山东省潍坊市寿光市2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题(无答案)

2023—2024学年下学期期中质量监测 高二数学 2024.04 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知，则（ ） A． B． C．16 D． 2．下列两个变量之间的关系是相关关系的是（ ） A．正方形的边长与对角线长 B．球的体积与表面积 C．一个人的身高与学习成绩 D．平均学习时间与学习成绩 3．已知等差数列的前项和为，若，则（ ） A．54 B．63 C．72 D．135 4．下列函数的导数运算正确的是（ ） A． B． C． D． 5．某学校在一次调查“篮球迷”的活动中，获得了如下数据：以下结论正确的是（ ） 男生 女生 篮球迷 30 15 非篮球迷 45 10 附：， 0.10 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 A．没有的把握认为是否是篮球迷与性别有关 B．有的把握认为是否是篮球迷与性别有关 C．在犯错误的概率不超过0.05的前提下，可以认为是否是篮球迷与性别有关 D．在犯错误的概率不超过0.01的前提下，可以认为是否是篮球迷与性别有关 6．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人第一天走的路程为（ ） A．120里 B．148里 C．96里 D．192里 7．某人寿保险公司规定，投保人没活过65岁时，保险公司要赔偿100万元．活过65岁时，保险公司不赔偿，但要给投保人一次性支付5万元．已知购买此种保险的每个投保人能活过65岁的概率都是0.9，随机抽取3个投保人，设其中活过65岁的人数为，保险公司要赔偿给这三个人的总金额为万元．则（ ） A．0.972 B．0.729 C．0.486 D．0.243 8．对于定义域为的可导函数，若满足，则（ ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．如图是函数的导函数的图象，则（ ） A．在上是增函数 B．在上是减函数 C．在上是增函数 D．在上是减函数 10．设是变量和的个样本点，由这些样本点通过最小二乘法得到线性回归直线方程，下列结论正确的是（ ） A．与正相关的充要条件是 B．直线过点 C．与之间的相关系数为 D．当增大一个单位时，增大个单位 11．已知数列满足，则（ ） A．若，则数列为常数列 B．若，则对任意，有 C．若，则对任意，有 D．若，则对任意， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知随机变量，且，则______． 13．设函数，若函数在上是增函数，则的取值范围是______． 14．某学校数学实践小组为该校一块长方形空地设计种树方案，在坐标纸上设计如下：第棵树种在点处，其中，当时， ，表示不大于的最大整数，按此设计方案， 第3棵树种植点的坐标为______；第2025棵树种植点的坐标为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论函数的单调性． 16．（15分）已知数列的前项和． （1）求数列的通项公式，判断这个数列是否是等差数列，并说明理由； （2）记数列的前项和为，若，求． 17．（15分）现从某学校高三年级男生中随机抽取50名男生测量身高，测量发现被测学生的身高全部介于到之间，将测量结果按如下方式分成6组：第1组，第2组，第6组．如图，这是按上述分组方法得到的频率分布直方图． （1）试估计该校高三年级男生的平均身高；（同一组中的数据用该组区间的中点值代表） （2）求这50名男生身高在以上（含）的人数； （3）从这50名身高在以上（含）的男生中任意抽取2人，将这2人中身高在（含）以上的人数记为，求的分布列及数学期望． 18．（17分）数列中，（是常数，），且成公比不为1的等比数列． （1）求的值； （2）求数列的通项公式； （3）求数列的前n项和． 19．（17分）信息熵是信息论之父香农（Shannon）定义的一个重要概念，香农在1948年发表的论文《通信的数学理论》中指出，任何信息都存在冗余，把信息中排除了冗余后的平均信息量称为“信息熵”，并给出了计算信息熵的数学表达式：设随