2.6 指数与指数函数（PPT课件）-【导学教程】2025年数学新编高考大一轮总复习（人教A版）

第二章　函 数 2.6　指数与指数函数 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 主干知识整合 01 核心考点突破 02 知能达标训练 03 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 01 主干知识整合 栏目导航 栏目导航 第二章　函数 1 x 根式 a a a －a 栏目导航 第二章　函数 1 ar＋s ars arbr 栏目导航 第二章　函数 1 ax 栏目导航 第二章　函数 1 R (0，＋∞) (0，1) 增函数 减函数 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 02 核心考点突破 栏目导航 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 谢谢观看 栏目导航 第二章　函数 1 课标要求 考情分析 1．了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质． 2．了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念． 3．会画出具体指数函数的图象，理解指数函数的单调性与特殊点． 考点考法：高考命题以考查指数幂的运算性质、指数函数的单调性与特殊点、指数幂的大小比较为主，常以选择题或填空题的形式出现． 核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学运算． 1．根式与有理数指数幂 (1)根式 ①如果xn＝a，那么______叫做a的n次方根； ②式子 eq \r(n,a) 叫做________，其中n叫做根指数，a叫做被开方数； ③( eq \r(n,a) )n＝______．当n为奇数时， eq \r(n,an) ＝______； 当n为偶数时， eq \r(n,an) ＝|a|＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(______，a≥0，,________，a＜0.)) (2)有理数指数幂 概念 正分数指数幂：a eq \s\up16(\f(m,n)) ＝______ a＞0，m，n∈N*，n＞1 负分数指数幂：a eq \s\up16(－\f(m,n)) ＝ eq \f(1,a\s\up16(\f(m,n))) ＝ 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 运算 性质 aras＝________ a＞0，b＞0， r，s∈Q (ar)s＝________ (ab)r＝________ eq \r(n,am) eq \f(1,\r(n,am)) [导学点清]　指数幂的运算性质中，底数大于0，否则不能用性质进行运算． 2．指数函数 (1)概念：函数y＝______(a＞0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R. (2)图象和性质 底数 a＞1 0＜a＜1 图象 性质 定义域为______，值域为____________ 图象过定点___________ 当x＞0时，恒有y＞1；当x＜0时，恒有0＜y＜1 当x＞0时，恒有0＜y＜1；当x＜0时，恒有y＞1 在定义域R上为__________ 在定义域R上为__________ [导学点清]　指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意应分a＞1与0＜a＜1来研究． 1．已知指数函数y＝f(x)的图象经过点(－1，2)，那么这个函数也必定经过点(　　) A． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(1,4))) 　　　　　　　 B． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2))) C．(1，2) D． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(1,8))) 解析　设f(x)＝ax，则f(－1)＝a－1＝2，故a＝ eq \f(1,2) ，所以f(x)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up20(x) ， 则f(3)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up20(3) ＝ eq \f(1,8) ，故选D. 答案　D 2．函数f(x)＝1－e|x|的图象大致是(　　) 解析　易知f(x)是偶函数，且f(x)＝1－e|x|≤0，故A正确． 答案　A 3．(忽略n的范围致误)计算： eq \r(3,(1＋\r(2))3) ＋ eq \r(4,(1－\r(2))4) ＝________． 解析　 eq \r(3,(1＋\r(2))3) ＋ eq \r(4,(1－\r(2))4) ＝1＋ eq \r(2) ＋|1－ eq \r(2) |＝2 eq \r(2) . 答案　2 eq \r(2) 4．(忽视底数的取值致误)若函数f(x)＝ax在[－1，1]上的最大值为2，则a＝________． 解析　若a＞1，则f(x)max＝f(1)＝a＝2；若0＜a＜1，则f(x)max＝f(－1)＝a－1＝2，得a＝ eq \f(1,2) . 答案　2或 eq \f(1,2) 5．不等式 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up20(x) ＞1的解集为________． 解析　由 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up20(x) ＞1＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up20(0) ，可得x＜0，故解集为(－∞，0). 答案　(－∞，0) 1．画指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,a))) . 2．如图是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c＞d＞1＞a＞b＞0.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象越高，底数越大． 3．指数函数y＝ax与y＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a))) eq \s\up20(x) 的图象关于y轴对称． 1．如图是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图象，则a，b，c，d与0和1的大小关系是(　　) A．0＜a＜b＜1＜c＜d B．0＜b＜a＜1＜d＜c C．1＜a＜b＜c＜d D．0＜a＜b＜1＜d＜c 解析　因为当底数大于1时，指数函数是定义域内的增函数， 当底数大于0小于1时，指数函数是定义域内的减函数， 由图可知c，d大于1，a，b大于0小于1. 又由图可知c1＞d1，即c＞d.b1＜a1，即b＜a. 所以a，b，c，d与0和1的大小关系是0＜b＜a＜1＜d＜c.故选B. 答案　B 2．若a＞0且a≠1，则函数f(x)＝ax－4＋3的图象恒过的定点的坐标为________． 解析　令x－4＝0，得x＝4，所以f(4)＝a0＋3＝4，所以函数f(x)＝ax－4＋3的图象恒过定点(4，4). 答案　(4，4) 考点一　指数幂的运算(基础考点　自练自悟) 1．已知x＜0，y＞0，化简： eq \r(4,9x8y4) ＝(　　) A．－ eq \r(3) x2y　　　　　　　 B． eq \r(3) x2y C．－3x2y D．3x2y 解析　由题意得 eq \r(4,9x8y4) ＝9 eq \s\up16(\f(1,4)) (x8) eq \s\up16(\f(1,4)) (y4) eq \s\up16(\f(1,4)) eq \r(3) x2·|y|＝ eq \r(3) x2y. 答案　B 2．已知3a＋2b＝1，则 eq \f(9a·3b,\r(3a)) ＝________． 答案　 eq \r(3) 3．化简与求值． 指数幂的运算顺序与原则 考点二　指数函数的图象及应用(一题多变　师生共研) 　(1)若函数y＝ax＋b－1(a＞0，且a≠1)的图象经过二、三、四象限，则一定有(　　) A．0＜a＜1且b＜0 B．a＞1且b＞0 C．0＜a＜1且b＞0 D．a＞1且b＜0 (2)若函数y＝|2x－1|的图象与直线y＝b有两个公共点，则实数b的取值范围为________． [解析]　(1)如图所示，从图象上看出其是一个减函数，则0＜a＜1； 图象与y轴的交点在y轴的负半轴上，即a0＋b－1＜0，可得b＜0，所以0＜a＜1且b＜0. (2)作出函数y＝|2x－1|的图象与直线y＝b，如图所示．由图象可得实数b的取值范围是(0，1). [答案]　(1)A　(2)(0，1) 1．(变条件)将本例(2)改为：若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b 没有公共点，则实数b的取值范围是________． 解析　作出曲线|y|＝2x＋1，如图所示，要使该曲线与直线y＝b没有公共点，只需－1≤b≤1. 答案　[－1，1] 2．(变设问)将本例(2)改为：若函数y＝|2x－1|在(－∞，k]上单调递减，则实数k的取值范围为________． 解析　因为函数y＝|2x－1|的单调递减区间为(－∞，0]，所以k≤0，即实数k的取值范围为(－∞，0]. 答案　(－∞，0] 指数函数的图象及其应用要点 (1)已知函数解析式判断其图象时，可通过图象经过的定点和特殊点来进行分析判断． (2)进行图象识别与应用时，可从基本的指数函数图象入手，通过平移、伸缩、对称等变换得到相关函数的图象． (3)根据指数函数图象判断底数的大小问题，可通过直线x＝1与图象的交点进行判断． 考点三　指数函数的性质及应用(多维探究　师生共研) 角度1　比较指数式的大小 　(2023·天津卷)若a＝1.010.5，b＝1.010.6，c＝0.60.5，则a，b，c的大小关系为(　　) A．c>a>b B．c>b>a C．a>b>c D．b>a>c [解析]　由y＝1.01x在R上单调递增，则a＝1.010.5<b＝1.010.6， 由y＝x0.5在[0，＋∞)上单调递增，则a＝1.010.5>c＝0.60.5. 所以b>a>c. 故选D. [答案]　D 比较指数式大小的方法 角度2　解简单的指数方程或不等式 　(1)已知函数f(x)＝ eq \f(1,3x＋1) ＋a为奇函数，则方程f(x)＝ eq \f(1,4) 的解是x＝________． (2)已知函数f(x)＝a＋ eq \f(1,4x＋1) 的图象过点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(3,10))) ，若－ eq \f(1,6) ≤f(x)≤0，则实数x的取值范围是________． [解析]　(1)因为函数f(x)＝ eq \f(1,3x＋1) ＋a为奇函数且定义域为R，故f(0)＝ eq \f(1,30＋1) ＋a＝0，解得a＝－ eq \f(1,2) ，经检验，a＝－ eq \f(1,2) 符合题意，故f(x)＝ eq \f(1,4) ，即 eq \f(1,3x＋1) － eq \f(1,2) ＝ eq \f(1,4) ，解得x＝－1. (2)∵函数f(x)＝a＋ eq \f(1,4x＋1) 的图象过点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(3,10))) ，∴a＋ eq \f(1,5) ＝－ eq \f(3,10) ，即a＝－ eq \f(1,2) .∴f(x)＝－ eq \f(1,2) ＋ eq \f(1,4x＋1) .∵－ eq \f(1,6) ≤f(x)≤0，∴－ eq \f(1,6) ≤ eq \f(1,4x＋1) － eq \f(1,2) ≤0，∴ eq \f(1,3) ≤ eq \f(1,4x＋1) ≤ eq \f(1,2) ，∴2≤4x＋1≤3，即1≤4x≤2，∴0≤x≤ eq \f(1,2) . [答案]　(1)－1　(2) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) 指数方程或不等式的解法 (1)解指数方程或不等式的依据：①af(x)＝ag(x)⇔f(x)＝g(x).②af(x)＞ag(x)，当a＞1时，等价于f(x)＞g(x)；当0＜a＜1时，等价于f(x)＜g(x). (2)解指数方程或不等式的方法：先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用函数单调性转化为一般不等式求解． 角度3　指数型函数性质的综合应用 　已知函数 (a∈R). (1)若a＝－1，求函数f(x)的单调区间； (2)若f(x)有最大值3，求a的值． [解析]　(1)当a＝－1时， 令g(x)＝－x2－4x＋3， 由于g(x)在(－∞，－2]上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3))) eq \s\up20(t) 在R上单调递减，所以f(x)在(－∞，－2]上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f(x)的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2]. (2)令g(x)＝ax2－4x＋3，f(x)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3))) eq \s\up20(g(x)) ，由于f(x)有最大值3，所以g(x)应有最小值－1， 因此必有 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＞0，,\f(3a－4,a)＝－1，)) 解得a＝1，即当f(x)有最大值3时，a的值为1. 指数型函数问题的求解策略 对于指数型函数问题，关键是判断其单调性，对于形如y＝af(x)的函数的单调性，它的单调区间与f(x)的单调区间有关：若a＞1，则函数f(x)的单调增(减)区间即函数y＝af(x)的单调增(减)区间；若0＜a＜1，则函数f(x)的单调增(减)区间即函数y＝af(x)的单调减(增)区间． 1．已知a＝20.2，b＝0.40.2，c＝0.40.6，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞c＞a 解析　y＝0.4x为减函数，∴0.40.6＜0.40.2＜0.40＝1，又20.2＞1， 即a＞b＞c. 答案　A 2．(2023·新课标Ⅰ卷)设函数f(x)＝2x eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－a)) 在区间 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，1)) 单调递减，则a的取值范围是(　　) A． eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－2)) B． eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，0)) C． eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，2)) D． eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，＋∞)) 解析　函数y＝2x在R上单调递增，而函数f(x)＝2x(x-a)在区间 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，1)) 上单调递减，则有函数y＝x(x－a)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(a,2))) eq \s\up20(2) － eq \f(a2,4) 在区间 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，1)) 上单调递减，因此 eq \f(a,2) ≥1，解得a≥2，所以a的取值范围是 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，＋∞)) . 故选D. 答案　D 3．已知y＝4x－3·2x＋3的值域为[1，7]，则x的取值范围是(　　) A．[2，4] B．(－∞，0) C．(0，1)∪[2，4] D．(－∞，0]∪[1，2] 解析　∵y＝4x－3·2x＋3的值域为[1，7]，∴1≤4x－3·2x＋3≤7. ∴－1≤2x≤1或2≤2x≤4.∴x≤0或1≤x≤2. 答案　D $$