第8章 第7讲 抛物线（Word教参）-【导学教程】2025年数学新编高考大一轮总复习（北师大版）

第7讲　抛物线 课标要求 考情分析 1．了解抛物线的实际背景，感受抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的应用． 2．了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，以及它的简单几何性质． 3．了解抛物线的简单应用． 考点考法：抛物线的方程及其性质是高考的重点内容，常与其他曲线相结合进行命题，多以选择题或填空题的形式出现，试题难度中等． 核心素养：数学运算、直观想象． [对应学生用书P196] 1．抛物线的概念 (1)定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离__相等__的点的集合(或轨迹). (2)焦点：__点F__叫作抛物线的焦点． (3)准线：__直线l__叫作抛物线的准线． [导学点清]　当定点在定直线上时，轨迹为过定点F与定直线l垂直的一条直线． 2．抛物线的标准方程和简单几何性质 标准 方程 y2＝2px (p＞0) y2＝－2px (p＞0) x2＝2py (p＞0) x2＝－2py (p＞0) 图形 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 焦点 准线 方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 对称 轴 __x轴__ __y轴__ 顶点 __(0，0)__ 离心率 e＝__1__ [导学点清]　 四种不同抛物线方程的共同点 (1)原点都在抛物线上． (2)焦点都在坐标轴上． (3)准线与焦点所在坐标轴垂直，垂足与焦点关于原点对称，它们与原点的距离都等于一次项系数的绝对值的，即＝. 1．抛物线C：y2＝2px(p＞0)上一点M(1，y0)到焦点F的距离为3，则p的值为(　　) A．1　　　　　　　　　 B．2 C．3 D．4 解析　由抛物线的定义可知，|MF|＝1＋＝3，所以p＝4. 答案　D 2．过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|PQ|等于(　　) A．9 B．8 C．7 D．6 解析　抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，准线方程为x＝－1.根据题意可得，|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8. 答案　B 3．(忽视焦点的位置致误)(多选)顶点在原点，且过点P(－2，3)的抛物线的标准方程是(　　) A．y2＝－x B．y2＝x C．x2＝y D．x2＝－y 解析　设抛物线的标准方程是y2＝kx或x2＝my，代入点P(－2，3)，解得k＝－，m＝，所以y2＝－x或x2＝y. 答案　AC 4．抛物线y＝x2的焦点到准线的距离为________． 解析　因为抛物线方程可以化为x2＝4y，所以p＝2，焦点到准线的距离为p＝2. 答案　2 5．(忽视抛物线的开口方向致误)若抛物线y＝ax2的准线方程是y＝2，则a的值是________． 解析　把抛物线方程y＝ax2化为标准形式得x2＝y，所以－＝2，解得a＝－. 答案　－ 1．与焦点弦有关的常用结论 如图，倾斜角为θ的直线ΑΒ与抛物线y2＝2px(p＞0)交于A，B两点，F为抛物线的焦点，设A(x1，y1)，B(x2，y2).则有 (1)y1y2＝－p2，x1x2＝. (2)焦点弦长：|AB|＝x1＋x2＋p＝(θ为直线AB的倾斜角). 通径(过焦点且垂直于对称轴的弦)长：2p. (3)焦半径：|AF|＝，|BF|＝，＋＝. (4)以弦AB为直径的圆与准线相切；以AF或BF为直径的圆与y轴相切． 2．若A，B为抛物线y2＝2px(p＞0)上两点，且OA⊥OB，则直线AB过定点(2p，0). 1．(2024·广州模拟)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点F的直线l交C于A，B两点，且|AB|＝8，则线段AB中点的横坐标为(　　) A．1　　　　　　　　 B．2 C．3 D．4 解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由|AB|＝8，可知x1＋x2＋2＝8，故＝3，故选C. 答案　C 2．(2024·信阳模拟)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)，过焦点P的直线交抛物线C于A，B两点，且线段|AB|的长是焦半径|AP|长的3倍，则直线AB的斜率为________． 解析　设直线AB的倾斜角为θ，则θ∈(0°，180°). 因为线段|AB|的长是焦半径|AP|长的3倍，所以|BP|＝2|AP|，故θ≠90°， 当θ∈(0°，90°)时，|AP|＝，|BP|＝，则＝＝2，解得cos θ＝，所以直线AB的斜率为2， 同理可得当θ∈(90°，180°)时，cos θ＝－， 所以直线AB的斜率为－2. 综上，直线AB的斜率为±2. 答案　±2 [对应学生用书P198] 考点一　抛物线的定义及应用(一题多变　师生共研) 　(1)(2022·全国乙卷)设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在C上，点B(3，0)，若|AF|＝|BF|，则|AB|＝(　　) A．2　　　　　　　　　 B．2 C．3 D．3 (2)设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F是抛物线y2＝4x的焦点，若B(3，2)，则|PB|＋|PF|的最小值为(　　) A．2 B．4 C．3 D．5 [解析]　(1)易知抛物线C：y2＝4x的焦点为F(1，0)， 于是有|BF|＝2，故|AF|＝2，注意到抛物线通径2p＝4，通径为抛物线最短的焦点弦，分析知AF必为半焦点弦，于是有AF⊥x轴，分析知|AB|＝＝2. (2)如图，过点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1，则|P1Q|＝|P1F|，则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4，即|PB|＋|PF|的最小值为4. [答案]　(1)B　(2)B 1．(变条件)本例(2)中的点B的坐标改为(3，4)，则|PB|＋|PF|的最小值为________． 解析　由题意可知点B(3，4)在抛物线的外部． ∵|PB|＋|PF|的最小值即为B，F两点间的距离，F(1，0)，∴|PB|＋|PF|≥|BF|＝＝2，即|PB|＋|PF|的最小值为2. 答案　2 2．(变条件、变结论)在本例(2)中，点P到直线l：x＝－1的距离与点P到直线3x＋4y＋7＝0的距离之和的最小值是________． 解析　易知直线l：x＝－1为抛物线的准线，抛物线y2＝4x与直线3x＋4y＋7＝0相离． 由抛物线的定义可知，点P到准线l的距离等于点P到焦点F的距离，∴点P到直线l的距离与点P到直线3x＋4y＋7＝0的距离之和的最小值为点F(1，0)到直线3x＋4y＋7＝0的距离，即＝2. 答案　2 抛物线定义的应用策略 1．动圆与定圆A：(x＋2)2＋y2＝1外切，且和直线x＝1相切，则动圆圆心的轨迹是(　　) A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 解析　设动圆的圆心为点C，半径为r，则点C到定圆A：(x＋2)2＋y2＝1的圆心的距离等于r＋1.又动圆的圆心到直线x＝1的距离等于r，所以动圆的圆心到直线x＝2的距离为r＋1.根据抛物线的定义知，动圆圆心的轨迹为抛物线．故选D. 答案　D 2．已知抛物线y＝mx2(m＞0)上的点(x0，2)到该抛物线焦点F的距离为，则m等于(　　) A．4 B．3 C． D． 解析　由题意知，抛物线y＝mx2(m＞0)的准线方程为y＝－，根据抛物线的定义，可得点(x0，2)到焦点F的距离等于到准线y＝－的距离，可得2＋＝，解得m＝. 答案　D 考点二　抛物线的标准方程与几何性质(重难考点　师生共研) 　(1)设O为坐标原点，直线x＝2与抛物线C：y2＝2px(p>0)交于D，E两点．若OD⊥OE，则C的焦点坐标为(　　) A．(1，0) B．(2，0) C． D． (2)若动圆M经过双曲线x2－＝1的左焦点且与直线x＝2相切，则圆心M的坐标满足的方程是____________________． [解析]　(1)将x＝2代入抛物线方程y2＝2px，可得直线x＝2与抛物线C的交点坐标为(2，2)，(2，－2).不妨设D(2，2)，E(2，－2)，则＝(2，2)，＝(2，－2).因为OD⊥OE，所以·＝4－4p＝0，解得p＝1，所以抛物线C的焦点坐标为，故选D. (2)双曲线x2－＝1的左焦点为F(－2，0)，动圆M经过F且与直线x＝2相切，则圆心M到点F的距离和到直线x＝2的距离相等，由抛物线的定义知圆心的轨迹是焦点为F，准线为x＝2的抛物线，其方程为y2＝－8x. [答案]　(1)D　(2)y2＝－8x 1．求抛物线标准方程的方法 (1)先定位：根据焦点或准线的位置确定开口方向； (2)再定形：根据已知条件求p. 2．抛物线性质的应用技巧 (1)应用抛物线的性质时，关键是将抛物线方程化成标准方程； (2)要结合图形分析，灵活运用平面图形的性质简化运算． 1．已知动圆M与直线y＝2相切，且与定圆C：x2＋(y＋3)2＝1外切，则动圆圆心M的轨迹方程为(　　) A．x2＝－12y B．x2＝12y C．y2＝12x D．y2＝－12x 解析　设动圆圆心为M(x，y)，半径为r，由题意可得M到C(0，－3)的距离与到直线y＝3的距离相等，由抛物线的定义可知，动圆圆心的轨迹是以C(0，－3)为焦点，以y＝3为准线的一条抛物线，所以＝3，2p＝12，其方程为x2＝－12y.故选A. 答案　A 2．已知点F为抛物线y2＝2px的焦点，点P在抛物线上且横坐标为8，O为坐标原点，若△OFP的面积为2，则该抛物线的标准方程为________． 解析　设P(xP，yP)，把xP＝8代入y2＝2px(p＞0)，解得yP＝±4，又抛物线的焦点为F，所以S△OFP＝×|OF|×|yP|＝××4＝p＝2，解得p＝2，所以抛物线的标准方程为y2＝4x. 答案　y2＝4x 考点三　直线与抛物线的位置关系(重难考点　师生共研) 　已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P. (1)若|AF|＋|BF|＝4，求直线l的方程； (2)若＝3，求|AB|. [解析]　设直线l的方程为y＝x＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2). (1)由题设得F， 故|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋. 又|AF|＋|BF|＝4，所以x1＋x2＝. 由可得9x2＋12(t－1)x＋4t2＝0， 其中Δ＝144(1－2t)＞0， 则x1＋x2＝－， 从而－＝，得t＝－(满足Δ＞0)， 所以l的方程为y＝x－. (2)由＝3，可得y1＝－3y2. 由可得y2－2y＋2t＝0， 其中Δ＝4－8t＞0， 所以y1＋y2＝2，从而－3y2＋y2＝2，故y2＝－1，y1＝3. 代入C的方程得x1＝3，x2＝. 所以A(3，3)，B， 故|AB|＝. 解决直线与抛物线位置关系问题的方法 (1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系． (2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝|x1|＋|x2|＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式． (3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法． [提醒]　涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解． 1．已知抛物线的方程为y2＝8x，若过点Q(－2，0)的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是(　　) A．[－1，1] B．[－1，0)∪(0，1] C．(－∞，－1]∪[1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 解析　由题意知，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x＋2)，代入抛物线方程，消去y并整理，得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0. 当k＝0时，显然满足题意； 当k≠0时，Δ＝(4k2－8)2－4k2·4k2＝64(1－k2)≥0，解得－1≤k＜0或0＜k≤1. 综上，－1≤k≤1，故选A. 答案　A 2．直线x－y－2＝0与抛物线y2＝2px(p＞0)交于A，B两点，若线段AB被点M(4，2)平分，则抛物线的准线方程为________． 解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由线段AB被点M(4，2)平分，可知y1＋y2＝4，又y＝2px1，y＝2px2， 所以(y1＋y2)(y1－y2)＝2p(x1－x2), 由题意可知，直线AB的斜率为1，所以x1≠x2， 所以4×＝2p， 即4×1＝2p，所以p＝2. 故抛物线的准线方程为x＝－1. 答案　x＝－1 学科网（北京）股份有限公司 $$