析几何 1 栏目导航 第八章　平面解析几何 1 栏目导航 第八章　平面解析几何 1 栏目导航 第八章　平面解析几何 1 栏目导航 第八章　平面解析几何 1 栏目导航 第八章　平面解析几何 1 栏目导航 第八章　平面解析几何 1 栏目导航 第八章　平面解析几何 1 栏目导航 第八章　平面解析几何 1 栏目导航 第八章　平面解析几何 1 栏目导航 第八章　平面解析几何 1 栏目导航 第八章　平面解析几何 1 谢谢观看 栏目导航 第八章　平面解析几何 1 课标要求 考情分析 1．了解抛物线的实际背景，感受抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的应用． 2．了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，以及它的简单几何性质． 3．了解抛物线的简单应用． 考点考法：抛物线的方程及其性质是高考的重点内容，常与其他曲线相结合进行命题，选择、填空或解答题形式均可能出现，试题难度中等． 核心素养：数学运算、直观想象． 1．抛物线的概念 (1)定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离________的点的轨迹． (2)焦点：________叫做抛物线的焦点． (3)准线：__________叫做抛物线的准线． [导学点清]　当定点在定直线上时，轨迹为过定点F与定直线l垂直的一条直线． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2))) 2．抛物线的标准方程和简单几何性质 标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) 图形 范围 ____________ __________ ____________ __________ 焦点 ____________ __________ ____________ __________ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2))) y＝ eq \f(p,2) 准线 方程 ____________ __________ ____________ __________ 对称轴 _______ _______ 顶点 _________ 离心率 e＝_____ x＝－ eq \f(p,2) x＝ eq \f(p,2) y＝－ eq \f(p,2) 1．抛物线C：y2＝2px(p＞0)上一点M(1，y0)到焦点F的距离为3，则p的值为(　　) A．1　　　　　　　　　 B．2 C．3 D．4 解析　由抛物线的定义可知，|MF|＝1＋ eq \f(p,2) ＝3，所以p＝4. 答案　D 2．过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|PQ|等于(　　) A．9 B．8 C．7 D．6 解析　抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，准线方程为x＝－1.根据题意可得，|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8. 答案　B 3．(忽视焦点的位置致误)(多选)顶点在原点，且过点P(－2，3)的抛物线的标准方程是(　　) A．y2＝－ eq \f(9,2) x B．y2＝ eq \f(9,2) x C．x2＝ eq \f(4,3) y D．x2＝－ eq \f(4,3) y 解析　设抛物线的标准方程是y2＝kx或x2＝my，代入点P(－2，3)，解得k＝－ eq \f(9,2) ，m＝ eq \f(4,3) ，所以y2＝－ eq \f(9,2) x或x2＝ eq \f(4,3) y. 答案　AC 4．抛物线y＝ eq \f(1,4) x2的焦点到准线的距离为________． 解析　因为抛物线方程可以化为x2＝4y，所以p＝2，焦点到准线的距离为p＝2. 答案　2 5．(忽视抛物线的开口方向致误)若抛物线y＝ax2的准线方程是y＝2，则a的值是________． 解析　把抛物线方程y＝ax2化为标准形式得x2＝ eq \f(1,a) y， 所以－ eq \f(1,4a) ＝2，解得a＝－ eq \f(1,8) . 答案　－ eq \f(1,8) 1．通径：过焦点且垂直于对称轴的弦长等于2p，通径是过焦点最短的弦． 2．抛物线y2＝2px(p＞0)上一点P(x0，y0)到焦点F eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0)) 的距离|PF|＝x0＋ eq \f(p,2) ，也称为抛物线的焦半径． 已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，点A为抛物线C上一点，若|AF|＝3，则点A的横坐标为________． 解析　设A(m，n)，由抛物线的方程可知p＝2，则由抛物线的定义可得|AF|＝m＋ eq \f(p,2) ＝m＋1＝3，所以m＝2. 答案　2 考点一　抛物线的定义及应用(一题多变　师生共研) 　(1)(2022·全国乙卷)设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在C上，点B(3，0)，若|AF|＝|BF|，则|AB|＝(　　) A．2　　 B．2 eq \r(2) C．3 D．3 eq \r(2) (2)设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F是抛物线y2＝4x的焦点，若B(3，2)，则|PB|＋|PF|的最小值为(　　) A．2 eq \r(2) B．4 C．3 D．5 [解析]　(1)易知抛物线C：y2＝4x的焦点为F(1，0)， 于是有|BF|＝2，故|AF|＝2，注意到抛物线通径2p＝4，通径为抛物线最短的焦点弦，分析知AF必为半焦点弦，于是有AF⊥x轴，分析知|AB|＝ eq \r(22＋22) ＝2 eq \r(2) . (2)如图，过点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1，则|P1Q|＝|P1F|，则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4，即|PB|＋|PF|的最小值为4. [答案]　(1)B　(2)B 1．(变条件)本例(2)中的点B的坐标改为(3，4)，则|PB|＋|PF|的最小值为________． 解析　由题意可知点B(3，4)在抛物线的外部． ∵|PB|＋|PF|的最小值即为B，F两点间的距离，F(1，0)， ∴|PB|＋|PF|≥|BF|＝ eq \r(22＋42) ＝2 eq \r(5) ，即|PB|＋|PF|的最小值为2 eq \r(5) . 答案　2 eq \r(5) 2．(变条件、变结论)在本例(2)中，点P到直线l：x＝－1的距离与点P到直线3x＋4y＋7＝0的距离之和的最小值是________． 解析　易知直线l：x＝－1为抛物线的准线，抛物线y2＝4x与直线3x＋4y＋7＝0相离． 由抛物线的定义可知，点P到准线l的距离等于点P到焦点F的距离，∴点P到直线l的距离与点P到直线3x＋4y＋7＝0的距离之和的最小值为点F(1，0)到直线3x＋4y＋7＝0的距离，即 eq \f(|3＋7|,\r(32＋42)) ＝2. 答案　2 抛物线定义的应用策略 1．动圆与定圆A：(x＋2)2＋y2＝1外切，且和直线x＝1相切，则动圆圆心的轨迹是(　　) A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 解析　设动圆的圆心为点C，半径为r，则点C到定圆A：(x＋2)2＋y2＝1的圆心的距离等于r＋1.又动圆的圆心到直线x＝1的距离等于r，所以动圆的圆心到直线x＝2的距离为r＋1.根据抛物线的定义知，动圆圆心的轨迹为抛物线．故选D. 答案　D 2．已知抛物线y＝mx2(m＞0)上的点(x0，2)到该抛物线焦点F的距离为 eq \f(11,4) ，则m等于(　　) A．4 B．3 C． eq \f(1,4) D． eq \f(1,3) 解析　由题意知，抛物线y＝mx2(m＞0)的准线方程为y＝－ eq \f(1,4m) ，根据抛物线的定义，可得点(x0，2)到焦点F的距离等于到准线y＝－ eq \f(1,4m) 的距离，可得2＋ eq \f(1,4m) ＝ eq \f(11,4) ，解得m＝ eq \f(1,3) . 答案　D 考点二　抛物线的标准方程与几何性质(重难考点　师生共研) 　(1)设O为坐标原点，直线x＝2与抛物线C：y2＝2px(p>0)交于D，E两点．若OD⊥OE，则C的焦点坐标为(　　) A．(1，0) B．(2，0) C． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，0)) D． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0)) (2)若动圆M经过双曲线x2－ eq \f(y2,3) ＝1的左焦点且与直线x＝2相切，则圆心M的坐标满足的方程是____________________． [解析]　(1)将x＝2代入抛物线方程y2＝2px，可得直线x＝2与抛物线C的交点坐标为(2，2 eq \r(p) )，(2，－2 eq \r(p) ).不妨设D(2，2 eq \r(p) )，E(2，－2 eq \r(p) )，则 eq \o(OD,\s\up16(→)) ＝(2，2 eq \r(p) )， eq \o(OE,\s\up16(→)) ＝(2，－2 eq \r(p) ).因为OD⊥OE，所以 eq \o(OD,\s\up16(→)) · eq \o(OE,\s\up16(→)) ＝4－4p＝0，解得p＝1，所以抛物线C的焦点坐标为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0)) ，故选D. (2)双曲线x2－ eq \f(y2,3) ＝1的左焦点为F(－2，0)，动圆M经过F且与直线x＝2相切，则圆心M到点F的距离和到直线x＝2的距离相等，由抛物线的定义知圆心的轨迹是焦点为F，准线为x＝2的抛物线，其方程为y2＝－8x. [答案]　(1)D　(2)y2＝－8x 1．求抛物线标准方程的方法 (1)先定位：根据焦点或准线的位置确定开口方向． (2)再定形：根据已知条件求p. 2．抛物线性质的应用技巧 (1)应用抛物线的性质时，关键是将抛物线方程化成标准方程． (2)要结合图形分析，灵活运用平面图形的性质简化运算． 1．已知动圆M与直线y＝2相切，且与定圆C：x2＋(y＋3)2＝1外切，则动圆圆心M的轨迹方程为(　　) A．x2＝－12y B．x2＝12y C．y2＝12x D．y2＝－12x 解析　设动圆圆心为M(x，y)，半径为r，由题意可得M到C(0，－3)的距离与到直线y＝3的距离相等，由抛物线的定义可知，动圆圆心的轨迹是以C(0，－3)为焦点，以y＝3为准线的一条抛物线，所以 eq \f(p,2) ＝3，2p＝12，其方程为x2＝－12y.故选A. 答案　A 2．已知点F为抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点，点P在抛物线上且横坐标为8，O为坐标原点，若△OFP的面积为2 eq \r(2) ，则该抛物线的标准方程为________． 解析　设P(xP，yP)，把xP＝8代入y2＝2px(p＞0)，解得yP＝±4 eq \r(p) ，又抛物线的焦点为F eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0)) ，所以S△OFP＝ eq \f(1,2) ×|OF|×|yP|＝ eq \f(1,2) × eq \f(p,2) ×4 eq \r(p) ＝p eq \r(p) ＝2 eq \r(2) ，解得p＝2，所以抛物线的标准方程为y2＝4x. 答案　y2＝4x 考点三　直线与抛物线的位置关系(重难考点　师生共研) 　已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为 eq \f(3,2) 的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P. (1)若|AF|＋|BF|＝4，求直线l的方程； (2)若 eq \o(AP,\s\up16(→)) ＝3 eq \o(PB,\s\up16(→)) ，求|AB|. [解析]　设直线l的方程为y＝ eq \f(3,2) x＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2). (1)由题设得F eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，0)) ，故|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋ eq \f(3,2) . 又|AF|＋|BF|＝4，所以x1＋x2＝ eq \f(5,2) . 由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝\f(3,2)x＋t，,y2＝3x，)) 可得9x2＋12(t－1)x＋4t2＝0， 其中Δ＝144(1－2t)＞0， 则x1＋x2＝－ eq \f(12(t－1),9) ， 从而－ eq \f(12(t－1),9) ＝ eq \f(5,2) ，得t＝－ eq \f(7,8) (满足Δ＞0)， 所以l的方程为y＝ eq \f(3,2) x－ eq \f(7,8) . (2)由 eq \o(AP,\s\up16(→)) ＝3 eq \o(PB,\s\up16(→)) ，可得y1＝－3y2. 由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝\f(3,2)x＋t，,y2＝3x，)) 可得y2－2y＋2t＝0，其中Δ＝4－8t＞0， 所以y1＋y2＝2，从而－3y2＋y2＝2，故y2＝－1，y1＝3. 代入C的方程得x1＝3，x2＝ eq \f(1,3) .所以A(3，3)，B eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，－1)) ， 故|AB|＝ eq \f(4\r(13),3) . 解决直线与抛物线位置关系问题的方法 (1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系． (2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝|x1|＋|x2|＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式． (3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法． [注意]　涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解． 1．已知抛物线的方程为y2＝8x，若过点Q(－2，0)的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是(　　) A．[－1，1] B．[－1，0)∪(0，1] C．(－∞，－1]∪[1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 解析　由题意知，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x＋2)，代入抛物线方程，消去y并整理，得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0. 当k＝0时，显然满足题意； 当k≠0时，Δ＝(4k2－8)2－4k2·4k2＝64(1－k2)≥0， 解得－1≤k＜0或0＜k≤1. 综上，－1≤k≤1，故选A. 答案　A 2．直线x－y－2＝0与抛物线y2＝2px(p＞0)交于A，B两点，若线段AB被点M(4，2)平分，则抛物线的准线方程为________． 解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由线段AB被点M(4，2)平分，可知y1＋y2＝4，又y eq \o\al(2,1) ＝2px1，y eq \o\al(2,2) ＝2px2，所以(y1＋y2)(y1－y2)＝2p(x1－x2), 由题意可知，直线AB的斜率为1，所以x1≠x2， 所以4× eq \f(y1－y2,x1－x2) ＝2p，即4×1＝2p， 所以p＝2.故抛物线的准线方程为x＝－1. 答案　x＝－1 $$