第1章 第5讲 一元二次函数与一元二次不等式（Word教参）-【导学教程】2025年数学新编高考大一轮总复习（北师大版）

第5讲　一元二次函数与一元二次不等式 课标要求 考情分析 1．会结合一元二次函数的图象判断一元二次方程根的个数，了解二次函数零点与一元二次方程根的关系． 2．会从实际情境中抽象出一元二次不等式． 3．能借助一元二次函数解一元二次不等式． 考点考法：二次函数是高考必考的知识，主要考查借助二次函数解一元二次不等式，利用二次函数图象解决一元二次不等式恒成立问题或求参数的取值(范围)问题． 核心素养：数学抽象、数学运算、逻辑推理． [对应学生用书P14] 一元二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 类别 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1＜x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集 __{x|x＜x1，或x＞x2}__ ____ __R__ ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集 __{x|x1＜x＜x2}__ __∅__ __∅__ [导学点清]　对于不等式ax2＋bx＋c＞0，求解时不要忘记a＝0时的情形． 1．已知集合A＝{x|x2－x－6＞0}，则∁RA等于(　　) A．{x|－2＜x＜3} B．{x|－2≤x≤3} C．{x|x＜－2}∪{x|x＞3} D．{x|x≤－2}∪{x|x≥3} 解析　由x2－x－6＞0得x＞3或x＜－2，即A＝{x|x＜－2，或x＞3}，所以∁RA＝{x|－2≤x≤3}，故选B. 答案　B 2．若不等式ax2＋bx＋2＞0的解集为，则a－b的值是(　　) A．－10　　　　　　　 B．－14 C．10 D．14 解析　因为x1＝－，x2＝是方程ax2＋bx＋2＝0的两个根，所以解得所以a－b＝－10. 答案　A 3．若0＜m＜1，则不等式(x－m)＜0的解集为(　　) A． B． C． D． 解析　当0＜m＜1时，m＜，所以不等式的解集为. 答案　D 4．不等式x(x＋5)＜3(x＋5)的解集为________． 解析　原不等式等价于(x＋5)(x－3)＜0，解得－5＜x＜3，即该不等式的解集为(－5，3). 答案　(－5，3) 5．(忽略二次项的符号致误)不等式(x＋1)(3－2x)≥0的解集为________． 解析　由(x＋1)(3－2x)≥0，得(x＋1)(2x－3)≤0，所以不等式的解集为. 答案　 1．分式不等式的解法 (1)＞0(＜0)⇔f(x)g(x)＞0(＜0). (2)≥0(≤0)⇔ 2．两个恒成立的充要条件 (1)一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0对任意实数x恒成立⇔ (2)一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0对任意实数x恒成立⇔ 1．已知集合A＝{x|x2≤25}，B＝，则A∩B＝(　　) A．(－∞，－5]　　　　 B．[－5，－1) C．[－5，－1]∪[5，7) D．[－5，－1] 解析　因为x2≤25，所以集合A＝{x|－5≤x≤5}． 因为≥0，则解得x＞7或x≤－1，所以集合B＝{x|x＞7，或x≤－1}．所以A∩B＝[－5，－1].故选D. 答案　D 2．(2024·济宁模拟)若不等式ax2＋ax＋a＋3≥0在R上恒成立，则实数a的取值范围是________． 解析　当a＝0时，不等式为3＞0，满足题意； 当a≠0时，需满足 解得a＞0， 综上可得，a的取值范围为{a|a≥0}． 答案　{a|a≥0} [对应学生用书P15] 考点一　一元二次不等式的求解(多维探究　师生共研) 角度1　不含参不等式 　解下列关于x的不等式． (1)(x＋1)2－x≥7； (2)＜1. [解析]　(1)不等式(x＋1)2－x≥7整理得x2＋x－6≥0，解得x≤－3或x≥2，则不等式(x＋1)2－x≥7的解集为(－∞，－3]∪[2，＋∞). (2)＜1，即－1＜0，即＜0，解得－7＜x＜2，因此不等式的解集为(－7，2). 1．解不含参数的一元二次不等式的步骤 2．分式不等式的一般解法 (1)移项通分，化为＞0(或≥0或＜0或≤0)； (2)转化为整式不等式f(x)·g(x)＞0(或≥0或＜0或≤0)； (3)解整式不等式． 角度2　含参不等式 　解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1＜0(a＞0). [解析]　原不等式变为(ax－1)(x－1)＜0， 因为a＞0，所以(x－1)＜0. 当a＞1时，解得＜x＜1； 当a＝1时，解集为∅； 当0＜a＜1时，解得1＜x＜. 综上，当0＜a＜1时，不等式的解集为； 当a＝1时，不等式的解集为∅； 当a＞1时，不等式的解集为. 解含参数的一元二次不等式的步骤 (1)二次项若含有参数应讨论参数是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正数的一元二次不等式； (2)判断方程根的个数，讨论判别式Δ与0的关系； (3)确定方程无根时，可直接写出解集；确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定不等式的解集． 1．不等式－1＜x2＋2x－1≤2的解集为________． 解析　原不等式等价于 即 由①得x＜－2或x＞0；由②得－3≤x≤1.画出数轴，如图， 可得原不等式的解集为{x|－3≤x＜－2，或0＜x≤1}． 答案　{x|－3≤x＜－2，或0＜x≤1} 2．若m＞0，解关于x的不等式mx2－mx－1＜2x－3. 解析　移项得mx2－(m＋2)x＋2＜0， 对应的方程(mx－2)(x－1)＝0的两根为和1， 当0＜m＜2时，＞1，解得1＜x＜； 当m＝2时，＝1，原不等式无解； 当m＞2时，＜1，解得＜x＜1. 综上所述，当0＜m＜2时，原不等式的解集为； 当m＝2时，原不等式的解集为∅； 当m＞2时，原不等式的解集为. 考点二　“三个二次”之间的关系(一题多变　师生共研) 　若不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|－1＜x＜2}，则不等式a(x2＋1)＋b(x－1)＋c＞2ax的解集是(　　) A．{x|0＜x＜3}　　 B．{x|x＜0或x＞3} C．{x|1＜x＜3} D．{x|－1＜x＜3} [解析]　由a(x2＋1)＋b(x－1)＋c＞2ax，得ax2＋(b－2a)x＋(a＋c－b)＞0①.又不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|－1＜x＜2}，所以a＜0，且即②.将①两边同除以a，得x2＋x＋＜0③.将②代入③，得x2－3x＜0，解得0＜x＜3.故选A. [答案]　A (变条件、变设问)(多选)若不等式ax2－bx＋c＞0的解集是(－1，2)，则(　　) A．相应的一元二次函数的图象开口向下 B．b＞0且c＞0 C．a＋b＋c＞0 D．不等式ax2－cx＋b≤0的解集是R 解析　由题意知a＜0，所以A正确；由题意可得－1，2是方程ax2－bx＋c＝0的两个根，所以所以得b＜0，c＞0，所以B不正确；因为－1是方程ax2－bx＋c＝0的根，所以把x＝－1代入方程得a＋b＋c＝0，所以C不正确；把b＝a，c＝－2a代入不等式ax2－cx＋b≤0，可得ax2＋2ax＋a≤0，因为a＜0，所以x2＋2x＋1≥0，此时不等式的解集为R，所以D正确． 答案　AD (1)一元二次方程的根就是相应一元二次函数的零点，也是相应一元二次不等式解集的端点值． (2)给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应一元二次函数的图象开口方向及与x轴的交点，可以利用代入根或根与系数的关系求待定系数． 考点三　一元二次不等式恒成立问题(多维探究　师生共研) 角度1　在R上的恒成立问题 　若不等式ax2＋2ax－4＜2x2＋4x对任意实数x都成立，则实数a的取值范围是(　　) A．(－2，2) B．(－∞，－2)∪(2，＋∞) C．(－2，2] D．(－∞，2] [解析]　由题意，不等式ax2＋2ax－4＜2x2＋4x可化为(a－2)x2＋2(a－2)x－4＜0.当a－2＝0，即a＝2时，不等式恒成立，符合题意；当a－2≠0时，要使不等式恒成立，只需解得－2＜a＜2.综上所述，实数a的取值范围为(－2，2].故选C. [答案]　C 角度2　在给定区间上的恒成立问题 　(2024·安康模拟)若对任意的x∈[－1，0]，－2x2＋4x＋2＋m≥0恒成立，则实数m的取值范围是(　　) A．[4，＋∞) B．[2，＋∞) C．(－∞，4] D．(－∞，2] [解析]　因为对任意的x∈[－1，0]，－2x2＋4x＋2＋m≥0恒成立，所以对任意的x∈[－1，0]，m≥2x2－4x－2恒成立，因为当x∈[－1，0]时，2x2－4x－2＝2(x－1)2－4∈[－2，4]，所以m≥(2x2－4x－2)max＝4，即m的取值范围是[4，＋∞). [答案]　A 一元二次不等式在给定区间上恒成立问题的求解方法 (1)若f(x)＞0在集合A中恒成立，即集合A是不等式f(x)＞0的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值(或取值范围)； (2)转化为函数值域问题，即若函数f(x)的值域为[m，n]，则f(x)≥a恒成立⇒f(x)min≥a，即m≥a；f(x)≤a恒成立⇒f(x)max≤a，即n≤a. 角度3　给定参数范围的恒成立问题 　若不等式x2＋px＞4x＋p－3，当0≤p≤4时恒成立，则x的取值范围是(　　) A．[－1，3] B．(－∞，－1] C．[3，＋∞) D．(－∞，－1)∪(3，＋∞) [解析]　不等式x2＋px＞4x＋p－3，可化为(x－1)p＋x2－4x＋3＞0，由已知可得[(x－1)p＋x2－4x＋3]min＞0(0≤p≤4)，令f(p)＝(x－1)p＋x2－4x＋3(0≤p≤4)，可得解得x＜－1或x＞3. [答案]　D 解给定参数范围的不等式恒成立问题，可考虑变换思维角度，即把变量与参数交换位置(变换主元)，构造以参数为变量的函数，再根据原参数的范围求解． 1．若不等式x2－ax＋4＜0对任意x∈(3，4)恒成立，则实数a的取值范围是(　　) A． B． C．(5，＋∞) D．[5，＋∞) 解析　构造函数f(x)＝x2－ax＋4，其图象开口向上，因为不等式x2－ax＋4＜0对任意x∈(3，4)恒成立，所以即解得即a≥5，所以实数a的取值范围是[5，＋∞).故选D. 答案　D 2．已知函数f(x)＝ax2＋ax＋1，若对任意x∈R，f(x)＞0恒成立，则实数a的取值范围是________． 解析　当a＝0时，f(x)＝1＞0恒成立；当a≠0时，要使ax2＋ax＋1＞0恒成立，只需a＞0且Δ＝a2－4a＜0，解得0＜a＜4.综上，实数a的取值范围是[0，4). 答案　[0，4) 学科网（北京）股份有限公司 $$