第7章 第5讲 空间向量的概念与运算（Word教参）-【导学教程】2025年数学新编高考大一轮总复习（北师大版）

第5讲　空间向量的概念与运算 课标要求 考情分析 1．会进行空间向量的线性运算． 2．理解共线向量定理与共面向量定理，并能解决相关问题． 3．会进行向量的数量积运算，能利用向量的数量积解决向量的夹角、模以及两向量的垂直问题． 考点考法：高考命题常与直线、平面的平行与垂直以及空间角结合在一起考查，主要考查如何建立空间直角坐标系，求点的坐标以及运用公式求解问题． 核心素养：数学运算、逻辑推理、直观想象． [对应学生用书P158] 1．空间向量及其有关概念 概念 语言描述 共线向量(平行向量) 表示向量的两条有向线段所在的直线__平行或重合__ 共面向量 平行于同一平面的向量 共线向量定理 空间两个向量a，b(b≠0)共线的充要条件是存在唯一的实数λ，使__a＝λb__ 共面向量定理 如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面⇔存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb 空间向量 基本定理 (1)如果向量a，b，c是空间三个不共面的向量，p是空间任意一个向量，那么存在唯一的三元有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc. (2)如果向量a，b，c是空间三个不共面向量，那么所有的空间向量组成的集合就是{p|p＝xa＋yb＋zc，x，y，z∈R}，这个集合可以看成是由向量a，b，c生成的，这时{a，b，c}叫作空间的一组基，其中a，b，c都叫作基向量 [导学点清]　 空间向量基本定理的三点注意 (1)空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一组基． (2)由于0与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，故0不能作为基向量． (3)基选定后，空间的所有向量均可由基唯一表示． 2．空间向量的数量积及坐标运算 (1)两个非零空间向量的数量积 ①a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉； ②a⊥b⇔a·b＝0； ③设a＝(x，y，z)，则|a|2＝a2，|a|＝. (2)空间向量运算的坐标表示 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3). 向量和 a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 向量差 a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数乘向量 λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R 数量积 a·b＝__a1b1＋a2b2＋a3b3__ 共线 a∥b⇒a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R，b≠0) 垂直 a⊥b⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 夹角公式 cos 〈a，b〉＝＝(a≠0，b≠0) 1．(不明基向量的概念致误)若{a，b，c}是空间的一个基，且向量m＝a＋b，n＝a－b，则可以与m，n构成空间的另一个基向量是(　　) A．a　　　　　　　　　 B．b C．c D．2a 解析　由题意知，a，b，c不共面，对于选项A，a＝[(a＋b)＋(a－b)]＝m＋n，故a，m，n共面，排除A；对于选项B，b＝[(a＋b)－(a－b)]＝m－n，故b，m，n共面，排除B；对于选项D，由选项A得，2a＝m＋n，故2a，m，n共面，排除D.故选C. 答案　C 2．(混淆向量共线与直线平行致误)在空间直角坐标系中，已知A(1，2，3)，B(－2，－1，6)，C(3，2，1)，D(4，3，0)，则直线AB与CD的位置关系是(　　) A．垂直 B．平行 C．异面 D．相交但不垂直 解析　由题意得，＝(－3，－3，3)，＝(1，1，－1)，所以＝－3，所以与共线，又AB与CD没有公共点，所以AB∥CD. 答案　B 3．如图，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，AC与BD的交点为点M，设＝a，＝b，＝c，则下列向量与相等的是(　　) A．－a＋b＋c B．a＋b＋c C．－a－b－c D．－a－b＋c 解析　＝＋＝＋(＋)＝＋＋＝－a－b－c. 答案　C 4．设直线l1，l2的方向向量分别为a＝(－2，2，1)，b＝(3，－2，m)，若l1⊥l2，则m＝________． 解析　∵l1⊥l2，∴a⊥b，∴a·b＝－6－4＋m＝0，∴m＝10. 答案　10 5．若正四面体ABCD的棱长为2，点E，F分别为BC，AD的中点，则EF的长为________． 解析　因为＝＋＋＝－＋＋＝－＋＋(－)＝－＋＋， 所以||2＝||2＋||2－·＋·－·＋||2＝2. 所以||＝，所以EF的长为. 答案　 1．证明空间任意三点共线的方法 对空间任意三点P，A，B，可通过证明下列结论成立来证明三点共线． ①＝λ(λ∈R)； ②对空间任意一点O，＝＋t(t∈R)； ③对空间任意一点O，＝x＋y(x＋y＝1). 2．证明空间四点共面的方法 对空间四点P，M，A，B，除用空间向量基本定理外，也可通过证明下列结论成立来证明共面． ①＝x＋y(x，y∈R)； ②对空间任一点O，＝＋x＋y(x，y∈R)； ③∥(或∥或∥). 1．已知空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若＝x＋y＋z(x，y，z∈R)，则“x＝1，y＝－3，z＝3”是“P，A，B，C四点共面”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析　当x＝1，y＝－3，z＝3时，x＋y＋z＝1－3＋3＝1，则P，A，B，C四点共面；而x＋y＋z＝1的x，y，z不止1，－3，3这一组，故“x＝1，y＝－3，z＝3”是“P，A，B，C四点共面”的充分不必要条件．故选A. 答案　A 2．已知四点A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，P(1，1，1)，则点P________(填“∈”或“∉”)平面ABC. 解析　设＝x＋y(x，y∈R)， 则(0，1，1)＝x(－1，1，0)＋y(－1，0，1)， 得所以x，y无解，所以点P∉平面ABC. 答案　∉ [对应学生用书P160] 考点一　空间向量的线性运算(基础考点　自练自悟) 1．在空间四边形ABCD中，＝(－3，5，2)，＝(－7，－1，－4)，点E，F分别为线段BC，AD的中点，则的坐标为(　　) A．(2，3，3)　　　　　　　 B．(－2，－3，－3) C．(5，－2，1) D．(－5，2，－1) 解析　因为点E，F分别为线段BC，AD的中点，设O为坐标原点， 所以＝－，＝(＋)， ＝(＋). 所以＝(＋)－(＋)＝(＋)＝×[(3，－5，－2)＋(－7，－1，－4)]＝×(－4，－6，－6)＝(－2，－3，－3). 答案　B 2．已知矩形ABCD，P为平面ABCD外一点，M，N分别为PC，PD上的点，且＝x＋y＋z(x，y，z∈R)，＝2，＝，则x＋y＋z的值为(　　) A.－ B． C．1 D． 解析　由题可知＝＋－＝＋－，＝－， 所以＝＋ ＝＋ ＝(－)＋(＋－) ＝－＋＋， 所以x＝，y＝，z＝－， 所以x＋y＋z＝.故选B. 答案　B 3．如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，O为AC的中点． (1)化简：－－＝________； (2)用，，表示，则＝________． 解析　(1)－－＝－(＋)＝－＝＋＝. (2)因为＝＝(＋). 所以＝＋＝(＋)＋＝＋＋. 答案　(1)　(2)＋＋ 空间向量的线性运算中的三个关键点 考点二　共线向量、共面向量的应用(重难考点　师生共研) 　已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足＝(＋＋). (1)判断，，三个向量是否共面； (2)判断点M是否在平面ABC内． [解析]　(1)由题知＋＋＝3， 所以－＝－＋－， 即＝＋＝－－， 所以，，共面． (2)由(1)知，，共面且有公共点M， 所以M，A，B，C四点共面，即点M在平面ABC内． 向量共线的判定与向量法证明四点共面的关键 1．若A(－1，2，3)，B(2，1，4)，C(m，n，1)三点共线，则m＋n＝________． 解析　因为＝(3，－1，1)，＝(m＋1，n－2，－2)，且A，B，C三点共线， 所以存在实数λ，使得＝ ， 即(m＋1，n－2，－2)＝λ(3，－1，1)＝(3λ，－λ，λ)， 所以解得λ＝－2，m＝－7，n＝4. 所以m＋n＝－3. 答案　－3 2．已知空间四个点A(－3，x，3)，B(－2，－1，4)，C(0，3，0)，D(1，1，1)在同一个平面内，则实数x＝____________． 解析　＝(1，－1－x，1)，＝(2，4，－4)，＝(1，－2，1)， 设＝a＋b，a，b∈R， 所以(1，－2，1)＝(a，－a－ax，a)＋(2b，4b，－4b)＝(a＋2b，4b－a－ax，a－4b)， 所以 解得a＝1，b＝0，x＝1. 答案　1 考点三　空间向量数量积的应用(一题多变　师生共研) 　如图所示，已知空间四面体ABCD的每条棱长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点，计算： (1)·； (2)·. [解析]　设＝a，＝b，＝c. 则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°. (1)＝＝c－a，＝－a，所以·＝·(－a)＝a2－a·c＝. (2)·＝(＋＋)·(－) ＝·(－) ＝·(－) ＝·(c－a) ＝×＝. 1．(变设问)在本例条件下，求证：EG⊥AB. 证明　由例题知＝(＋－)＝(b＋c－a)，所以·＝(a·b＋a·c－a2)＝×＝0.故⊥，即EG⊥AB. 2．(变设问)在本例条件下，求EG的长． 解析　由例题知＝－a＋b＋c， ||2＝a2＋b2＋c2－a·b＋b·c－c·a＝，则||＝，即EG的长为. 3．(变设问)在本例条件下，求异面直线AG与CE所成角的余弦值． 解析　由例题知＝b＋c，＝＋＝－b＋a，cos 〈，〉＝＝－， 因为异面直线所成角的范围是， 所以异面直线AG与CE所成角的余弦值为. 空间向量数量积的三个应用 求夹角 设向量a，b的夹角为θ，则cos θ＝，进而可求两异面直线所成的角 求长度 (距离) 运用公式|a|2＝a·a，可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题 解决垂 直问题 利用a⊥b⇔a·b＝0(a≠0，b≠0)，可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题 已知A(－1，2，1)，B(－1，5，4)，C(1，3，4). (1)求〈，〉； (2)求 在 上的投影向量． 解析　(1)因为A(－1，2，1)，B(－1，5，4)，C(1，3，4)， 所以＝(0，3，3)，＝(2，－2，0). 因为·＝0×2＋3×(－2)＋3×0＝－6，||＝3，||＝2， 所以cos 〈，〉＝＝＝－，又〈，〉∈[0，π]， 故〈，〉＝. (2)因为＝(2，1，3)，＝(0，3，3)， 所以·＝0＋1×3＋3×3＝12. 因为||＝3，||＝， 所以cos 〈，〉＝＝＝， 所以在上的投影向量为||cos 〈，〉＝××＝＝(0，2，2). 学科网（北京）股份有限公司 $$