第8章 第3讲 圆的方程（Word教参）-【导学教程】2025年数学新编高考大一轮总复习（北师大版）

第3讲　圆的方程 课标要求 考情分析 1．掌握圆的标准方程与一般方程． 2．会根据已知条件求圆的方程． 3．能够根据圆的方程解决相关问题． 考点考法：高考对该部分内容的考查一般不单独命题，常与其他知识相结合出现在选择题或填空题中，但也有可能出现在解答题中，试题难度一般不大． 核心素养：逻辑推理、数学运算． [对应学生用书P179] 圆的定义和圆的方程 定义 平面内到__定点__的距离等于__定长__的所有点的集合(或轨迹)叫作圆 标准 方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0) 圆心C(a，b) 半径为r 一般 方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0) 充要条件：D2＋E2－4F＞0 圆心C____ 半径r＝ [导学点清]　当D2＋E2－4F＞0时，此方程表示的图形是圆；当D2＋E2－4F＝0时，此方程表示一个点；当D2＋E2－4F＜0时，它不表示任何图形． 1．圆心为(1，1)且过原点的圆的方程是(　　) A．(x－1)2＋(y－1)2＝1 B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1 C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 D．(x－1)2＋(y－1)2＝2 解析　因为圆心为(1，1)且过原点，所以该圆的半径r＝＝，则该圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2. 答案　D 2．若直线2x＋y－1＝0是圆(x－a)2＋y2＝1的一条对称轴，则a＝(　　) A．　　　　　　　 B．－ C．1 D．－1 解析　由题可知圆心为(a，0)，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即2a＋0－1＝0，解得a＝. 答案　A 3．(忽略D2＋E2－4F＞0致误)若曲线C：x2＋y2＋2ax－4ay－10a＝0表示圆，则实数a的取值范围为(　　) A．(－2，0) B．(－∞，－2)∪(0，＋∞) C．[－2，0] D．(－∞，－2]∪[0，＋∞) 解析　由已知，得(2a)2＋(－4a)2－4×(－10a)＞0，即5a2＋10a＞0，解得a＞0或a＜－2. 答案　B 4．(多选)下列各点中，在圆(x－1)2＋(y＋2)2＝25的内部的是(　　) A．(0，2) B．(3，3) C．(－2，2) D．(4，1) 解析　由(0－1)2＋(2＋2)2＜25知(0，2)在圆内；由(3－1)2＋(3＋2)2＞25知(3，3)在圆外；由(－2－1)2＋(2＋2)2＝25知(－2，2)在圆上，由(4－1)2＋(1＋2)2＜25知(4，1)在圆内． 答案　AD 5．圆心在y轴上，半径长为1，且过点(1，2)的圆的一般方程是____________________． 解析　设圆心坐标为(0，b)，则(0－1)2＋(b－2)2＝12，解得b＝2.所以圆心为(0，2)，所以圆的方程为x2＋(y－2)2＝1，即x2＋y2－4y＋3＝0. 答案　x2＋y2－4y＋3＝0 1．以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0. 2．二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件 3．点与圆的位置关系 平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系： (1)|MC|＞r⇔M在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2⇔M在圆外； (2)|MC|＝r⇔M在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在圆上； (3)|MC|＜r⇔M在圆内，即(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2⇔M在圆内． 1．若点P(1，1)在圆C：x2＋y2＋x－y＋k＝0的外部，则实数k的取值范围是(　　) A．(－2，＋∞)　　　　　 B． C． D．(－2，2) 解析　由题意得 解得－2＜k＜，故选C. 答案　C 2．圆过点A(1，－2)，B(－1，4)，则周长最小的圆的方程为___________________． 解析　显然当AB为直径时，圆周长最小，此时圆的方程为(x－1)(x＋1)＋(y＋2)(y－4)＝0，即x2＋y2－2y－9＝0. 答案　x2＋y2－2y－9＝0 [对应学生用书P180] 考点一　圆的方程(基础考点　自练自悟) 1．半径为2的圆C的圆心在第四象限，且与直线x＝0和x＋y＝2 均相切，则该圆的标准方程为(　　) A．(x－1)2＋(y＋2)2＝4 B．(x－2)2＋(y＋2)2＝2 C．(x－2)2＋(y＋2)2＝4 D．(x－2)2＋(y＋2)2＝4 解析　设圆心坐标为(2，－a)(a＞0)，则圆心到直线x＋y＝2的距离d＝＝2，所以a＝2，所以该圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝4.故选C. 答案　C 2．过A(4，0)，B(0，－4)两点，且半径为4的圆的标准方程为____________________． 解析　由题意kAB＝1，所以AB中垂线的斜率为－1，AB中点坐标为(2，－2)，所以线段AB的垂直平分线的方程为y＋2＝－1×(x－2)，整理得x＋y＝0，可设圆心坐标为(a，－a)，圆的标准方程为(x－a)2＋(y＋a)2＝16，则(4－a)2＋a2＝16，解得a＝0或a＝4，故所求圆的标准方程为x2＋y2＝16或(x－4)2＋(y＋4)2＝16. 答案　x2＋y2＝16或(x－4)2＋(y＋4)2＝16 3．(2022·全国甲卷)设点M在直线2x＋y－1＝0上，点(3，0)和(0，1)均在⊙M上，则⊙M的方程为____________________． 解析　法一　因为点(3，0)和(0，1)的中点为，且过点(3，0)和(0，1)的直线的斜率为k＝－， 所以点(3，0)和(0，1)的垂直平分线方程为y＝3x－4， 联立方程解得圆心M(1，－1). 又r2＝(3－1)2＋12＝5， 所以⊙M的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5. 法二　设圆心M(a，1－2a)，则r2＝(a－3)2＋(1－2a)2＝(a－0)2＋(1－2a－1)2，解得a＝1. 从而得⊙M的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5. 答案　(x－1)2＋(y＋1)2＝5 求圆的方程的两种方法 考点二　与圆有关的轨迹问题(重难考点　师生共研) 　已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1，0)，B(3，0).求： (1)直角顶点C的轨迹方程； (2)直角边BC的中点M的轨迹方程． [解析]　(1)法一　设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y≠0. 因为AC⊥BC，且BC，AC斜率均存在， 所以kAC·kBC＝－1， 又kAC＝，kBC＝， 所以·＝－1， 化简得x2＋y2－2x－3＝0. 因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(y≠0). 法二　设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1，0)，由直角三角形的性质知|CD|＝|AB|＝2.由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1，0)为圆心，2为半径的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点). 所以直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0). (2)设M(x，y)，C(x0，y0)，因为B(3，0)，M是线段BC的中点，由中点坐标公式得x＝，y＝， 所以x0＝2x－3，y0＝2y. 由(1)知，点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)， 将x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4，即(x－2)2＋y2＝1. 因此动点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(y≠0). 求与圆有关的轨迹问题的常用方法 已知定点M(1，0)，N(2，0)，动点P满足|PN|＝|PM|. (1)求动点P的轨迹C的方程； (2)已知点B(6，0)，点A在轨迹C上运动，求线段AB上靠近点B的三等分点Q的轨迹方程． 解析　(1)设动点P的坐标为(x，y)， 因为M(1，0)，N(2，0)，且|PN|＝|PM|， 所以＝·， 整理得x2＋y2＝2， 所以动点P的轨迹C的方程为x2＋y2＝2. (2)设点Q的坐标为(x，y)，点A的坐标为(xA，yA)， 因为Q是线段AB上靠近点B的三等分点， 所以＝2，即(x－xA，y－yA)＝2(6－x，－y)， 解得 又点A在轨迹C上运动， 由(1)有(3x－12)2＋(3y)2＝2， 化简得(x－4)2＋y2＝， 即点Q的轨迹方程为(x－4)2＋y2＝. 考点三　与圆有关的最值问题(多维探究　师生共研) 角度1　借助几何性质求最值 　已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.求： (1)的最大值和最小值； (2)y－x的最小值； (3)x2＋y2的最大值和最小值． [解析]　(1)如图，方程x2＋y2－4x＋1＝0表示以点(2，0)为圆心，为半径的圆． 设＝k，即y＝kx，则圆心(2，0)到直线y＝kx的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、最小值． 由＝，解得k2＝3， ∴kmax＝，kmin＝－. ∴＝，＝－. (2)设y－x＝b，则y＝x＋b，当且仅当直线y＝x＋b与圆相切于第四象限时，截距b取最小值，由点到直线的距离公式，得＝，即b＝－2±，故(y－x)min＝－2－. (3)x2＋y2是圆上点与原点的距离的平方，设圆与x轴相交于点B和C′(点B在点C′左侧)，则(x2＋y2)max＝|OC′|2＝(2＋)2＝7＋4，(x2＋y2)min＝|OB|2＝(2－)2＝7－4. 与圆有关的最值问题的三种几何转化法 角度2　建立函数关系式求最值 　设点P(x，y)是圆：x2＋(y－3)2＝1上的动点，定点A(2，0)，B(－2，0)，则·的最大值为________． [解析]　由题意，知＝(2－x，－y)，＝(－2－x，－y)，所以·＝x2＋y2－4，由于点P(x，y)是圆上的点，故其坐标满足方程x2＋(y－3)2＝1，故x2＝－(y－3)2＋1，所以·＝－(y－3)2＋1＋y2－4＝6y－12.由圆的方程x2＋(y－3)2＝1，易知2≤y≤4，所以，当y＝4时，·的值最大，最大值为6×4－12＝12. [答案]　12 (变条件、变设问)若将本例改为“设点P(x，y)是圆(x－3)2＋y2＝4上的动点，定点A(0，2)，B(0，－2)”，则|＋|的最大值为________． 解析　由题意，知＝(－x，2－y)，＝(－x，－2－y)，所以＋＝(－2x，－2y)，由于点P(x，y)是圆上的点，故其坐标满足方程(x－3)2＋y2＝4，故y2＝－(x－3)2＋4，所以|＋|＝＝2.由圆的方程(x－3)2＋y2＝4，易知1≤x≤5，所以当x＝5时，|＋|的值最大，最大值为2＝10. 答案　10 建立函数关系式求最值 根据题目条件列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等，利用二次函数或基本不等式求最值是比较常用的． 1．已知圆C：x2＋y2＋2x－2my－4－4m＝0(m∈R)，则当圆C的面积最小时，圆上的点到坐标原点的距离的最大值为(　　) A．　　　　　　　　　 B．6 C．－1 D．＋1 解析　由x2＋y2＋2x－2my－4－4m＝0得(x＋1)2＋(y－m)2＝m2＋4m＋5，所以圆心为C(－1，m)，半径为r＝＝≥1，当且仅当m＝－2时，半径最小，则面积也最小，所以圆心为C(－1，－2)，半径为r＝1，所以圆心到坐标原点的距离为d＝＝＞r，即原点在圆C外，根据圆的性质，圆上的点到坐标原点的距离的最大值为d＋r＝＋1.故选D. 答案　D 2．已知A(0，2)，点P在直线x＋y＋2＝0上，点Q在圆C：x2＋y2－4x－2y＝0上，则|PA|＋|PQ|的最小值是________． 解析　圆C：x2＋y2－4x－2y＝0，故圆C是以C(2，1)为圆心，半径r＝的圆． 设点A(0，2)关于直线x＋y＋2＝0的对称点为A′(m，n)， 故解得故A′(－4，－2). 连接A′C交圆C于点Q(图略)，由对称性可知|PA|＋|PQ|＝|A′P|＋|PQ|≥|A′Q|＝|A′C|－r＝2. 答案　2 学科网（北京）股份有限公司 $$