专题05复数（九大考点+二个易错点+精准训练）--2025年高考数学一轮复习考点剖析及精准练习（新高考专用）

专题05复数 一、复数的定义及其分类 1.定义：形如的数叫做复数，其中称为的实部，称为的虚部(为虚数单位)．规定 2.复数的分类： 复数的分类 充要条件 集合表示 实数 虚数 纯虚数 且 3.复数相等 在复数集中任取两个数，我们规定：与相等的充要条件是且 二、复平面 1.定义：实数与数轴上的点一一对应，推广到复数，每一个复数都与平面直角坐标系上的点一一对应，将这个平面称为复平面.横坐标代表复数的实部，纵坐标代表复数的虚部，横轴称为实轴，纵轴称为虚轴. 2．复数的几何意义及复数的模 ①复数的几何意义： ②复数的模：向量的模叫做复数的模，记作或，即 三、复数的四则运算 1.复数的四则运算：设是任意两个复数 运算 计算公式 加法 减法 乘法 除法 2．复数的加法运算律，乘法运算律 对于任意，有 加法运算律 交换律 结合律 乘法运算律 交换律 结合律 乘法对加法的分配律 3．共轭复数 1.定义：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数. 2.表示：z的共轭复数用表示，即若，则 四、复数的三角表达式 1.定义：一般地，任何一个复数都可以表示成的形式．其中，是复数的模；是复数的辐角．叫做复数的三角表示式，简称三角形式． 注意：复数三角形式的特点：模非负，角相同，余弦前，加号连 两个用三角形式表示的复数相等的充要条件 它们的模与辐角的主值分别相等 复数的辐角 以x轴的正半轴为始边、向量所在的射线为终边的角，叫做复数的辐角。 辐角的主值:,记作： 将复数的代数形式转化为三角形式的步骤 1.求出模； 2.确定辐角的主值； 3.写出其三角形式 2.复数三角形式的乘除法及其几何意义 设的三角形式分别是： 乘法 除法 公式 简记 模数相乘，幅角相加 模数相除，幅角相减 几何意义 把复数对应的向量绕原点逆时针旋转的一个辐角，长度乘以的模，所得向量对应的复数就是． 把复数对应的向量绕原点顺时针旋转的一个辐角，长度除以的模，所得向量对应的复数就是． 考点01复数的分类 【例1】已知复数与均为纯虚数，则的虚部为（    ） A． B．4 C． D．8 【例2】“且”是“复数是纯虚数”的 条件. 【变式1-1】复数是实数，则 . 【变式1-2】设，复数.若复数是纯虚数，则 ；若复数在复平面内对应的点位于实轴上，则 . 【变式1-3】复数，当实数m取什么值时， (1)是实数； (2)是虚数； (3)是纯虚数． 考点02复数的四则运算 【例3】复数的实部为（    ） A． B． C． D． 【例4】i是虚数单位，复数，则的虚部为 【变式2-1】已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】已知复数，则（    ） A．10 B． C．6 D． 【变式2-3】已知，且满足（其中为虚数单位），则 ． 考点03复数的乘方运算 【例5】已知是虚数单位，则复数所对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【例6】设复数，，则 . 【变式3-1】已知，则集合中元素的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3-2】计算： . 【变式3-3】已知为虚数单位，若复数z满足，则z的虚部为 ． 考点04复数的模 【例7】复数满足，则（    ） A． B． C．2 D． 【例8】已知是虚数单位．则 ． 【变式4-1】已知复数在复平面内所对应的点分别为，则（    ） A． B．1 C． D．2 【变式4-2】若复数，满足，则的值为 . 【变式4-3】已知复数满足，，则（    ） A．3 B． C． D． 考点05待定系数法求复数 【例9】若复数满足，则（    ） A．1 B． C． D．4 【例10】已知虚数满足，则的实部与虚部的比为（    ） A． B． C． D．2 【变式5-1】已知满足，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】若复数z满足，则z在复平面中对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式5-3】（多选）已知复数z满足，则（    ） A． B． C． D． 考点06复数运算是否正确 【例11】（多选）设，，为复数，．下列命题正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则 【例12】（多选）设为复数，下列命题正确的是（    ） A． B． C．若，则