第8章 第1讲 直线的方程（Word教参）-【导学教程】2025年数学新编高考大一轮总复习（北师大版）

第1讲　直线的方程 课标要求 考情分析 1．在平面直角坐标系中，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素． 2．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式． 3．掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系． 考点考法：直线及其方程在高考中单独考查的较少，通常与其他知识结合起来进行考查．常见方式为：一是与导数结合，求曲线的斜率、倾斜角和切线方程等；二是与圆、圆锥曲线结合，考查直线与圆、圆锥曲线的位置关系等． 核心素养：逻辑推理、数学运算． [对应学生用书P173] 1．直线的倾斜角与斜率 (1)直线的倾斜角 ①定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，把x轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l首次重合时所成的角，称为直线l的倾斜角，通常用α表示； ②规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为__0__； ③范围：直线的倾斜角α的取值范围为__[0，π)__． [导学点清]　倾斜角从“形”的方面直观地描述了直线对x轴正方向的倾斜程度．每条直线都有唯一确定的倾斜角． (2)直线的斜率 ①定义式：直线l的倾斜角为α，则斜率k＝tan α； ②坐标式：P1 (x1，y1)，P2 (x2，y2)在直线l上，且x1≠x2，则直线l的斜率k＝.若k是直线l的斜率，则v＝(1，k)是它的一个方向向量；若直线l的一个方向向量的坐标为(x，y)，其中x≠0，则它的斜率k＝. 2．直线方程的五种形式 名称 方程 适用范围 点斜式 y－y0＝k(x－x0) 不含直线x＝x0 斜截式 y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线 两点式 ＝(x1≠x2，y1≠y2) 不含直线x＝x1和直线y＝y1 截距式 ＋＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0) 平面直角坐标系内的直线都适用 1．若过点M(－2，m)，N(m，4)的直线的斜率等于1，则m的值为(　　) A．1　　　　　　　　　 B．4 C．1或3 D．1或4 解析　由题意得＝1，解得m＝1. 答案　A 2．倾斜角为135°，在y轴上的截距为－1的直线方程是(　　) A．x－y＋1＝0 B．x－y－1＝0 C．x＋y－1＝0 D．x＋y＋1＝0 解析　直线的斜率为k＝tan 135°＝－1，所以直线方程为y＝－x－1，即x＋y＋1＝0. 答案　D 3．(不理解倾斜角和斜率致误)已知直线方程为x cos 300°＋y sin 300°＝3，则直线的倾斜角为(　　) A．60° B．60°或300° C．30° D．30°或330° 解析　直线的斜率为k＝－＝ －＝＝. 因为直线倾斜角的取值范围为[0°，180°)， 所以所求直线的倾斜角为30°，故选C. 答案　C 4．过点P(－1，)且倾斜角为30°的直线方程为____________． 解析　由点斜式可得y－＝tan 30°(x＋1)，即y－＝(x＋1)，化简得x－y＋4＝0. 答案　x－y＋4＝0 5．(不理解截距的概念致误)过点P(2，3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为________． 解析　当截距为0时，直线方程为3x－2y＝0；当截距不为0时，设直线方程为＋＝1，则＋＝1，解得a＝5.所以直线方程为x＋y－5＝0. 答案　3x－2y＝0或x＋y－5＝0 1．直线的倾斜角α和斜率k之间的对应关系 α 0 0＜α＜ ＜α＜π k 0 k＞0 不存在 k＜0 2．识记几种特殊位置的直线方程 (1)x轴：y＝0. (2)y轴：x＝0. (3)平行于x轴的直线：y＝b(b≠0). (4)平行于y轴的直线：x＝a(a≠0). (5)过原点且斜率存在的直线：y＝kx. 1.(2024·南充模拟)如图，设直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则k1，k2，k3的大小关系为(　　) A．k1＜k2＜k3 B．k2＜k1＜k3 C．k3＜k2＜k1 D．k1＜k3＜k2 解析　由题图可知，l2，l3的倾斜角为锐角，且l2比l3倾斜程度更大，l1的倾斜角为钝角，故k1＜k3＜k2，故选D. 答案　D 2．(2024·吉安模拟)直线y＝1的斜率是________． 解析　直线y＝1的图象如图所示： 易知其倾斜角α＝0°，其斜率k＝tan 0°＝0. 答案　0 [对应学生用书P174] 考点一　直线的倾斜角与斜率(基础考点　自练自悟) 1．若A(－2，3)，B(3，－2)，C三点在同一条直线上，则m的值为(　　) A．　　　　　　　　　 B． C．－ D．－ 解析　因为A，B，C三点在同一条直线上，所以kAB＝kAC，所以＝，解得m＝. 答案　B 2．直线x sin α＋y＋2＝0的倾斜角的取值范围是(　　) A．[0，π) B．∪ C． D．∪ 解析　设直线的倾斜角为θ，则有tan θ＝－sin α. 因为sin α∈[－1，1]，所以－1≤tan θ≤1， 又θ∈[0，π)，所以0≤θ≤或≤θ＜π，故选B. 答案　B 3．直线l过点P(1，0)，且与以A(2，1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l的斜率k的取值范围为________． 解析　如图，因为kAP＝＝1，kBP＝＝－，所以直线l的斜率k∈(－∞，－]∪[1，＋∞). 答案　(－∞，－]∪[1，＋∞) 斜率取值范围的三种求法 (1)数形结合法：作出直线在平面直角坐标系中可能的位置，借助图形，结合正切函数的单调性确定． (2)构建不等式法：利用不等式所表示的平面区域的性质、转化线线的位置关系，构造不等式求范围． (3)利用斜率关于倾斜角的函数图象，由倾斜角范围求斜率范围，反之亦可． 考点二　直线的方程(重难考点　师生共研) 　求下列直线的一般式方程． (1)已知直线l过点A(－2，5)且直线的一个方向向量为n＝(－3，4)； (2)过点P(－2，3)且与x轴、y轴分别交于A，B两点，且P恰为线段AB的中点； (3)倾斜角为直线y＝－x＋5的倾斜角的一半，在y轴上的截距为－2； (4)直线过点(－3，4)，且在两坐标轴上的截距之和为12. [解析]　(1)由直线l的一个方向向量为n＝(－3，4)可知k＝－，由点斜式可知直线的方程为y－5＝－(x＋2)，整理可得4x＋3y－7＝0. (2)设A(x，0)，B(0，y)， 由中点坐标公式得＝－2，＝3， 解得x＝－4，y＝6， 因此直线l过点(－2，3)，(－4，0). 因此直线l的方程为＝， 整理可得3x－2y＋12＝0. (3)因为直线y＝－x＋5的斜率为－， 所以其倾斜角为， 故所求直线的倾斜角为，其斜率为k＝tan ＝，又截距b＝－2，所以直线方程为y＝x－2，即x－y－2＝0. (4)由题设知直线的横、纵截距均不为0， 故可设直线方程为＋＝1. 因为直线过点(－3，4)，所以＋＝1， 解得a＝－4或a＝9. 故所求直线方程为4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0. 求直线方程的两种方法 1．已知△ABC的三个顶点坐标为A(1，2)，B(3，6)，C(5，2)，M为AB的中点，N为AC的中点，则中位线MN所在直线的方程为(　　) A．2x＋y－12＝0 B．2x－y－12＝0 C．2x＋y－8＝0 D．2x－y＋8＝0 解析　由题知M(2，4)，N(3，2)，中位线MN所在直线的方程为＝，整理得2x＋y－8＝0. 答案　C 2．已知A(－1，1)，B(3，1)，C(1，3)，则△ABC的边BC上的高所在的直线方程为(　　) A．x＋y＝0 B．x－y＋2＝0 C．x＋y＋2＝0 D．x－y＝0 解析　因为B(3，1)，C(1，3)，所以kBC＝＝－1，故BC边上的高所在直线的斜率k＝1，又高线经过点A(－1，1)，所以其所在的直线方程为x－y＋2＝0.故选B. 答案　B 考点三　直线方程的综合应用(一题多变　师生共研) 　已知直线l过点M(2，1)，且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，当△AOB面积最小时，求直线l的方程． [解析]　法一　设直线l的方程为y－1＝k(x－2)， 则可得A，B(0，1－2k). ∵直线l与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点， ∴解得k＜0. 于是S△AOB＝·|OA|·|OB|＝··(1－2k) ＝≥＝4，当且仅当－＝－4k且k＜0，即k＝－时，等号成立，此时△AOB面积最小，直线l的方程为y－1＝－(x－2)，即x＋2y－4＝0. 法二　设所求直线l的方程为＋＝1(a＞0，b＞0)，则＋＝1. 又＋≥2，∴ab≥4，当且仅当＝＝，即a＝4，b＝2时，等号成立，此时△AOB的面积S＝ab最小，直线l的方程是＋＝1，即x＋2y－4＝0. 1．(变条件)在本例中，当|MA|·|MB|取得最小值时，求直线l的方程． 解析　法一　设直线l的方程为y－1＝k(x－2)，可得A，B(0，1－2k). ∵直线l与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点， ∴解得k＜0. ∴|MA|·|MB|＝·＝＝2≥4，当且仅当－k＝－且k＜0，即k＝－1时，等号成立． 此时直线l的方程为x＋y－3＝0. 法二　设所求直线l的方程为＋＝1(a＞0，b＞0)，则可得A(a，0)，B(0，b)，＋＝1. ∴|MA|·|MB|＝||·||＝－·＝－(a－2，－1)·(－2，b－1)＝2(a－2)＋b－1＝2a＋b－5＝(2a＋b)－5＝2≥4，当且仅当a＝b＝3时，等号成立． 此时直线l的方程为x＋y－3＝0. 2．(变条件)在本例中，当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线l的方程． 解析　设所求直线l的方程为＋＝1(a＞0，b＞0)，则＋＝1，所以|OA|＋|OB|＝a＋b＝(a＋b)·＝3＋＋≥3＋2， 当且仅当a＝2＋，b＝1＋时，等号成立． 所以当|OA|＋|OB|取最小值时，直线l的方程为x＋y－2－＝0. 与直线方程有关的最值问题的解题策略 学科网（北京）股份有限公司 $$