第8章 第4讲 直线与圆、圆与圆的位置关系（Word教参）-【导学教程】2025年数学新编高考大一轮总复习（北师大版）

第4讲　直线与圆、圆与圆的位置关系 课标要求 考情分析 1．能根据给定的直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系． 2．能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题． 考点考法：高考对直线和圆的位置关系的考查常涉及切线和弦长问题，圆与圆的位置关系主要是根据两圆的方程判断位置关系、公切线的条数、参数的范围、公共弦长等，多以选择题、填空题为主，难度中等． 核心素养：直观想象、数学运算． [对应学生用书P182] 1．直线Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系的判断 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 __2__个 __1__个 __0__个 判定方法 几何法：圆心到直线的距离d＝ d__＜__r d__＝__r d__＞__r 代数法，由 消元得到一元二次方程根的判别式Δ Δ__＞__0 Δ__＝__0 Δ__＜__0 2．圆与圆位置关系的判定 (1)几何法 若两圆的半径分别为r1，r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下： 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 d与r1，r2的关系 __d＞__ __r1＋r2__ __d＝__ __r1＋r2__ __|r1－r2|__ __＜d＜r1__ __＋r2__ d＝ __|r1－r2|__ (r1≠r2) 0≤d＜ __|r1－r2|__ (r1≠r2) (2)代数法 通过两圆方程组成的方程组的公共解的个数进行判断． [导学点清]　两圆相切应注意是内切还是外切． 1．直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系为(　　) A．相切 B．相交但直线不过圆心 C．直线过圆心 D．相离 解析　圆心为(0，0)，到直线y＝x＋1即x－y＋1＝0的距离d＝＝.又0＜＜1，圆心不在直线y＝x＋1上，所以直线与圆相交，但直线不过圆心． 答案　B 2．直线m：x＋y－1＝0被圆M：x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长为(　　) A．4　　　　　　　　　 B．2 C． D． 解析　∵x2＋y2－2x－4y＝0，∴(x－1)2＋(y－2)2＝5，∴圆M的圆心坐标为(1，2)，半径为，又点(1，2)到直线x＋y－1＝0的距离d＝＝，∴直线m被圆M截得的弦长等于2＝2. 答案　B 3．圆Q：x2＋y2－4x＝0在点P(1，)处的切线方程为(　　) A．x＋y－2＝0 B．x＋y－4＝0 C．x－y＋4＝0 D．x－y＋2＝0 解析　因为点P在圆上，且圆心Q的坐标为(2，0)，所以kPQ＝＝－，所以切线的斜率k＝，所以切线方程为y－＝(x－1)，即x－y＋2＝0. 答案　D 4．(忽视两圆相切情况致误)若圆x2＋y2＝1与圆(x＋4)2＋(y－a)2＝25相切，则常数a＝________． 解析　两圆的圆心距d＝，由两圆相切(外切或内切)，得＝5＋1或＝5－1，解得a＝±2或a＝0. 答案　±2或0 5．(遗漏斜率不存在的情形致误)若直线过点P(4，1)且被圆x2＋y2＝25截得的弦长是6，则该直线的方程为____________________． 解析　当直线的斜率不存在时，该直线的方程为x＝4，代入圆的方程解得y＝±3，故该直线被圆截得的弦长为6，符合题意．当直线的斜率存在时，不妨设直线的方程为y－1＝k(x－4)，即kx－y－4k＋1＝0，圆心到直线的距离d＝，则2＝6，解得k＝－，所以直线方程为15x＋8y－68＝0.综上所述，所求直线方程为x＝4或15x＋8y－68＝0. 答案　x＝4或15x＋8y－68＝0 1．圆的切线方程常用结论 (1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2. (2)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在的直线方程为x0x＋y0y＝r2. 2．圆与圆的位置关系的常用结论 (1)两圆相交时，其公共弦所在的直线方程由两圆方程相减得到． (2)两个圆系方程 ①过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)； ②过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(其中不含圆C2，所以注意检验C2是否满足题意，以防丢解). 1．若经过点P(－1，－2)的直线与圆x2＋y2＝5相切，则该直线在y轴上的截距为(　　) A．　　　　　　　　 B．5 C．－ D．－5 解析　因为(－1)2＋(－2)2＝5，所以P在圆上，所以切线方程为－x－2y＝5，令x＝0得y＝－.故选C. 答案　C 2．圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0公共弦所在的直线方程为________． 解析　将两圆方程相减，得4x－4y＋8＝0， 即x－y＋2＝0. 答案　x－y＋2＝0 [对应学生用书P183] 考点一　直线与圆的位置关系(多维探究　师生共研) 角度1　直线与圆的位置关系的判断 　圆C：x2＋y2－6x－8y＋21＝0和直线l：kx－y＋3－4k＝0的位置关系是(　　) A．相交、相切或相离 B．相交或相切 C．相交 D．相切 [解析]　圆C：x2＋y2－6x－8y＋21＝0，即(x－3)2＋(y－4)2＝22，圆心为C(3，4)，半径为r＝2. 法一　直线l：kx－y＋3－4k＝0，即k(x－4)－y＋3＝0，所以直线l过定点B(4，3). (4－3)2＋(3－4)2＝2＜4，所以点B(4，3)在圆C内，所以直线l与圆C相交．故选C. 法二　圆心C(3，4)到直线l：kx－y＋3－4k＝0的距离为＝＝＝≤＜2，所以直线与圆相交．故选C. [答案]　C 判断直线与圆的位置关系的两种方法 角度2　弦长问题 　(2023·新课标Ⅱ卷)已知直线x－my＋1＝0与⊙C：(x－1)2＋y2＝4交于A，B两点，写出满足“△ABC面积为”的m的一个值________． [解析]　设C到AB的距离为d，AB＝2，∴S△ABC＝·2·d＝， ∴d＝或，若d＝＝，则m＝±2；若d＝＝，则m＝±，∴m＝2或－2或－或(填其中一个即可). [答案]　m＝2或－2或－或(填其中一个即可) 直线被圆截得的弦长的两种求法 角度3　圆的切线问题 　(1)过点P(2，4)作圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的切线，则切线方程为(　　) A．3x＋4y－4＝0 B．4x－3y＋4＝0 C．x＝2或4x－3y＋4＝0 D．y＝4或3x＋4y－4＝0 (2)(2023·新课标Ⅰ卷)过点与圆x2＋y2－4x－1＝0相切的两条直线的夹角为α，则sin α＝(　　) A．1　　　　　　　　　 B． C． D． [解析]　(1)当斜率不存在时，直线x＝2与圆相切；当斜率存在时，设切线方程为y－4＝k(x－2)，即kx－y＋4－2k＝0，则＝1，解得k＝，得切线方程为4x－3y＋4＝0.综上，得切线方程为x＝2或4x－3y＋4＝0. (2)法一　因为x2＋y2－4x－1＝0，即2＋y2＝5，可得圆心C，半径r＝， 过点P作圆C的切线，切点为A，B， 因为＝＝2， 则＝＝， 可得sin ∠APC＝＝，cos ∠APC＝＝， 则sin ∠APB＝sin 2∠APC＝2sin ∠APC cos ∠APC＝2××＝， cos ∠APB＝cos 2∠APC＝cos 2∠APC－sin 2∠APC＝2－2＝－<0， 即∠APB为钝角， 所以sin α＝sin ＝sin ∠APB＝. 法二　圆x2＋y2－4x－1＝0的圆心C，半径r＝， 过点P作圆C的切线，切点为A，B，连接AB，可得＝＝2，则＝＝＝，因为2＋2－2cos ∠APB＝2＋2－2cos ∠ACB，且∠ACB＝π－∠APB， 则3＋3－6cos ∠APB＝5＋5－10cos (π－∠APB)， 即3－3cos ∠APB＝5＋5cos ∠APB， 解得cos ∠APB＝－<0， 即∠APB为钝角，则cos α＝cos ＝－cos ∠APB＝，且α为锐角， 所以sin α＝＝. 法三　圆x2＋y2－4x－1＝0的圆心C，半径r＝， 若切线斜率不存在，则切线方程为y＝0，则圆心到切点的距离d＝2<r，不合题意； 若切线斜率存在，设切线方程为y＝kx－2，即kx－y－2＝0， 则＝，整理得k2＋8k＋1＝0，且Δ＝64－4＝60>0， 设两切线斜率分别为k1，k2，则k1＋k2＝－8，k1k2＝1， 可得＝＝2， 所以tan α＝＝，即＝，可得cos α＝， 则sin 2α＋cos 2α＝sin 2α＋＝1， 且α∈，则sin α>0，解得sin α＝. 故选B. [答案]　(1)C　(2)B 解决直线与圆相切问题的策略 角度4　直线与圆位置关系中的最值(范围)问题 　已知点P(x0，y0)是直线l：x＋y＝4上的一点，过点P作圆O：x2＋y2＝2的两条切线，切点分别为A，B，则四边形PAOB的面积的最小值为________． [解析]　由圆O：x2＋y2＝2，得r＝， 四边形PAOB的面积S＝2S△PAO＝|PA|·|AO|＝|PA|， ∵点P(x0，y0)是直线l：x＋y＝4上的一点， ∴P(x0，4－x0)， 则|PA|＝＝， 又|PO|2＝x＋(4－x0)2＝2x－8x0＋16＝2(x0－2)2＋8≥8， ∴|PO|2－2≥6，则|PA|≥， ∴四边形PAOB的面积的最小值为×＝2. [答案]　2 直线与圆位置关系问题的解决方法 (1)设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，若直线与圆相切，则d＝r；若直线与圆相交，则所得弦长l＝2. (2)涉及与圆的切线有关的线段长度范围(最值)问题，解题关键是能够把所求线段长度表示为关于圆心与直线上的点的距离的函数关系式，利用求函数值域的方法求得结果． 1．若直线3x－4y－13＝0与圆(x－2)2＋(y＋3)2＝36交于A，B两点，则|AB|＝(　　) A．2 B．12 C．2 D．2 解析　因为圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝36，所以圆心为(2，－3)，半径r＝6，则圆心(2，－3)到直线3x－4y－13＝0的距离d＝＝＝1，所以直线3x－4y－13＝0被圆(x－2)2＋(y＋3)2＝36所截得的弦长|AB|＝2＝2＝2，故选C. 答案　C 2．(多选)(2021·新高考Ⅱ卷)已知直线l：ax＋by－r2＝0与圆C：x2＋y2＝r2，点A(a，b)，则下列说法正确的是(　　) A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离 C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切 解析　圆心C(0，0)到直线l的距离d＝， 若点A(a，b)在圆C上，则a2＋b2＝r2， 所以d＝＝|r|， 则直线l与圆C相切，故A正确； 若点A(a，b)在圆C内，则a2＋b2<r2， 所以d＝>|r|， 则直线l与圆C相离，故B正确； 若点A(a，b)在圆C外，则a2＋b2>r2， 所以d＝<|r|， 则直线l与圆C相交，故C错误； 若点A(a，b)在直线l上， 则a2＋b2－r2＝0即a2＋b2＝r2，所以d＝＝|r|，直线l与圆C相切，故D正确． 故选ABD. 答案　ABD 考点二　圆与圆的位置关系(重难考点　师生共研) 　已知圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：(x－2)2＋(y＋2)2＝1，则圆C1与C2的位置关系是(　　) A．相交 B．外离 C．外切 D．内含 (2)圆C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0与圆C2：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0的公共弦所在直线的方程为____________________，公共弦长为________． [解析]　(1)根据题意，可知圆C1的半径r1＝1，圆C2的半径r2＝1， 且两圆的圆心距d＝＝2＞1＋1，即d＞r1＋r2，故两圆外离． (2)联立两圆的方程得 两式相减并化简，得两圆公共弦所在直线的方程为x－2y＋4＝0. 设两圆相交于A，B两点，则A，B两点的坐标满足方程组 解得或 所以|AB|＝＝2， 即公共弦长为2. [答案]　(1)B　(2)x－2y＋4＝0　2 圆与圆的位置关系的求解策略 (1)判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法． (2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到． 1．圆x2－4x＋y2＝0与圆x2＋y2＋4x＋3＝0的公切线共有(　　) A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 解析　x2－4x＋y2＝0⇒(x－2)2＋y2＝22，圆心坐标为(2，0)，半径为2；x2＋y2＋4x＋3＝0⇒(x＋2)2＋y2＝12，圆心坐标为(－2，0)，半径为1.两圆圆心距为4，两圆半径和为3，因为4＞3，所以两圆的位置关系是外离，故两圆的公切线共有4条．故选D. 答案　D 2．过两圆x2＋y2－2y－4＝0与x2＋y2－4x＋2y＝0的交点，且圆心在直线l：2x＋4y－1＝0上的圆的方程为____________________． 解析　设所求圆的方程为x2＋y2－4x＋2y＋λ(x2＋y2－2y－4)＝0(λ≠－1)，则(1＋λ)x2－4x＋(1＋λ)y2＋(2－2λ)y－4λ＝0，把圆心坐标代入直线l，可得λ＝，故所求圆的方程为x2＋y2－3x＋y－1＝0. 答案　x2＋y2－3x＋y－1＝0 学科网（北京）股份有限公司 $$