第8章 第7讲 抛物线（PPT课件）-【导学教程】2025年数学新编高考大一轮总复习（北师大版）

栏目导航 第八章　平面解析几何 * 第八章　平面解析几何 第7讲　抛物线 栏目导航 第八章　平面解析几何 * 栏目导航 主干知识整合 01 核心考点突破 02 知能达标训练 03 栏目导航 第八章　平面解析几何 * 2.psd 栏目导航 第八章　平面解析几何 * 01 主干知识整合 栏目导航 栏目导航 第八章　平面解析几何 * 相等 点F 直线l 4.psd 栏目导航 第八章　平面解析几何 * 栏目导航 第八章　平面解析几何 * 6.psd 栏目导航 第八章　平面解析几何 * x轴 y轴 (0，0) 1 栏目导航 第八章　平面解析几何 * 8.psd 栏目导航 第八章　平面解析几何 * 10.psd 栏目导航 第八章　平面解析几何 * 12.psd 14.psd 栏目导航 第八章　平面解析几何 * 栏目导航 第八章　平面解析几何 * 16.psd 栏目导航 第八章　平面解析几何 * 18.psd 20.psd 栏目导航 第八章　平面解析几何 * 22.psd 栏目导航 第八章　平面解析几何 * 栏目导航 第八章　平面解析几何 * 栏目导航 第八章　平面解析几何 * 栏目导航 第八章　平面解析几何 * 课标要求 考情分析 1．了解抛物线的实际背景，感受抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的应用． 2．了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，以及它的简单几何性质． 3．了解抛物线的简单应用． 考点考法：抛物线的方程及其性质是高考的重点内容，常与其他曲线相结合进行命题，多以选择题或填空题的形式出现，试题难度中等． 核心素养：数学运算、直观想象． 栏目导航 第八章　平面解析几何 * 30.psd 栏目导航 第八章　平面解析几何 * 栏目导航 第八章　平面解析几何 * 02 核心考点突破 栏目导航 栏目导航 第八章　平面解析几何 * 33.psd 栏目导航 第八章　平面解析几何 * 1．抛物线的概念 (1)定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离________的点的集合(或轨迹). (2)焦点：________叫作抛物线的焦点． (3)准线：__________叫作抛物线的准线． 栏目导航 第八章　平面解析几何 * [导学点清]　当定点在定直线上时，轨迹为过定点F与定直线l垂直的一条直线． 栏目导航 第八章　平面解析几何 * 2．抛物线的标准方程和简单几何性质 标准 方程 y2＝2px (p＞0) y2＝－2px (p＞0) x2＝2py (p＞0) x2＝－2py (p＞0) 图形 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 焦点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2))) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2))) 准线 方程 x＝－ eq \f(p,2) x＝ eq \f(p,2) y＝－ eq \f(p,2) y＝ eq \f(p,2) 对称轴 ________ ________ 顶点 ________ 离心率 e＝______ 栏目导航 第八章　平面解析几何 * [导学点清]　 四种不同抛物线方程的共同点 (1)原点都在抛物线上． (2)焦点都在坐标轴上． (3)准线与焦点所在坐标轴垂直，垂足与焦点关于原点对称，它们与原点的距离都等于一次项系数的绝对值的 eq \f(1,4) ，即 eq \f(2p,4) ＝ eq \f(p,2) . 1．抛物线C：y2＝2px(p＞0)上一点M(1，y0)到焦点F的距离为3，则p的值为(　　) A．1　　　　　　　　　 B．2 C．3 D．4 解析　由抛物线的定义可知，|MF|＝1＋ eq \f(p,2) ＝3，所以p＝4. 栏目导航 第八章　平面解析几何 * 答案　D 2．过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|PQ|等于(　　) A．9 B．8 C．7 D．6 解析　抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，准线方程为x＝－1.根据题意可得，|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8. 栏目导航 第八章　平面解析几何 * 答案　B 栏目导航 第八章　平面解析几何 * 3．(忽视焦点的位置致误)(多选)顶点在原点，且过点P(－2，3)的抛物线的标准方程是(　　) A．y2＝－ eq \f(9,2) x B．y2＝ eq \f(9,2) x C．x2＝ eq \f(4,3) y D．x2＝－ eq \f(4,3) y 栏目导航 第八章　平面解析几何 * 解析　设抛物线的标准方程是y2＝kx或x2＝my，代入点P(－2，3)，解得k＝－ eq \f(9,2) ，m＝ eq \f(4,3) ，所以y2＝－ eq \f(9,2) x或x2＝ eq \f(4,3) y. 答案　AC 栏目导航 第八章　平面解析几何 * 4．抛物线y＝ eq \f(1,4) x2的焦点到准线的距离为________． 栏目导航 第八章　平面解析几何 * 解析　因为抛物线方程可以化为x2＝4y，所以p＝2，焦点到准线的距离为p＝2. 答案　2 栏目导航 第八章　平面解析几何 * 5．(忽视抛物线的开口方向致误)若抛物线y＝ax2的准线方程是y＝2，则a的值是________． 栏目导航 第八章　平面解析几何 * 解析　把抛物线方程y＝ax2化为标准形式得x2＝ eq \f(1,a) y，所以－ eq \f(1,4a) ＝2，解得a＝－ eq \f(1,8) . 栏目导航 第八章　平面解析几何 * 答案　－ eq \f(1,8) 1．与焦点弦有关的常用结论 如图，倾斜角为θ的直线ΑΒ与抛物线y2＝2px(p＞0)交于A，B两点，F为抛物线的焦点，设A(x1，y1)，B(x2，y2).则有 栏目导航 第八章　平面解析几何 * (1)y1y2＝－p2，x1x2＝ eq \f(p2,4) . (2)焦点弦长：|AB|＝x1＋x2＋p＝ eq \f(2p,sin2θ) (θ为直线AB的倾斜角). 通径(过焦点且垂直于对称轴的弦)长：2p. (3)焦半径：|AF|＝ eq \f(p,1－cosθ) ，|BF|＝ eq \f(p,1＋cos θ) ， eq \f(1,|AF|) ＋ eq \f(1,|BF|) ＝ eq \f(2,p) . (4)以弦AB为直径的圆与准线相切；以AF或BF为直径的圆与y轴相切． 栏目导航 第八章　平面解析几何 * 2．若A，B为抛物线y2＝2px(p＞0)上两点，且OA⊥OB，则直线AB过定点(2p，0). 栏目导航 第八章　平面解析几何 * 1．(2024·广州模拟)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点F的直线l交C于A，B两点，且|AB|＝8，则线段AB中点的横坐标为(　　) A．1　　　　　　　　 B．2 C．3 D．4 解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由|AB|＝8，可知x1＋x2＋2＝8，故 eq \f(x1＋x2,2) ＝3，故选C. 栏目导航 第八章　平面解析几何 * 答案　C 2．(2024·信阳模拟)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)，过焦点P的直线交抛物线C于A，B两点，且线段|AB|的长是焦半径|AP|长的3倍，则直线AB的斜率为________． 解析　设直线AB的倾斜角为θ，则θ∈(0°，180°). 因为线段|AB|的长是焦半径|AP|长的3倍，所以|BP|＝2|AP|，故θ≠90°， 当θ∈(0°，90°)时，|AP|＝ eq \f(p,1＋cos θ) ，|BP|＝ eq \f(p,1－cos θ) ，则 eq \f(|BP|,|AP|) ＝ eq \f(1＋cos θ,1－cos θ) ＝2，解得cos θ＝ eq \f(1,3) ，所以直线AB的斜率为2 eq \r(2) ， 同理可得当θ∈(90°，180°)时，cos θ＝－ eq \f(1,3) ， 所以直线AB的斜率为－2 eq \r(2) .综上，直线AB的斜率为±2 eq \r(2) . 栏目导航 第八章　平面解析几何 * 答案　±2 eq \r(2) 栏目导航 第八章　平面解析几何 * 63.psd 栏目导航 第八章　平面解析几何 * 栏目导航 第八章　平面解析几何 * 栏目导航 第八章　平面解析几何 * 66.psd 栏目导航 第八章　平面解析几何 * 考点一　抛物线的定义及应用(一题多变　师生共研) 　(1)(2022·全国乙卷)设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在C上，点B(3，0)，若|AF|＝|BF|，则|AB|＝(　　) A．2　　　　　　　　　 B．2 eq \r(2) C．3 D．3 eq \r(2) 栏目导航 第八章　平面解析几何 * (2)设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F是抛物线y2＝4x的焦点，若B(3，2)，则|PB|＋|PF|的最小值为(　　) A．2 eq \r(2) B．4 C．3 D．5 [解析]　(1)易知抛物线C：y2＝4x的焦点为F(1，0)， 于是有|BF|＝2，故|AF|＝2，注意到抛物线通径2p＝4，通径为抛物线最短的焦点弦，分析知AF必为半焦点弦，于是有AF⊥x轴，分析知|AB|＝ eq \r(22＋22) ＝2 eq \r(2) . 栏目导航 第八章　平面解析几何 * (2)如图，过点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1，则|P1Q|＝|P1F|，则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4，即|PB|＋|PF|的最小值为4. [答案]　(1)B　(2)B 1．(变条件)本例(2)中的点B的坐标改为(3，4)，则|PB|＋|PF|的最小值为________． 栏目导航 第八章　平面解析几何 * 03 知能达标训练 栏目导航 栏目导航 第八章　平面解析几何 * 谢谢观看 解析　由题意可知点B(3，4)在抛物线的外部． ∵|PB|＋|PF|的最小值即为B，F两点间的距离，F(1，0)， ∴|PB|＋|PF|≥|BF|＝ eq \r(22＋42) ＝2 eq \r(5) ，即|PB|＋|PF|的最小值为2 eq \r(5) . $$