导学微点2 巧用函数性质的二级结论（Word教参）-【导学教程】2025年数学新编高考大一轮总复习（北师大版）

[对应学生用书P30] 关于函数的奇偶性、周期性、对称性，有很多重要的二级结论，运用这些结论解决客观题非常简洁、高效，举例说明如下． 类型一　应用奇函数的二级结论解题 结论1：如果函数f(x)是奇函数且在x＝0处有意义，那么f(0)＝0. 结论2：若奇函数f(x)在关于原点对称的区间上有最值，则f(x)max＋f(x)min＝0. 结论3：若函数f(x)是奇函数，且g(x)＝f(x)＋c，则必有g(－x)＋g(x)＝2c. 结论4：若函数f(x)是奇函数，且在关于原点对称的区间上有最值，g(x)＝f(x)＋c，则必有g(x)max＋g(x)min＝2c. 　(1)已知函数f(x)＝＋1，且f(a)＝5，则f(－a)＝(　　) A．2　　　　　　　　 B．3 C．－2 D．－3 (2)若函数f(x)＝在区间[－3，5]上的最大值、最小值分别为p，q，则p＋q的值为(　　) A．2 B．1 C．6 D．3 [解析]　(1)设g(x)＝，因为g(x)的定义域为R，g(－x)＝＝－＝－g(x)，所以g(x)为奇函数，又g(a)＝f(a)－1＝4，所以g(－a)＝f(－a)－1＝－4，则f(－a)＝－3.故选D. (2)因为f(x)＝＝3－，所以f(x)－3＝－，则f(x＋1)－3＝－，即函数f(x＋1)－3为奇函数，所以它在区间[－4，4]上的最大值、最小值之和为0，即p－3＋q－3＝0，所以p＋q＝6.故选C. [答案]　(1)D　(2)C 类型二　应用周期性的二级结论解题 对f(x)定义域内任一自变量的值x(a，b为非零常数). 结论1：若f(x＋a)＝f(x－a)，则f(x)的一个周期为2a； 结论2：若f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)的一个周期为2a； 结论3：若f(x＋a)＋f(x)＝c(c∈R)，则f(x)的一个周期为2a； 结论4：若f(x)＝f(x＋a)＋f(x－a)，则f(x)的一个周期为6a； 结论5：若f(x＋a)＝，则f(x)的一个周期为2a； 结论6：若f(x＋a)＝－，则f(x)的一个周期为2a； 结论7：若函数f(x)的图象关于直线x＝a与x＝b对称，则f(x)的一个周期为2|b－a|(b≠a). 结论8：若函数f(x)的图象关于点(a，0)对称，又关于点(b，0)对称，则f(x)的一个周期为2|b－a|(b≠a). 结论9：若函数f(x)的图象关于直线x＝a对称，又关于点(b，0)对称，则f(x)的一个周期为4|b－a|(b≠a). (注意　结论7～结论9的记忆：两次对称成周期，两轴两心二倍差，一轴一心四倍差) 　已知函数f(x＋1)＝，若f(3)＝2，则f(2 023)＝________． [解析]　由f(x＋1)＝，联想tan ＝，由于函数y＝tan 的最小正周期为π＝4×，故猜想函数f(x＋1)的周期为4×1＝4.事实上，由f(x＋2)＝f[(x＋1)＋1]＝＝－，得f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－＝f(x)，即函数f(x)的周期是4，∴f(2 023)＝f(4×505＋3)＝f(3)＝2. [答案]　2 类型三　应用对称性的二级结论解题 结论1：若函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称，则f(a＋x)＝f(a－x). 关系式f(a＋x)＝f(a－x)也可以写成f(x)＝f(2a－x)或f(－x)＝f(2a＋x). 若写成f(a＋x)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝＝对称． 结论2：若函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称，则f(a＋x)＋f(a－x)＝2b. 关系式f(a＋x)＋f(a－x)＝2b也可以写成f(2a＋x)＋f(－x)＝2b或f(2a－x)＋f(x)＝2b. 特别地，f(a＋x)＋f(a－x)＝0，函数y＝f(x)的图象关于点(a，0)对称． 　已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)＝f(2－x)，若函数y＝|x2－2x－3|与y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则i＝(　　) A．0 B．m C．2m D．4 [解析]　根据f(x)＝f(2－x)，可知f(x)的图象关于直线x＝1对称，而y＝|x2－2x－3|的图象也关于直线x＝1对称，因而它们的交点也关于直线x＝1对称，每一组对称点的横坐标有xi＋xi′＝2×1，则i＝×＝(xi＋xi′)＝×2×m＝m. [答案]　B 1．定义在R上的函数f(x)满足f＋f(x)＝0，且y＝f为奇函数，则下列关于函数f(x)的说法一定正确的是(　　) A．周期为 B．图象关于点对称 C．是奇函数 D．图象关于直线x＝对称 解析　由f＝－f(x)，可知f(x)的周期为2×＝5，故A错误；由y＝f为奇函数，可知f(x)的图象关于点中心对称，故B正确；由已知得f＝－f(x)，又f＝－f(x)，∴f＝f，∴f(x)为偶函数，故C错误；∵f(x)为偶函数且f(x)的图象关于点对称，∴f(x)的图象关于点对称，故D错误．故选B. 答案　B 2．已知函数f(x)＝的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝________． 解析　f(x)＝＝1＋，令g(x)＝，容易判断g(x)为奇函数．因为f(x)＝g(x)＋1，所以f(x)的最大值与最小值之和等于2，即M＋m＝2. 答案　2 学科网（北京）股份有限公司 $$