2.5 幂函数与二次函数（PPT课件）-【导学教程】2025年数学新编高考大一轮总复习（人教A版）

第二章　函 数 2.5　幂函数与二次函数 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 主干知识整合 01 核心考点突破 02 知能达标训练 03 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 01 主干知识整合 栏目导航 栏目导航 第二章　函数 1 y＝xα 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 (1，1) (0，0) 递增 递减 栏目导航 第二章　函数 1 ax2＋bx＋c(a≠0) (h，k) 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 02 核心考点突破 栏目导航 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 谢谢观看 栏目导航 第二章　函数 1 课标要求 考情分析 1．通过具体实例，结合y＝x，y＝ eq \f(1,x) ，y＝x2，y＝ eq \r(x) ，y＝x3的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数． 2．理解并掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、最值、顶点等). 考点考法：主要考查幂函数与二次函数的图象和性质，常与指数函数、对数函数、导数等知识交汇命题． 核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象． 1．幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，形如__________的函数叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． (2)常见的5种幂函数的图象 (3)幂函数的性质 ①幂函数在(0，＋∞)上都有定义； ②当α＞0时，幂函数的图象都过点__________和__________，且在(0，＋∞)上单调________； ③当α＜0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调________． [导学点清]　幂函数的图象一定会出现在第一象限，一定不会出现在第四象限，图象若与坐标轴有交点，则一定交于坐标原点． 2．二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 一般式：f(x)＝_____________________． 顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)，顶点坐标为__________． 零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点． (2)二次函数的图象和性质 解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0) 图象 定义域 R R 值域 ______________________ ______________________ 单调性 在 eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a))) 上单调递减； 在 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞)) 上单调递增 在 eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a))) 上单调递增； 在 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞)) 上单调递减 对称性 函数的图象关于直线____________对称 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4ac－b2,4a)，＋∞)) eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(4ac－b2,4a))) x＝－ eq \f(b,2a) [导学点清]　对于函数y＝ax2＋bx＋c，要认为它是二次函数，就必须满足a≠0，当题目的条件中未说明a≠0时，就要讨论a＝0或a≠0两种情况． 1．(幂函数的定义不明致误)已知幂函数f(x)的图象过点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(1,2))) ，则f(4)的值是(　　) A．64　　　　　　　 B．4 eq \r(2) C． eq \f(\r(2),4) D． eq \f(1,4) 解析　设f(x)＝xα，由f(2)＝2α＝ eq \f(1,2) ，得α＝－1，则f(x)＝x－1，故f(4)＝4－1＝ eq \f(1,4) . 答案　D 2．函数f(x)＝－2x2＋4x，x∈[－1，2]的值域为(　　) A．[－6，2] B．[－6，1] C．[0，2] D．[0，1] 解析　函数f(x)＝－2x2＋4x的对称轴为x＝1，则f(x)在[－1，1]上单调递增，在[1，2]上单调递减，∴f(x)max＝f(1)＝2，f(x)min＝f(－1)＝－2－4＝－6，即f(x)的值域为[－6，2]. 答案　A 3．(忽视对二次项系数的讨论致误)已知函数f(x)＝ax2＋ax＋5的图象在x轴上方，则a的取值范围是(　　) A．(0，20) B．[0，20) C．[0，20] D．[20，＋∞) 解析　当a＝0时，f(x)＝5＞0成立；当a≠0时，则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＞0，,Δ＝a2－20a＜0，)) 解得0＜a＜20.综上，0≤a＜20.故选B. 答案　B 4．若函数y＝x2－2tx＋3在[1，＋∞)上为增函数，则t的取值范围是________． 解析　函数y＝x2－2tx＋3的图象开口向上，以直线x＝t为对称轴，又函数y＝x2－2tx＋3在[1，＋∞)上为增函数，则t≤1. 答案　(－∞，1] 5．若(a＋1) eq \s\up16(\f(1,2)) ＜(3－2a) eq \s\up16(\f(1,2)) ，则实数a的取值范围是________． 解析　由0≤a＋1＜3－2a，得－1≤a＜ eq \f(2,3) . 答案　 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(2,3))) 1．巧识幂函数的图象和性质 2．二次函数在闭区间上的最值 设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)，闭区间为[m，n]. (1)当－ eq \f(b,2a) ≤m时，最小值为f(m)，最大值为f(n)； (2)当m＜－ eq \f(b,2a) ≤ eq \f(m＋n,2) 时，最小值为f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a))) ，最大值为f(n)； (3)当 eq \f(m＋n,2) ＜－ eq \f(b,2a) ≤n时，最小值为f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a))) ，最大值为f(m)； (4)当－ eq \f(b,2a) ＞n时，最小值为f(n)，最大值为f(m). 1．若幂函数y＝x－1，y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则m与n的取值情况为(　　) A．－1＜m＜0＜n＜1 B．－1＜n＜0＜m C．－1＜m＜0＜n D．－1＜n＜0＜m＜1 解析　幂函数y＝xα，当α＞0时，y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，且0＜α＜1时，图象上凸，所以0＜m＜1.当α＜0时，y＝xα在(0，＋∞)上单调递减．不妨令x＝2，由图象得2－1＜2n，则－1＜n＜0.综上可知，－1＜n＜0＜m＜1. 答案　D 2．已知函数f(x)＝x2－2ax＋5(a＞1)，若函数f(x)的定义域和值域均为[1，a]，则实数a的值为________． 解析　因为f(x)在(－∞，a]上单调递减，所以f(x)在[1，a]上单调递减，所以f(x)max＝f(1)＝6－2a＝a，f(x)min＝f(a)＝－a2＋5＝1，解得a＝2. 答案　2 考点一　幂函数的图象与性质(基础考点　自练自悟) 1.已知幂函数y＝x eq \s\up16(\f(p,q)) (p，q∈N*，q＞1且p，q互质)的图象如图所示，则(　　) A．p，q均为奇数，且 eq \f(p,q) ＞1 B．q为偶数，p为奇数，且 eq \f(p,q) ＞1 C．q为奇数，p为偶数，且 eq \f(p,q) ＞1 D．q为奇数，p为偶数，且0＜ eq \f(p,q) ＜1 解析　由幂函数的图象关于y轴对称，可知该函数为偶函数，所以p为偶数，则q为奇数． 因为幂函数y＝x eq \s\up16(\f(p,q)) 的图象在第一象限内向上凸起，且在(0，＋∞)上单调递增，所以0＜ eq \f(p,q) ＜1. 答案　D 2．若a＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up16(\f(2,3)) ，b＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5))) eq \s\up16(\f(2,3)) ，c＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up16(\f(1,3)) ，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a＜b＜c　　　　　 B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．b＜a＜c 解析　因为y＝x eq \s\up16(\f(2,3)) 在第一象限内是增函数，所以a＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up16(\f(2,3)) ＞b＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5))) eq \s\up16(\f(2,3)) ，因为y＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up20(x) 是减函数，所以a＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up16(\f(2,3)) ＜c＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up16(\f(1,3)) ，所以b＜a＜c. 答案　D 3．幂函数f(x)＝(m2－3m＋3)xm的图象关于y轴对称，则实数m＝________． 解析　由幂函数定义，知m2－3m＋3＝1，解得m＝1或m＝2.当m＝1时，f(x)＝x的图象不关于y轴对称，舍去；当m＝2时，f(x)＝x2的图象关于y轴对称，因此m＝2. 答案　2 幂函数的性质与图象特征的关系 (1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式． (2)判断幂函数y＝xα(α∈R)的奇偶性时，当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断． 考点二　二次函数的解析式(一题多变　师生共研) 　已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，求二次函数f(x)的解析式． [解析]　法一(利用一般式) 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0). 由题意得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4a＋2b＋c＝－1，,a－b＋c＝－1，,\f(4ac－b2,4a)＝8，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－4，,b＝4，,c＝7.)) 故f(x)＝－4x2＋4x＋7. 法二(利用顶点式) 设f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0). 因为f(2)＝f(－1)， 所以二次函数f(x)图象的对称轴为直线x＝ eq \f(2＋(－1),2) ＝ eq \f(1,2) ，所以h＝ eq \f(1,2) . 又根据题意函数有最大值8，所以k＝8，所以f(x)＝a eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2))) eq \s\up20(2) ＋8. 又f(2)＝－1，所以a eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(1,2))) eq \s\up20(2) ＋8＝－1，解得a＝－4， 所以f(x)＝－4 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2))) eq \s\up20(2) ＋8＝－4x2＋4x＋7. 法三(利用零点式) 由已知得f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)， 即f(x)＝ax2－ax－2a－1. 又函数f(x)的最大值为8，所以a＜0，且 eq \f(4a(－2a－1)－a2,4a) ＝8，解得a＝－4.故f(x)＝－4x2＋4x＋7. 1．(变条件)将本例中的“f(2)＝－1，f(－1)＝－1”改为“与x轴的两个交点坐标为(0，0)和(－2，0)”，其他条件不变，试确定f(x)的解析式． 解析　设f(x)＝ax(x＋2)(a≠0).因为函数f(x)的最大值为8， 所以a＜0，且f(x)max＝f(－1)＝－a＝8，所以a＝－8， 所以f(x)＝－8x(x＋2)＝－8x2－16x. 2．(变条件)将本例中条件变为二次函数f(x)的图象经过点(4，3)，在x轴上截得的线段长为2，且∀x∈R，都有f(2＋x)＝f(2－x)，试确定f(x)的解析式． 解析　因为f(2＋x)＝f(2－x)对任意的x∈R恒成立，所以f(x)的对称轴为直线x＝2. 又f(x)的图象在x轴上截得的线段长为2，所以f(x)＝0的两根为x1＝1和x2＝3. 设f(x)的解析式为f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0). 又f(x)的图象过点(4，3)，所以3a＝3，所以a＝1. 所以f(x)＝(x－1)(x－3)，即f(x)＝x2－4x＋3. 确定二次函数解析式的方法 根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，选择规律如下： 考点三　二次函数的图象与性质(多维探究　师生共研) 角度1　二次函数的图象 　(多选)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分图象如图所示，图象过点A(－3，0)，对称轴为x＝－1，则(　　) A．b2＞4ac B．2a－b＝1 C．a－b＋c＝0 D．5a＜b [解析]　因为题图与x轴交于两点，所以b2－4ac＞0，即b2＞4ac，A正确；对称轴为直线x＝－1，即－ eq \f(b,2a) ＝－1，2a－b＝0，B错误；结合题图，当x＝－1时，y＞0，即a－b＋c＞0，C错误；由对称轴为x＝－1知，b＝2a.根据抛物线开口向下，知a＜0，所以5a＜2a，即5a＜b，D正确． [答案]　AD 研究二次函数图象应从“三点一线一开口”进行分析，“三点”中有一个点是顶点，另两个点是图象上关于对称轴对称的两个点，常取与x轴的交点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向． 角度2　二次函数的单调性与最值 　已知f(x)＝ax2－2x＋1. (1)若f(x)在[0，1]上单调，求实数a的取值范围； (2)若x∈[0，1]，求f(x)的最小值g(a). [解析]　(1)当a＝0时，f(x)＝－2x＋1单调递减； 当a＞0时，f(x)的对称轴为x＝ eq \f(1,a) ，且 eq \f(1,a) ＞0， 所以 eq \f(1,a) ≥1，即0＜a≤1； 当a＜0时，f(x)的对称轴为x＝ eq \f(1,a) ，且 eq \f(1,a) ＜0， 所以a＜0符合题意． 综上可知，实数a的取值范围是(－∞，1]. (2)①当a＝0时，f(x)＝－2x＋1在[0，1]上单调递减， 所以f(x)min＝f(1)＝－1. ②当a＞0时，f(x)＝ax2－2x＋1的图象开口方向向上， 且对称轴为x＝ eq \f(1,a) . a．当 eq \f(1,a) ＜1，即a＞1时，f(x)＝ax2－2x＋1的图象的对称轴在[0，1]内， 所以f(x)在 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,a))) 上单调递减，在 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，1)) 上单调递增， 所以f(x)min＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a))) ＝ eq \f(1,a) － eq \f(2,a) ＋1＝－ eq \f(1,a) ＋1. b．当 eq \f(1,a) ≥1，即0＜a≤1时，f(x)在[0，1]上单调递减， 所以f(x)min＝f(1)＝a－1. ③当a＜0时，f(x)＝ax2－2x＋1的图象的开口方向向下，且对称轴x＝ eq \f(1,a) ＜0，在y轴的左侧， 所以f(x)＝ax2－2x＋1在[0，1]上单调递减， 所以f(x)min＝f(1)＝a－1. 综上所述，g(a)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－1，a≤1，,－\f(1,a)＋1，a＞1.)) 二次函数最值问题的类型及求解策略 (1)类型：①对称轴、区间都是固定的；②对称轴动、区间固定；③对称轴定、区间动． (2)求解策略：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成． 1．(2024·厦门模拟)函数y＝ax＋b和y＝ax2＋bx＋c在同一平面直角坐标系内的图象可以是(　　) 解析　若a＞0，则一次函数y＝ax＋b为增函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，故可排除A、D；对于选项B，由直线可知a＞0，b＞0，从而－ eq \f(b,2a) ＜0，而二次函数的对称轴在y轴的右侧，故应排除B. 答案　C 2．函数f(x)＝－3x2＋6x在区间[a，b]上的值域是[－9，3]，则b－a的取值范围是________． 解析　f(x)＝－3x2＋6x＝－3(x－1)2＋3，顶点坐标为(1，3)，因为函数的值域是[－9，3]，令－3x2＋6x＝－9，可得x＝－1或x＝3.又因为函数f(x)＝－3x2＋6x图象的对称轴为x＝1，且f(1)＝3，所以b－a的取值范围为[2，4]. 答案　[2，4] 3．已知函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在区间[－1，2]上有最大值4，求实数a的值． 解析　f(x)＝a(x＋1)2＋1－a.①当a＝0时，函数f(x)在区间[－1，2]上的值恒为常数1，不符合题意，舍去；②当a＞0时，因为函数图象的对称轴为直线x＝－1，所以函数f(x)在区间[－1，2]上单调递增，最大值为f(2)＝8a＋1＝4，解得a＝ eq \f(3,8) ；③当a＜0时，因为函数图象的对称轴为直线x＝－1，所以函数f(x)在区间[－1，2]上单调递减，最大值为f(－1)＝1－a＝4，解得a＝－3.综上可知，a的值为 eq \f(3,8) 或－3. $$