2.1 函数的概念及其表示（PPT课件）-【导学教程】2025年数学新编高考大一轮总复习（人教A版）

第二章　函 数 2.1　函数的概念及其表示 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 主干知识整合 01 核心考点突破 02 知能达标训练 03 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 01 主干知识整合 栏目导航 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 解析法 图象法 列表法 栏目导航 第二章　函数 1 不同 不同的式子 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 02 核心考点突破 栏目导航 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 谢谢观看 栏目导航 第二章　函数 1 课标要求 考情分析 1．了解构成函数的要素，会求简单函数的定义域． 2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数，理解函数图象的作用． 3．了解简单的分段函数，并能简单应用． 考点考法：高考命题常以基本初等函数为载体，考查函数的表示法、定义域、值域．分段函数是高考热点，常以选择题或填空题的形式出现． 核心素养：数学抽象、数学运算、逻辑推理． 1．函数的有关概念 (1)函数的概念 (2)函数的表示法 表示函数的常用方法：__________、__________、__________． [导学点清]　(1)集合A，B及其对应关系f：A→B构成的函数中，函数的值域C不是集合B，而是C⊆B. (2)两个函数的定义域和对应关系相同，表示同一个函数，但是两个函数的值域和对应关系相同，两个函数不一定相同，例如，函数f(x)＝2x2，x∈[0，2]与函数f(x)＝2x2，x∈[－2，0]. 2．分段函数 若函数在其定义域的________子集上，因对应关系不同而分别用几个______________来表示，这种函数称为分段函数． [导学点清]　分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集． 1．下列函数中，与函数y＝x＋1是同一个函数的是(　　) A．y＝( eq \r(x＋1) )2　　　 B．y＝ eq \r(3,x3) ＋1 C．y＝ eq \f(x2,x) ＋1 D．y＝ eq \r(x2) ＋1 答案　B 2．已知函数f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－x，x≤1，,\f(1,1－x)，x＞1，)) 则f(f(－1))＝(　　) A．－1 B． eq \f(1,5) C．－ eq \f(1,5) D．1 解析　因为－1≤1，所以f(－1)＝(－1)2－(－1)＝2，因为f(－1)＝2＞1，所以f(f(－1))＝f(2)＝ eq \f(1,1－2) ＝－1. 答案　A 3．函数f(x)＝ eq \f(1,x) ＋ eq \r(1－x) 的定义域是________． 解析　由题意得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≠0，,1－x≥0，)) 解得x∈(－∞，0)∪(0，1]. 答案　(－∞，0)∪(0，1] 4．(注意换元法等价)函数f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x))) ＝ eq \f(1,1＋x) ，则函数f(x)的解析式为____________________． 解析　令t＝ eq \f(1,x) ，t≠0，－1.则有x＝ eq \f(1,t) ，所以f(t)＝ eq \f(1,1＋\f(1,t)) ＝ eq \f(t,t＋1) ，t≠0，－1，所以f(x)＝ eq \f(x,x＋1) ，x≠0，－1. 答案　f(x)＝ eq \f(x,x＋1) (x≠0，－1) 5．(忽视定义域致误)已知函数f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋2，x≤1，,\f(1,x)，x＞1，)) 则f(x)的值域为________． 解析　当x≤1时，f(x)＝x2＋2，所以f(x)∈[2，＋∞)；当x＞1时，f(x)＝ eq \f(1,x) ，所以f(x)∈(0，1).综上，f(x)的值域为(0，1)∪[2，＋∞). 答案　(0，1)∪[2，＋∞) 1．直线x＝a与函数y＝f(x)的图象至多有1个交点． 2．在函数的定义中，非空数集A，B，A即为函数的定义域，而函数的值域为B的子集． 3．判断两个函数相等的依据是两个函数的定义域和对应关系完全一致． 1．下列所给图象是函数图象的个数为(　　) A.1 B．2 C．3 D．4 解析　①中，当x＞0时，每一个x的值对应两个不同的y值，不是函数图象；②中，当x＝x0时，y的值有两个，不是函数图象；③④中，每一个x的值对应唯一的y值，是函数图象．故选B. 答案　B 2．(多选)下列判断正确的有(　　) A．f(x)＝ eq \f(|x|,x) 与g(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1，x≥0，,－1，x＜0)) 表示同一函数 B．函数y＝f(x)的图象与直线x＝1的交点最多有1个 C．f(x)＝3x2－2x＋1与g(t)＝3t2－2t＋1是同一函数 D．若f(x)＝|x－1|－x，则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))))) ＝0 解析　对于A，函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，函数g(x)的定义域为R，两函数的定义域不同，所以不是同一函数，故A错误； 对于B，若函数y＝f(x)在x＝1处有定义，则f(x)的图象与直线x＝1的交点有1个；若函数y＝f(x)在x＝1处没有定义，则f(x)的图象与直线x＝1没有交点，故B正确；对于C，函数f(x)与g(t)的定义域与对应关系都相同，所以两函数是同一函数，故C正确；对于D，由题意可得f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) ＝0，所以f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))))) ＝f(0)＝1，故D错误．故选BC. 答案　BC 考点一　函数的定义域(重难考点　师生共研) 　(1)函数y＝ eq \f(ln (x＋1),\r(－x2－3x＋4)) 的定义域为(　　) A．(－4，－1)　　　　　　　 B．(－4，1) C．(－1，1) D．(－1，1] (2)已知函数y＝f(x)的定义域为[－8，1]，则函数g(x)＝ eq \f(f(2x＋1),x＋2) 的定义域是(　　) A．(－∞，－2)∪(－2，3] B．(－8，－2)∪(－2，1] C. eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(9,2)，－2)) ∪(－2，0] D． eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(9,2)，－2)) [解析]　(1)由题意得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋1＞0，,－x2－3x＋4＞0，)) 解得－1＜x＜1， 故定义域为(－1，1). (2)∵f(x)的定义域为[－8，1]， ∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－8≤2x＋1≤1，,x＋2≠0，)) 解得－ eq \f(9,2) ≤x≤0，且x≠－2. ∴g(x)的定义域为 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(9,2)，－2)) ∪(－2，0]. [答案]　(1)C　(2)C 1．求给定解析式的函数定义域的方法 求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则，列出不等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义． 2．求抽象函数定义域的方法 1．函数f(x)＝ eq \f(1,ln (x－1)) ＋ eq \r(3－x) 的定义域为(　　) A．(1，3] B．(1，2)∪(2，3] C．(1，3)∪(3，＋∞) D．(－∞，3) 解析　由题意知 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－1＞0，,x－1≠1，,3－x≥0，)) 所以1＜x＜2或2＜x≤3，所以函数的定义域为(1，2)∪(2，3]. 答案　B 2．如果函数f(x)＝ln (－2x＋a)的定义域为(－∞，1)，那么实数a的值为(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 解析　因为－2x＋a＞0，所以x＜ eq \f(a,2) ，所以 eq \f(a,2) ＝1，所以a＝2. 答案　D 考点二　函数的解析式(重难考点　师生共研) 　求下列函数的解析式． (1)已知f(1－sin x)＝cos2x，求f(x)的解析式； (2)已知f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x))) ＝x2＋ eq \f(1,x2) ，求f(x)的解析式； (3)已知f(x)是一次函数且3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)的解析式； (4)已知f(x)满足2f(x)＋f(－x)＝3x，求f(x)的解析式． [解析]　(1)(换元法)设1－sinx＝t，t∈[0，2]， 则sin x＝1－t， ∵f(1－sin x)＝cos2x＝1－sin2x， ∴f(t)＝1－(1－t)2＝2t－t2，t∈[0，2]. 即f(x)＝2x－x2，x∈[0，2]. (2)(配凑法)∵f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x))) ＝x2＋ eq \f(1,x2) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x))) eq \s\up20(2) －2， ∴f(x)＝x2－2，x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞). (3)(待定系数法) ∵f(x)是一次函数， 可设f(x)＝ax＋b(a≠0)， ∴3[a(x＋1)＋b]－2[a(x－1)＋b]＝2x＋17， 即ax＋(5a＋b)＝2x＋17， ∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2，,5a＋b＝17，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝7.)) ∴f(x)＝2x＋7. (4)(方程组法)∵2f(x)＋f(－x)＝3x，① ∴将x用－x替换，得2f(－x)＋f(x)＝－3x，② 由①②解得f(x)＝3x. 求函数解析式的四种方法 (1)待定系数法：适用于已知函数的类型，先设出解析式，再利用恒等式等号两边的系数相等求解． (2)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，要注意新元的取值范围． (3)配凑法：由已知条件f(g(x))＝f(x)，可将f(x)改写成关于g(x)的解析式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式． (4)消去法：已知关于f(x)与f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x))) (或f(－x))的关系式，根据已知条件再构造出另外一个等式，两等式组成方程组，消去f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x))) (或f(－x))求出f(x). 1．已知一次函数f(x)满足f(f(x))＝x＋2，则f(x)＝________． 解析　设f(x)＝kx＋b(k≠0)， 则f(f(x))＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋(k＋1)b＝x＋2， 故 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k2＝1，,(k＋1)b＝2，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝1，,b＝1，)) 故f(x)＝x＋1. 答案　x＋1 2．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝2f(x)，若当0≤x≤1时，f(x)＝x(1－x)，则当－1≤x≤0时，f(x)＝________． 解析　因为－1≤x≤0，所以0≤x＋1≤1，所以f(x)＝ eq \f(1,2) f(x＋1)＝ eq \f(1,2) (x＋1)[1－(x＋1)]＝－ eq \f(1,2) x2－ eq \f(1,2) x. 答案　－ eq \f(1,2) x2－ eq \f(1,2) x 考点三　分段函数(多维探究　师生共研) 角度1　分段函数求值 　(1)已知函数f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x＋1，x＜2，,x2＋ax，x≥2，)) 若f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3))))) ＝－6，则实数a＝______________，f(2)＝________． (2)已知函数f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－2x，x≤0，,f(x－3)，x＞0，)) 则f(5)＝________． [解析]　(1)由题意得，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3))) ＝3× eq \f(2,3) ＋1＝3， 所以f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3))))) ＝f(3)＝9＋3a＝－6， 所以a＝－5，f(2)＝4－5×2＝－6. (2)由题意得f(5)＝f(5－3)＝f(2)＝f(2－3)＝f(－1)＝(－1)2－2－1＝ eq \f(1,2) . [答案]　(1)－5　－6　(2) eq \f(1,2) 求分段函数函数值的方法 先确定要求值的自变量的取值属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值．当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值． 角度2　分段函数与方程、不等式问题 　已知函数f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x2－3x＋2，x＜－1，,2x－3，x≥－1，)) 若f(a)＝4，则实数a的取值是________；若f(a)≥2，则实数a的取值范围是________． [解析]　若f(a)＝4， 则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＜－1，,－a2－3a＋2＝4)) 或 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a≥－1，,2a－3＝4，)) 解得a＝－2或a＝5. 若f(a)≥2，则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＜－1，,－a2－3a＋2≥2)) 或 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a≥－1，,2a－3≥2，)) 解得－3≤a＜－1或a≥4， ∴a的取值范围是[－3，－1)∪[4，＋∞). [答案]　－2或5　[－3，－1)∪[4，＋∞) 分段函数与方程、不等式问题的求解思路 解分段函数的方程、不等式，当自变量取值不确定时，往往要分类讨论求解；当自变量取值确定，但分段函数中含有参数时，只需依据自变量的情况，直接代入相应解析式求解． 1．已知f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(cos πx，x≤1，,f(x－1)＋1，x＞1，)) 则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3))) ＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3))) 的值为(　　) A． eq \f(1,2) B．－ eq \f(1,2) C．－1 D．1 解析　f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3))) ＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)－1)) ＋1＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3))) ＋1＝cos eq \f(π,3) ＋1＝ eq \f(3,2) ， f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3))) ＝cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4π,3))) ＝cos eq \f(2π,3) ＝－ eq \f(1,2) ， ∴f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3))) ＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3))) ＝ eq \f(3,2) － eq \f(1,2) ＝1. 答案　D 2．设函数f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋2x，x≤0，,lg (x2＋1)，x＞0.)) 若f(a)≥0，则实数a的取值范围是________． 解析　当a≤0时，f(a)＝a2＋2a≥0，解得a≤－2或a≥0，所以此时有a≤－2或a＝0；当a＞0时，f(a)＝lg (a2＋1)≥0，解得a∈R，所以此时有a＞0.综上可知，a≤－2或a≥0. 答案　(－∞，－2]∪[0，＋∞) $$