导学微点14 抛物线中的二级结论（Word教参）-【导学教程】2025年数学新编高考大一轮总复习（北师大版）

[对应学生用书P199] 抛物线焦点弦的有关性质是高中数学的重要部分，了解和掌握相关结论，在解题时可迅速打开思路，抛物线焦点弦的常见结论如下： 设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 (1)x1·x2＝，y1y2＝－p2； (2)若A在第一象限，B在第四象限，则|AF|＝，|BF|＝，弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝(α为弦AB的倾斜角)； (3)＋＝； (4)以弦AB为直径的圆与准线相切； (5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切； (6)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上； (7)通径：过焦点与对称轴垂直的弦长等于2p. 　(多选)(2023·新课标Ⅱ卷)设O为坐标原点，直线y＝－(x－1)过抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则(　　) A．p＝2 B．|MN|＝ C．以MN为直径的圆与l相切 D．△OMN为等腰三角形 [解析]　y＝－(x－1)过抛物线y2＝2px的焦点，则焦点F(1，0)，p＝2，A正确． 抛物线：y2＝4x，MN倾斜角α＝，MN＝＝＝，B错误． 以MN为直径的圆一定与准线相切，C正确． 解得或不妨设M(3，－2)，N，则OM＝，ON＝，MN＝， ∴△OMN不是等腰三角形，D错误．故选AC. [答案]　AC 1．设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为(　　) A．　　　　　　　 B． C． D． 解析　通法　由已知得焦点坐标为F，因此直线AB的方程为y＝，即4x－4y－3＝0. 与抛物线方程联立，化简得4y2－12y－9＝0， 则yA＋yB＝3，yA·yB＝－， 故|yA－yB|＝＝6. 因此S△OAB＝|OF||yA－yB|＝××6＝. 优解　由2p＝3，及|AB|＝， 得|AB|＝＝＝12. 原点到直线AB的距离d＝|OF|·sin30°＝， 故S△AOB＝|AB|·d＝×12×＝. 答案　D 2．(多选)(2024·河北名校联考)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，过焦点的直线l与抛物线C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则下列说法一定正确的是(　　) A．|AB|≥8 B．x1x2＝4，y1y2＝－16 C．以AF为直径的圆与直线x＝－2相切 D．若点P(－2，0)，则有kAP＋kBP＝0 解析　因为焦点弦中通径最短为2p＝8，所以|AB|≥8，A正确；根据焦点弦的有关性质，得x1x2＝＝4，y1y2＝－p2＝－16，B正确；以AF为直径的圆与y轴相切，以焦点弦AB为直径的圆与直线x＝－2相切，C错误；设直线AB：x＝my＋2，代入抛物线C：y2＝8x整理，得y2－8my－16＝0，所以y1＋y2＝8m，y1y2＝－16，所以kAP＋kBP＝＋＝＝＝＝＝0，D正确．故选ABD. 答案　ABD 学科网（北京）股份有限公司 $$