1.4 基本不等式（PPT课件）-【导学教程】2025年数学新编高考大一轮总复习（人教A版）

第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 1.4　基本不等式 栏目导航 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 1 栏目导航 主干知识整合 01 核心考点突破 02 知能达标训练 03 栏目导航 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 1 栏目导航 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 1 01 主干知识整合 栏目导航 栏目导航 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 1 a＞0，b＞0 a＝b 算术平均数 几何平均数 栏目导航 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 1 栏目导航 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 1 x＝y x＝y 栏目导航 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 1 栏目导航 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 1 栏目导航 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 1 栏目导航 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 1 栏目导航 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 1 栏目导航 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 1 栏目导航 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 1 栏目导航 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 1 栏目导航 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 1 栏目导航 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 1 栏目导航 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 1 02 核心考点突破 栏目导航 栏目导航 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 1 栏目导航 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 1 栏目导航 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 1 栏目导航 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 1 栏目导航 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 1 栏目导航 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 1 栏目导航 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 1 栏目导航 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 1 栏目导航 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 1 栏目导航 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 1 栏目导航 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 1 栏目导航 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 1 栏目导航 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 1 栏目导航 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 1 栏目导航 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 1 栏目导航 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 1 栏目导航 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 1 栏目导航 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 1 栏目导航 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 1 栏目导航 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 1 栏目导航 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 1 栏目导航 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 1 栏目导航 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 1 栏目导航 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 1 栏目导航 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 1 栏目导航 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 1 栏目导航 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 1 栏目导航 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 1 栏目导航 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 1 栏目导航 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 1 栏目导航 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 1 栏目导航 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 1 栏目导航 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 1 谢谢观看 栏目导航 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 1 课标要求 考情分析 1．探索并了解基本不等式的证明过程． 2．掌握基本不等式，并能用基本不等式解决简单的最值问题． 考点考法：本讲是高考的热点，主要考查利用基本不等式求最值、求参数的取值范围等，常与函数结合命题，题型以选择题、填空题为主，也可作为工具出现在解答题中，中高档难度． 核心素养：数学运算、逻辑推理、数学建模． 1．基本不等式： eq \r(ab) ≤ eq \f(a＋b,2) (1)基本不等式成立的条件是______________． (2)等号成立的条件是：当且仅当__________时等号成立． (3)其中 eq \f(a＋b,2) 称为正数a，b的______________， eq \r(ab) 称为正数a，b的______________． [导学点清]　应用基本不等式求最值要注意：“一正，二定，三相等”，忽略某个条件，就会出错． 2．基本不等式与最值 已知x＞0，y＞0，则 (1)若x＋y＝S(和为定值)，则当__________时，积xy取得最大值______． (2)若xy＝P(积为定值)，则当__________时，和x＋y取得最小值________． 记忆口诀：两正数的和定积最大，两正数的积定和最小． [导学点清]　应用基本不等式求最值时应尽量避免多次运用基本不等式，若必须多次使用，一定要保证它们的等号成立的条件一致． eq \f(S2,4) 2 eq \r(P) 1．(忽视应用条件致误)当x＜0时，函数y＝x＋ eq \f(4,x) (　　) A．有最大值－4　　　　 B．有最小值－4 C．有最大值4 D．有最小值4 解析　y＝x＋ eq \f(4,x) ＝－ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1((－x)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,x))))) ≤－2 eq \r((－x)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,x)))) ＝－4，当且仅当x＝－2时，等号成立． 答案　A 2．函数y＝x(3－x)的最大值为(　　) A．3 B． eq \f(9,4) C． eq \f(9,2) D． eq \f(9,8) 解析　y＝x(3－x)≤ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋3－x,2))) eq \s\up20(2) ＝ eq \f(9,4) ，当且仅当x＝3－x，即x＝ eq \f(3,2) 时等号成立． 答案　B 3．下列函数中，最小值为4的是(　　) A．y＝x＋ eq \f(4,x) B．y＝sin x＋ eq \f(4,sin x) (0＜x＜π) C．y＝4ex＋e－x D．y＝log3x＋logx3(0＜x＜1) 解析　A中x的范围为{x|x∈R，且x≠0}，函数没有最小值；B中若y＝sin x＋ eq \f(4,sin x) (0＜x＜π)取得最小值4，则sin2x＝4，显然不成立；D中由于0＜x＜1，则log3x∈(－∞，0)，y＝log3x＋logx3＝log3x＋ eq \f(1,log3x) 没有最小值；C中y＝4ex＋e－x＝4ex＋ eq \f(1,ex) ≥4，当且仅当4ex＝e－x，即x＝－ln 2时，函数的最小值为4.故选C. 答案　C 4．函数y＝x＋ eq \f(1,x＋1) (x≥0)的最小值为________． 解析　因为x≥0，所以x＋1＞0， eq \f(1,x＋1) ＞0，利用基本不等式得y＝x＋ eq \f(1,x＋1) ＝x＋1＋ eq \f(1,x＋1) －1≥2 eq \r((x＋1)·\f(1,x＋1)) －1＝1，当且仅当x＋1＝ eq \f(1,x＋1) ，即x＝0时，等号成立．所以函数y＝x＋ eq \f(1,x＋1) (x≥0)的最小值为1. 答案　1 5．若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________． 解析　设矩形场地的长为x m，宽为y m，则x＋y＝10，所以矩形场地的面积S＝xy≤ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋y,2))) eq \s\up20(2) ＝25，当且仅当x＝y＝5时等号成立． 答案　25 m2 1. eq \f(b,a) ＋ eq \f(a,b) ≥2(a，b同号). 2.ab≤ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2))) eq \s\up20(2) (a，b∈R). 3. eq \f(a2＋b2,2) ≥ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2))) eq \s\up20(2) (a，b∈R). 4. eq \r(\f(a2＋b2,2)) ≥ eq \f(a＋b,2) ≥ eq \r(ab) ≥ eq \f(2,\f(1,a)＋\f(1,b)) (a＞0，b＞0). 1．已知t＞0，则函数y＝ eq \f(t2－4t＋1,t) 的最小值为(　　) A．－2 B． eq \f(1,2) C．1 D．2 解析　y＝ eq \f(t2－4t＋1,t) ＝t＋ eq \f(1,t) －4≥2 eq \r(t·\f(1,t)) －4＝－2，当且仅当t＝ eq \f(1,t) ，即t＝1时，等号成立． 答案　A 2．若x＞0，y＞0，且x＋y＝18，则 eq \r(xy) 的最大值为(　　) A．9 B．18 C．36 D．81 解析　因为x＞0，y＞0，且x＋y＝18，所以 eq \r(xy) ≤ eq \f(x＋y,2) ＝9，当且仅当x＝y＝9时等号成立，故 eq \r(xy) 的最大值为9. 答案　A 考点一　利用基本不等式求最值(多维探究　师生共研) 角度1　配凑法 　(1)(2024·河北廊坊高三检测)已知a＞1，则2a＋ eq \f(2,a－1) 的最小值是(　　) A．5　　　　　　　 B．6 C．7 D．8 (2)已知0＜x＜ eq \f(\r(2),2) ，则x eq \r(1－2x2) 的最大值为________． [解析]　(1)因为a＞1，所以a－1＞0.2a＋ eq \f(2,a－1) ＝2(a－1)＋ eq \f(2,a－1) ＋2≥2 eq \r(2(a－1)·\f(2,a－1)) ＋2＝6，当且仅当2(a－1)＝ eq \f(2,a－1) ，即a＝2时等号成立，则2a＋ eq \f(2,a－1) 的最小值为6，故选B. (2)因为0＜x＜ eq \f(\r(2),2) ，所以1－2x2＞0，x eq \r(1－2x2) ＝ eq \f(\r(2),2) · eq \r(2) x eq \r(1－2x2) ≤ eq \f(\r(2),2) · eq \f(2x2＋1－2x2,2) ＝ eq \f(\r(2),4) ，当且仅当2x2＝1－2x2，即x＝ eq \f(1,2) 时等号成立． [答案]　(1)B　(2) eq \f(\r(2),4) 角度2　常数代换法 　(1)已知正实数a，b满足a＋b＝2，则 eq \f(4,b) ＋ eq \f(1,a) 的最小值是(　　) A. eq \f(7,2) B． eq \f(9,2) C．5 D．9 (2)已知正数a，b满足4a＋b＝ab，则a＋b的最小值为(　　) A．3 B．9 C．16 D．25 [解析]　(1) eq \f(4,b) ＋ eq \f(1,a) ＝ eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,b)＋\f(1,a))) (a＋b)＝ eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4a,b)＋\f(b,a)＋5)) ≥ eq \f(1,2) ×(4＋5)＝ eq \f(9,2) ，当且仅当 eq \f(4a,b) ＝ eq \f(b,a) ，即a＝ eq \f(2,3) ，b＝ eq \f(4,3) 时，等号成立．故选B. (2)因为4a＋b＝ab，所以 eq \f(1,a) ＋ eq \f(4,b) ＝1， 所以a＋b＝(a＋b) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(4,b))) ＝5＋ eq \f(b,a) ＋ eq \f(4a,b) . 因为a＞0，b＞0，所以 eq \f(b,a) ＋ eq \f(4a,b) ≥2 eq \r(\f(b,a)·\f(4a,b)) ＝4 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(当且仅当\f(b,a)＝\f(4a,b)，即a＝3，b＝6时等号成立)) . 所以a＋b≥9.故选B. [答案]　(1)B　(2)B 1．(变设问)本例中(1)的条件不变，求 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,a))) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,b))) 的最小值． 解析　因为a＋b＝2，所以ab≤ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2))) eq \s\up20(2) ＝1，所以 eq \f(1,ab) ≥1. 所以 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,a))) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,b))) ＝1＋ eq \f(1,a) ＋ eq \f(1,b) ＋ eq \f(1,ab) ＝1＋ eq \f(a＋b,ab) ＋ eq \f(1,ab) ≥1＋2＋1＝4(当且仅当a＝b时，等号成立). 故 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,a))) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,b))) 的最小值为4. 2．(变设问)本例中(1)的条件不变，求 eq \f(4,b＋1) ＋ eq \f(1,a＋1) 的最小值． 解析　因为a＞0，b＞0，且a＋b＝2，所以(a＋1)＋(b＋1)＝4. 所以 eq \f(1,4) [(a＋1)＋(b＋1)]＝1. 所以 eq \f(4,b＋1) ＋ eq \f(1,a＋1) ＝ eq \f(1,4) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,b＋1)＋\f(1,a＋1))) [(a＋1)＋(b＋1)] ＝ eq \f(1,4) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(4＋1＋\f(4(a＋1),b＋1)＋\f(b＋1,a＋1))) ≥ eq \f(1,4) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(5＋2\r(\f(4(a＋1),b＋1)·\f(b＋1,a＋1)))) ＝ eq \f(9,4) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(当且仅当b＋1＝2(a＋1)，即a＝\f(1,3)，b＝\f(5,3)时，等号成立)) . 故 eq \f(4,b＋1) ＋ eq \f(1,a＋1) 的最小值为 eq \f(9,4) . 常数代换法求最值 对于形如“已知x＋y＝t，求 eq \f(a,x) ＋ eq \f(b,y) 的最值”的问题，通常先将 eq \f(a,x) ＋ eq \f(b,y) 转化为 eq \f(1,t) (x＋y)· eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,x)＋\f(b,y))) 的形式，再展开利用基本不等式求得最值．即将欲求最值的目标式中的常数用变量替换，构造符合基本不等式应用的条件． 角度3　消元法 　已知x＜0，且x－y＝1，则x＋ eq \f(1,2y＋1) 的最大值是________． [解析]　因为x＜0，且x－y＝1，所以x＝y＋1，y＜－1，所以x＋ eq \f(1,2y＋1) ＝y＋1＋ eq \f(1,2y＋1) ＝y＋ eq \f(1,2) ＋ eq \f(\f(1,2),y＋\f(1,2)) ＋ eq \f(1,2) ，因为y＋ eq \f(1,2) ＜0，所以y＋ eq \f(1,2) ＋ eq \f(\f(1,2),y＋\f(1,2)) ＝－ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(1,2)))＋\f(\f(1,2),－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(1,2)))))) ≤－ eq \r(2) ，当且仅当y＝－ eq \f(1＋\r(2),2) 时等号成立，所以x＋ eq \f(1,2y＋1) ≤ eq \f(1,2) － eq \r(2) ，所以x＋ eq \f(1,2y＋1) 的最大值为 eq \f(1,2) － eq \r(2) . [答案]　 eq \f(1,2) － eq \r(2) 消元法求最值 在条件最值问题中，当含有多个变量时，可以根据已知条件，用一个变量表示另一个变量，从而将欲求最值的代数式中的变量减少，只保留一个变量，然后通过拼凑，创造符合基本不等式应用的条件，求得最值． 1．已知x＞2，则函数y＝x＋ eq \f(1,2(x－2)) 的最小值是(　　) A．2 eq \r(2) B．2 eq \r(2) ＋2 C．2 D． eq \r(2) ＋2 解析　由题意可知，x－2＞0，∴y＝(x－2)＋ eq \f(1,2(x－2)) ＋2≥2 eq \r((x－2)·\f(1,2(x－2))) ＋2＝ eq \r(2) ＋2，当且仅当x＝2＋ eq \f(\r(2),2) 时，等号成立，∴函数y＝x＋ eq \f(1,2(x－2)) (x＞2)的最小值为 eq \r(2) ＋2. 答案　D 2．(多选)设x＞0，y＞0，则下列结论正确的是(　　) A．不等式(x＋y) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(1,y))) ≥4恒成立 B．函数f(x)＝3x＋3－x的最小值为2 C．函数f(x)＝ eq \f(x,x2＋3x＋1) 的最大值为 eq \f(1,5) D．若x2＋2xy－3＝0，则2x＋y的最小值为3 解析　因为x＞0，y＞0，x＋y≥2 eq \r(xy) ， eq \f(1,x) ＋ eq \f(1,y) ≥2 eq \r(\f(1,xy)) ， 当且仅当x＝y时，等号同时成立， 故(x＋y) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(1,y))) ≥4恒成立，所以A正确． 因为3x＋3－x≥2，当且仅当3x＝3－x，即x＝0时等号成立，又x＞0，所以3x＋3－x＞2，所以B不正确． 因为x＞0，所以x＋ eq \f(1,x) ≥2，当且仅当x＝1时等号成立， 又f(x)＝ eq \f(x,x2＋3x＋1) ＝ eq \f(1,x＋\f(1,x)＋3) ≤ eq \f(1,2＋3) ＝ eq \f(1,5) ， 所以函数f(x)＝ eq \f(x,x2＋3x＋1) 的最大值为 eq \f(1,5) ，所以C正确． 因为x2＋2xy－3＝0，所以y＝ eq \f(3－x2,2x) ，所以2x＋y＝2x＋ eq \f(3－x2,2x) ＝ eq \f(3x2＋3,2x) ＝ eq \f(3x,2) ＋ eq \f(3,2x) ≥2 eq \r(\f(3x,2)·\f(3,2x)) ＝3，当且仅当 eq \f(3x,2) ＝ eq \f(3,2x) ，即x＝1时等号成立，所以D正确．故选ACD. 答案　ACD 3．若a＞0，b＞0，且a＋2b－4＝0，则ab的最大值为________， eq \f(1,a) ＋ eq \f(2,b) 的最小值为________． 解析　因为a＞0，b＞0，且a＋2b－4＝0，所以a＋2b＝4，所以ab＝ eq \f(1,2) a·2b≤ eq \f(1,2) × eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋2b,2))) eq \s\up20(2) ＝2，当且仅当a＝2b，即a＝2，b＝1时等号成立，所以ab的最大值为2.因为 eq \f(1,a) ＋ eq \f(2,b) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(2,b))) · eq \f(a＋2b,4) ＝ eq \f(1,4) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5＋\f(2b,a)＋\f(2a,b))) ≥ eq \f(1,4) · eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5＋2\r(\f(2b,a)·\f(2a,b)))) ＝ eq \f(9,4) ，当且仅当a＝b时等号成立，所以 eq \f(1,a) ＋ eq \f(2,b) 的最小值为 eq \f(9,4) . 答案　2　 eq \f(9,4) 考点二　基本不等式的变形应用(重难考点　师生共研) 　(多选)设a＞0，b＞0，则下列不等式一定成立的是(　　) A．a＋b＋ eq \f(1,\r(ab)) ≥2 eq \r(2) B． eq \f(2ab,a＋b) ≥ eq \r(ab) C． eq \f(a2＋b2,\r(ab)) ≥a＋b D．(a＋b) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b))) ≥4 [解析]　因为a＞0，b＞0，所以a＋b＋ eq \f(1,\r(ab)) ≥2 eq \r(ab) ＋ eq \f(1,\r(ab)) ≥2 eq \r(2) ，当且仅当a＝b且2 eq \r(ab) ＝ eq \f(1,\r(ab)) ，即a＝b＝ eq \f(\r(2),2) 时等号成立，故A中不等式一定成立；因为a＋b≥2 eq \r(ab) ＞0，所以 eq \f(2ab,a＋b) ≤ eq \f(2ab,2\r(ab)) ＝ eq \r(ab) ，当且仅当a＝b时等号成立，所以 eq \f(2ab,a＋b) ≥ eq \r(ab) 不一定成立，故B中不等式不一定成立； 因为 eq \f(2ab,a＋b) ≤ eq \f(2ab,2\r(ab)) ＝ eq \r(ab) ，当且仅当a＝b时等号成立， eq \f(a2＋b2,a＋b) ＝ eq \f((a＋b)2－2ab,a＋b) ＝a＋b－ eq \f(2ab,a＋b) ≥2 eq \r(ab) － eq \r(ab) ＝ eq \r(ab) ，当且仅当a＝b时等号成立，所以 eq \f(a2＋b2,a＋b) ≥ eq \r(ab) ，所以 eq \f(a2＋b2,\r(ab)) ≥a＋b，故C中不等式一定成立；因为(a＋b) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b))) ＝2＋ eq \f(b,a) ＋ eq \f(a,b) ≥4，当且仅当a＝b时等号成立，故D中不等式一定成立．故选ACD. [答案]　ACD 基本不等式有几种不同的等价形式，掌握好基本不等式的等价变形方法，可以给解题带来方便． 已知a，b为互不相等的正实数，则下列四个式子中最大的是(　　) A． eq \f(2,a＋b) B． eq \f(1,a) ＋ eq \f(1,b) C． eq \f(2,\r(ab)) D． eq \r(\f(2,a2＋b2)) 解析　∵a，b为互不相等的正实数，∴ eq \f(1,a) ＋ eq \f(1,b) ＞ eq \f(2,\r(ab)) ， eq \f(2,a＋b) ＜ eq \f(2,2\r(ab)) ＝ eq \f(1,\r(ab)) ＜ eq \f(2,\r(ab)) ， eq \r(\f(2,a2＋b2)) ＜ eq \r(\f(2,2ab)) ＝ eq \f(1,\r(ab)) ＜ eq \f(2,\r(ab)) ， ∴最大的是 eq \f(1,a) ＋ eq \f(1,b) . 答案　B 考点三　基本不等式的实际应用(重难考点　师生共研) 　勾股定理是初等几何中最精彩、最著名的定理，是几何学的明珠，它不仅揭示了直角三角形三边之间的数量关系，而且体现了“数形统一”的思想，对我们解决直角三角形类问题的帮助很大．如果一个直角三角形的周长等于6 cm，则三角形面积取得最大值时的斜边边长为________cm. [解析]　设直角三角形的直角边长分别为a cm，b cm，则斜边长为 eq \r(a2＋b2) cm，则a＋b＋ eq \r(a2＋b2) ＝6≥2 eq \r(ab) ＋ eq \r(2ab) ＝(2＋ eq \r(2) ) eq \r(ab) ，则ab≤18(3－2 eq \r(2) )，则直角三角形面积的最大值为9(3－2 eq \r(2) )，当且仅当a＝b＝3(2－ eq \r(2) )时，等号成立，此时斜边长为6( eq \r(2) －1)cm. [答案]　6( eq \r(2) －1) 利用基本不等式解决实际问题的策略 (1)根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值． (2)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围． (3)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解． 某公益广告公司拟在一张矩形海报纸(记为矩形ABCD，如图)上设计三个等高的宣传栏(栏面分别为一个等腰三角形和两个全等的直角梯形)，宣传栏(图中阴影部分)的面积之和为1 440 cm2.为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为2 cm.当直角梯形的高为________cm时，用纸量最少(即矩形ABCD的面积最小). 解析　设直角梯形的高为x cm， ∵宣传栏(图中阴影部分)的面积之和为1 440 cm2， 且海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为2 cm， ∴海报宽AD＝x＋4，海报长DC＝ eq \f(1 440,x) ＋8， 故S矩形ABCD＝AD·DC＝(x＋4) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1 440,x)＋8)) ＝8x＋ eq \f(5 760,x) ＋1 472≥2 eq \r(8x·\f(5 760,x)) ＋1 472＝192 eq \r(5) ＋1 472， 当且仅当8x＝ eq \f(5 760,x) ，即x＝12 eq \r(5) 时，等号成立． ∴当直角梯形的高为12 eq \r(5) cm时，用纸量最少． 答案　12 eq \r(5) $$