教考衔接1 比较大小有方法（PPT课件）-【导学教程】2025年数学新编高考大一轮总复习（人教A版）

教考衔接1　比较大小有方法 教考衔接1　比较大小有方法 1 教考衔接1　比较大小有方法 1 教考衔接1　比较大小有方法 1 教考衔接1　比较大小有方法 1 教考衔接1　比较大小有方法 1 教考衔接1　比较大小有方法 1 教考衔接1　比较大小有方法 1 教考衔接1　比较大小有方法 1 教考衔接1　比较大小有方法 1 教考衔接1　比较大小有方法 1 教考衔接1　比较大小有方法 1 教考衔接1　比较大小有方法 1 教考衔接1　比较大小有方法 1 教考衔接1　比较大小有方法 1 教考衔接1　比较大小有方法 1 教考衔接1　比较大小有方法 1 教考衔接1　比较大小有方法 1 教考衔接1　比较大小有方法 1 教考衔接1　比较大小有方法 1 教考衔接1　比较大小有方法 1 谢谢观看 教考衔接1　比较大小有方法 1 一、真题展示 1．(2023·天津卷)若a＝1.010.5，b＝1.010.6，c＝0.60.5，则a，b，c的大小关系为(　　) A．c>a>b　　　　 B．c>b>a C．a>b>c D．b>a>c 2．(2020·全国卷Ⅲ)已知55＜84，134＜85.设a＝log53，b＝log85，c＝log138，则(　　) A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b 二、真题溯源与解法探究 1．真题溯源 (教科书原题)比较下列三个值的大小：log23，log34，log45. 教科书原题与真题虽然题目不同，但实质均为对数比较大小类问题．该类问题的设置主要考查数学运算，逻辑推理核心素养及必备的理性思维及数学探究能力．求解此类问题的一般思路为：(1)同底但不同真数，可通过构造函数，利用单调性比较；(2)同真数但不同底，可通过作函数图象或换 底公式转化解决；(3)真数不同底数也不同的，可将其转化为(1)(2)两种情况或借助中间量(如“1”“0”等)比较． 此类试题简捷朴实，但蕴含着丰富的数学思想方法，对学生的理性思维素养要求较高，有很高的拓广探究价值． 2．解法探究 法一(比较法) (1)比差法：log23－log34＝ eq \f((ln 3)2－ln 2·ln 4,ln 2·ln 3) ， ∵ln 2·ln 4＜ eq \f((ln 2＋ln 4)2,4) ＝(ln eq \r(8) )2＜(ln 3)2， ∴log23－log34＞0.log34－log45＝ eq \f((ln 4)2－ln 3·ln 5,ln 3·ln 4) ， ∵ln 3·ln 5＜ eq \f((ln 3＋ln 5)2,4) ＝(ln eq \r(15) )2＜(ln 4)2，∴log34－log45＞0. 综上有log23＞log34＞log45. (2)比商法： eq \f(log23,log34) ＝ eq \f(lg 3·lg 3,lg 2·lg 4) ＝ eq \f(6lg 3·lg 3,6lg 2·lg 4) ＝ eq \f(lg 9·lg 27,lg 8·lg 16) ＞1， eq \f(log34,log45) ＝ eq \f(lg 4·lg 4,lg 3·lg 5) ＝ eq \f(20lg 4·lg 4,20lg 3·lg 5) ＝ eq \f(lg 256·lg 1 024,lg 243·lg 625) ＞1， 综上有log23＞log34＞log45. 比较法是我们比较大小最常用的方法，换底通分后可以使用对数的运算法则，其中比差法的难点是利用基本不等式对式子进行放缩重构，从而使两项合为一项，达到比较大小的目的． 法二(综合法)　∵当n＞1时，lg n·lg (n＋2)＜ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg n＋lg (n＋2),2))) eq \s\up20(2) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg (n2＋2n),2))) eq \s\up20(2) ＜ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg (n2＋2n＋1),2))) eq \s\up20(2) ＝lg2(n＋1)，即lg n·lg (n＋2)＜lg2(n＋1)，∴ eq \f(lg (n＋1),lg n) ＞ eq \f(lg (n＋2),lg (n＋1)) ，即logn(n＋1)＞log(n＋1)(n＋2)，∴取n＝2和3可得log23＞log34＞log45. 通过把比较三个对数值的大小上升为比较logn(n＋1)和log(n＋1)(n＋2)的大小，再利用基本不等式和放缩法确定大小关系． 法三(等价转化法)　不妨先证：log23＞log34⇔证log827＞log916，∵log827＞log927＞log916，∴log23＞log34，再证log34＞log45⇔证log2431 024＞log256625，∵log2431 024＞log2561 024＞log256625，∴log34＞log45.综上有log23＞log34＞log45. 通过对数运算性质等价变换提升数据的策略，使两个数据变为接近而又立见分晓的数值，其难度是如何提升数据，即将底数、真数同乘以某个数(扩大相同的倍数)，如log23→log827，log34→log916，这些数据提升的“度”都需要良好的数感、目标意识以及大胆的探索精神． 法四(中间值法)　∵log23＞log22 eq \r(2) ＝ eq \f(3,2) ，log34＜log33 eq \s\up16(\f(3,2)) ⇔42<33， ∴log34＜ eq \f(3,2) ，∵log34＞log33 eq \s\up16(\f(6,5)) ⇔36＜45，∴log34＞ eq \f(6,5) ，∴ eq \f(6,5) ＜log34＜ eq \f(3,2) ， ∵log45＝log2 eq \r(5) ＜log22 eq \s\up16(\f(6,5)) ⇔25 eq \r(5) ＜26，∴log45＜ eq \f(6,5) . 综上有log23＞log34＞log45. 中间值法是我们常见的求解对数大小比较的方法，对于既不同底也不同真数的对数，其中间值的寻找不仅依靠数感、经验、估算以及逻辑推理，还需要不断的尝试，可能比较难以发现． 三、高考还可这样考 1．已知 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3))) eq \s\up20(a) ＝log3a，3b＝log eq \s\do9(\f(1,3)) b， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3))) eq \s\up20(c) ＝log eq \s\do9(\f(1,3)) c，则a，b，c的大小关系是(　　) A．c＜b＜a B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．b＜a＜c 解析　在同一平面直角坐标系内，作出函数y＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3))) eq \s\up20(x) ，y＝log3x，y＝3x，y＝log eq \s\do9(\f(1,3)) x的大致图象，如图所示． 因为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3))) eq \s\up20(a) ＝log3a，3b＝log eq \s\do9(\f(1,3)) b， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3))) eq \s\up20(c) ＝log eq \s\do9(\f(1,3)) c，所以a是y＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3))) eq \s\up20(x) 与y＝log3x图象交点的横坐标；b是y＝3x与y＝log eq \s\do9(\f(1,3)) x图象交点的横坐标；c是y＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3))) eq \s\up20(x) 与y＝log eq \s\do9(\f(1,3)) x图象交点的横坐标．由图象可得b＜c＜a.故选C. 答案　C 2．(多选)已知正数x，y，z满足3x＝4y＝12z，则(　　) A．6z＜3x＜4y B． eq \f(1,x) ＋ eq \f(2,y) ＝ eq \f(1,z) C．x＋y＞4z D．xy＜4z2 解析　由题意，可令3x＝4y＝12z＝m(m＞1)，由指数对数互化得log3m＝x，log4m＝y，log12m＝z，由换底公式得： eq \f(1,x) ＝logm3， eq \f(1,y) ＝logm4， eq \f(1,z) ＝logm12，则有 eq \f(1,x) ＋ eq \f(1,y) ＝ eq \f(1,z) ，故选项B错误；因为 eq \f(1,z) － eq \f(2,x) ＝logm12－logm9＝logm eq \f(4,3) ＞0，所以x＞2z，又 eq \f(4,x) － eq \f(3,y) ＝logm81－logm64＝logm eq \f(81,64) ＞0，所以4y＞3x，所以4y＞3x＞6z，故选项A正确； 因为 eq \f(1,x) ＋ eq \f(1,y) ＝ eq \f(1,z) ，所以z＝ eq \f(xy,x＋y) ，xy＝z(x＋y)，所以4z2－xy＝ eq \f(4x2y2－xy(x＋y)2,(x＋y)2) ＝－ eq \f(xy(x－y)2,(x＋y)2) ＜0，所以xy＞4z2，则z(x＋y)＞4z2，即x＋y＞4z，故选项C正确，选项D错误．故选AC. 答案　AC $$