第8章 第5讲 第1课时 椭圆及其性质（Word教参）-【导学教程】2025年数学新编高考大一轮总复习（北师大版）

第5讲　椭　圆 课标要求 考情分析 1．了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用． 2．经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质． 考点考法：高考对椭圆考查形式有两种：一是根据题设条件求椭圆的标准方程；二是通过椭圆的标准方程研究椭圆的性质，常以选择题或填空题的形式出现，有时也出现在解答题第一问中，难度中等． 核心素养：数学运算、逻辑推理． [对应学生用书P186] 1．椭圆的定义 条件 结论1 结论2 平面内的动点M与平面内的两个定点F1，F2 M点的轨迹为椭圆 __F1，F2__为椭圆的焦点； __|F1F2|__为椭圆的焦距 |MF1|＋|MF2|＝2a 2a＞|F1F2| [导学点清]　若2a＝|F1F2|，则动点的轨迹是线段F1F2；若2a＜|F1F2|，则动点的轨迹不存在． 2．椭圆的标准方程及几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准 方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0) 范围 －a≤x≤a且－b≤y≤b －b≤x≤b且－a≤y≤a 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0) 轴长 短轴长为__2b__，长轴长为__2a__ 焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝__2c__ 对称性 对称轴：x轴和y轴；对称中心：__原点__ 离心率 e＝(0＜e＜1) a，b，c的关系 a2＝b2＋c2 [导学点清]　焦点在x轴上⇔标准方程中x2项的分母较大；焦点在y轴上⇔标准方程中y2项的分母较大． 1．椭圆＋＝1上点P到上焦点的距离为4，则点P到下焦点的距离为(　　) A．6　　　　　　　　　 B．3 C．4 D．2 解析　由椭圆方程＋＝1，得a2＝25，即a＝5，设下焦点为F1，上焦点为F2，则|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，因为|PF2|＝4，所以|PF1|＝6，即点P到下焦点的距离为6. 答案　A 2．已知椭圆C：＋＝1的一个焦点为(2，0)，则C的离心率为(　　) A． B． C． D． 解析　由已知可得b2＝4，c＝2，则a2＝b2＋c2＝8，所以a＝2，则离心率e＝＝. 答案　C 3．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1，0)，离心率等于，则椭圆C的方程是(　　) A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 解析　依题意，设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，所以解得a2＝9，b2＝8.故椭圆C的方程为＋＝1.故选D. 答案　D 4．(忽视定义中2a＞|F1F2|致误)平面内一点M到两定点F1(－6，0)，F2(6，0)的距离之和等于12，则点M的轨迹是________． 解析　由题意知|MF1|＋|MF2|＝12，|F1F2|＝12，即|MF1|＋|MF2|＝|F1F2|，所以点M的轨迹是线段F1F2. 答案　线段F1F2 5．(忽略隐含条件致误)若方程＋＝1表示椭圆，则k的取值范围是________． 解析　由已知得解得3＜k＜5且k≠4. 答案　(3，4)∪(4，5) 1．若点P在椭圆上，F为椭圆的一个焦点，则 (1)b≤|OP|≤a. (2)a－c≤|PF|≤a＋c. 2．焦点三角形 椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫作焦点三角形，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S. (1)当P为短轴端点时，θ最大． (2) ＝|PF1||PF2|·sin θ＝b2tan ＝c|y0|，当|y0|＝b时，即点P为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc. (3)焦点三角形的周长为2(a＋c). 3．焦点弦(过焦点的弦) 焦点弦中通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长lmin＝. 4．设P，A，B是椭圆上不同的三点，其中A，B关于原点对称，直线PA，PB斜率存在且不为0，则直线PA与PB的斜率之积为定值－. 1．(多选)已知椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，则下列说法正确的是(　　) A．F1，F2的坐标分别为(－2，0)，(2，0) B．椭圆的离心率为 C．|PF1|的最小值为1 D．当P是椭圆的短轴端点时，∠F1PF2取到最大值 解析　椭圆＋＝1，其中a2＝9，b2＝5，∴c2＝a2－b2＝4，对于A，c＝2，F1，F2的坐标分别为(－2，0)，(2，0)，故A正确；对于B，椭圆的离心率为e＝＝，故B错误；对于C，由A中结论知，|PF1|的最小值为a－c＝1，故C正确；对于D，由B中结论知，D正确．故选ACD. 答案　ACD 2．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的上、下顶点分别为A1，A2，点P是椭圆C上异于A1，A2的点，直线PA1和PA2的斜率分别为k1，k2，则满足k1k2＝－4的一个椭圆C的方程是________． 解析　由题意可知A1(0，a)，A2(0，－a)关于原点对称，点P是椭圆C上异于A1，A2的点，所以k1·k2＝－＝－4，所以a2＝4b2，所以椭圆C的方程可以为＋x2＝1(只需满足a2＝4b2即可). 答案　＋x2＝1(答案不唯一) 第1课时　椭圆及其性质 [对应学生用书P187] 考点一　椭圆的定义及其应用(重难考点　师生共研) 　(1)(2023·全国甲卷)设F1，F2为椭圆C：＋y2＝1的两个焦点，点P在C上，若·＝0，则·＝(　　) A．1　　　　　　　　　 B．2 C．4 D．5 (2)如图所示，圆O的半径为定长r，A是圆O内一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是(　　) A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆 [解析]　(1)法一　因为·＝0，所以∠F1PF2＝90°， 从而＝b2tan 45°＝1＝×·，所以·＝2.故选B. 法二　因为·＝0，所以∠F1PF2＝90°，由椭圆方程可知，c2＝5－1＝4⇒c＝2， 所以＋＝＝42＝16，又＋＝2a＝2，平方得： ＋＋2＝16＋2＝20，所以·＝2.故选B. (2)连接OA，由已知得|QA|＝|QP|，所以|QO|＋|QA|＝|QO|＋|QP|＝|OP|＝r，因为点A在圆内，所以|OA|＜|OP|，根据椭圆的定义，知点Q的轨迹是以O，A为焦点，r为长轴长的椭圆． [答案]　(1)B　(2)A 椭圆定义的应用技巧 椭圆定义的应用主要有两个方面：一是确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆；二是当P在椭圆上时，与椭圆的两焦点F1，F2组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长，利用定义和余弦定理可求|PF1|·|PF2|的值，通过整体代入可求其面积等． 1．已知椭圆＋＝1上的一点P到焦点F1的距离为6，点M是PF1的中点，O为坐标原点，则|OM|＝(　　) A．2 B．4 C．7 D．14 解析　如图所示，设椭圆的另一焦点为F2，因为O，M分别是F1F2和PF1的中点，所以|OM|＝|PF2|，由椭圆的方程得a＝10，所以2a＝20， 所以|PF2|＝2a－|PF1|＝20－6＝14，所以|OM|＝7，故选C. 答案　C 2．已知F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，点P是椭圆上一点，3|PF1|＝4|PF2|，则＝(　　) A．24 B．26 C．22 D．24 解析　由椭圆方程可得焦点在y轴上，且a＝7，b＝2，c＝＝5. 由椭圆定义可得|PF1|＋|PF2|＝2a＝14. 又3|PF1|＝4|PF2|，所以|PF1|＝8，|PF2|＝6， 所以|F1F2|＝2c＝10. 因为|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，所以PF1⊥PF2，所以＝|PF1||PF2|＝×8×6＝24.故选A. 答案　A 考点二　椭圆的标准方程(多维探究　师生共研) 角度1　定义法 　已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆M在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为(　　) A．－＝1 B．＋＝1 C．－＝1 D．＋＝1 [解析]　设圆M的半径为r.则|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16>8＝|C1C2|， 所以点M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆． 因为2a＝16，2c＝8，所以a＝8，c＝4，b2＝a2－c2＝48. 故所求的轨迹方程为＋＝1. [答案]　D (变条件)若将本例题条件中的“和圆C2相外切”改为“和圆C2也内切”，其余不变，则动圆圆心M的轨迹方程为________． 解析　设圆M的半径为r，则|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(r－3)＝10＞8＝|C1C2|， 所以点M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆． 因为2a＝10，2c＝8，所以a＝5，c＝4，b2＝a2－c2＝9. 故所求的轨迹方程为＋＝1. 答案　＋＝1 角度2　待定系数法 　已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1(，1)，P2(－，－)，则该椭圆的方程为________． [解析]　设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，且m≠n). 将P1，P2代入方程， 得解得 所以椭圆的方程为＋＝1. [答案]　＋＝1 求椭圆方程的方法与步骤 1．已知椭圆的两个焦点分别为F1(0，2)，F2(0，－2)，P为椭圆上任意一点，若|F1F2|是|PF1|，|PF2|的等差中项，则此椭圆的标准方程为(　　) A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 解析　由题意|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝8＝2a，故a＝4，又c＝2，则b＝2，焦点在y轴上，故椭圆的标准方程为＋＝1. 答案　D 2．(多选)已知椭圆C中心在原点，焦点在坐标轴上，若椭圆C的离心率为，且过点(2，1)，则椭圆C的标准方程为(　　) A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 解析　①当椭圆C的焦点在x轴上时，设椭圆C的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)， 由椭圆C的离心率为，得a2＝4b2， 所以椭圆C的方程为＋＝1. 因为椭圆过点(2，1)，所以＋＝1，解得b2＝2，a2＝8. 椭圆C的标准方程为＋＝1. ②当椭圆C的焦点在y轴上时， 设椭圆方程为＋＝1(m＞n＞0)， 由椭圆C的离心率为，得m2＝4n2， 所以椭圆C的方程为＋＝1. 因为椭圆过点(2，1)，所以＋＝1，解得n2＝，m2＝17. 椭圆C的标准方程为＋＝1. 答案　AC 考点三　椭圆的几何性质(多维探究　师生共研) 角度1　椭圆的离心率 　(1)(2023·新课标Ⅰ卷)设椭圆C1：＋y2＝1(a>1)，C2：＋y2＝1的离心率分别为e1，e2，若e2＝e1，则a＝(　　) A． B． C． D． (2)设F1，F2是椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，过点F1且斜率为的直线交椭圆于点P，若2∠PF1F2＝∠PF2F1，则椭圆E的离心率为(　　) A．＋1 B．－1 C． D． [解析]　(1)由e2＝e1，得e＝3e，因此＝3×，而a>1，所以a＝.故选A. (2)因为过点F1且斜率为的直线交椭圆于点P，且2∠PF1F2＝∠PF2F1，则有∠PF1F2＝30°，∠PF2F1＝60°，因此，在△PF1F2中，∠F1PF2＝90°，令椭圆半焦距为c，于是得|PF1|＝|F1F2|·cos 30°＝c，|PF2|＝|F1F2|·sin 30°＝c，由椭圆定义得2a＝|PF1|＋|PF2|＝(＋1)c，则e＝＝＝－1，所以椭圆E的离心率为－1. [答案]　(1)A　(2)B 求椭圆离心率的三种方法 (1)直接求出a，c来求解e.通过已知条件列方程组，解出a，c的值． (2)构造a，c的齐次式，解出e.由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解． (3)通过取特殊值或特殊位置，求出离心率． [提醒]　在解关于离心率e的二次方程时，要注意利用椭圆的离心率e∈(0，1)进行根的取舍，否则将产生增根． 角度2　与椭圆有关的最值(范围)问题 　焦点在x轴上的椭圆＋＝1(b＞0)的离心率e＝，点F、点A分别是椭圆的左焦点和右顶点，点P是椭圆上任意一点，则·的最大值为________． [解析]　由题意知a＝2.因为e＝＝，所以c＝1，所以b2＝a2－c2＝3，所以椭圆方程为＋＝1. 设点P的坐标为(x0，y0)，则－2≤x0≤2，－≤y0≤. 因为F(－1，0)，A(2，0)，所以＝(－1－x0，－y0)，＝(2－x0，－y0)，所以·＝x－x0－2＋y＝x－x0＋1＝(x0－2)2. 则当x0＝－2时，·取得最大值，最大值为4. [答案]　4 与椭圆有关的最值或范围问题的求解策略 1．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的一个焦点是圆x2＋y2－6x＋8＝0的圆心，短轴长为8，则椭圆的左顶点为(　　) A．(－3，0) B．(－4，0) C．(－10，0) D．(－5，0) 解析　因为圆的标准方程为(x－3)2＋y2＝1， 所以圆心坐标为(3，0)，所以c＝3.又b＝4， 所以a＝＝5.因为椭圆的焦点在x轴上，所以椭圆的左顶点为(－5，0). 答案　D 2．(多选)如图所示，一个底面半径为的圆柱被与其底面成45°角的平面所截，截面是一个椭圆，则(　　) A.椭圆的长轴长为4 B．椭圆的离心率为 C．椭圆的方程可以为＋＝1 D．椭圆上的点到焦点的距离的最小值为2－ 解析　圆柱的底面半径是，直径是2，所以椭圆的长轴长2a＝＝4，a＝2，短轴长2b＝2，b＝，则c＝＝，离心率e＝＝，建立适当的坐标系，椭圆的方程为＋＝1，椭圆上的点到焦点的距离的最小值是a－c＝2－.故选ACD. 答案　ACD 3．已知点A，B为椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的长轴顶点，P为椭圆上一点，若直线PA，PB的斜率之积的范围为，则椭圆E的离心率的取值范围是(　　) A． B． C． D． 解析　设P点坐标为(x0，y0)，A(－a，0)，B(a，0)，有＋＝1，kPA＝，kPB＝，由题意得kPA·kPB＝－＝e2－1∈，所以e∈. 答案　A 学科网（北京）股份有限公司 $$