第8章 第6讲 双曲线（PPT课件）-【导学教程】2025年数学新编高考大一轮总复习（北师大版）

第八章　平面解析几何 第6讲　双曲线 栏目导航 第八章　平面解析几何 1 栏目导航 主干知识整合 01 核心考点突破 02 知能达标训练 03 栏目导航 第八章　平面解析几何 1 栏目导航 第八章　平面解析几何 1 01 主干知识整合 栏目导航 栏目导航 第八章　平面解析几何 1 F1，F2 |F1F2| 栏目导航 第八章　平面解析几何 1 栏目导航 第八章　平面解析几何 1 栏目导航 第八章　平面解析几何 1 2c 原点 栏目导航 第八章　平面解析几何 1 A1A2 2a B1B2 2b a b (1，＋∞) a2＋b2 栏目导航 第八章　平面解析几何 1 栏目导航 第八章　平面解析几何 1 答案　C 栏目导航 第八章　平面解析几何 1 栏目导航 第八章　平面解析几何 1 栏目导航 第八章　平面解析几何 1 栏目导航 第八章　平面解析几何 1 栏目导航 第八章　平面解析几何 1 栏目导航 第八章　平面解析几何 1 栏目导航 第八章　平面解析几何 1 栏目导航 第八章　平面解析几何 1 栏目导航 第八章　平面解析几何 1 栏目导航 第八章　平面解析几何 1 栏目导航 第八章　平面解析几何 1 栏目导航 第八章　平面解析几何 1 栏目导航 第八章　平面解析几何 1 栏目导航 第八章　平面解析几何 1 栏目导航 第八章　平面解析几何 1 02 核心考点突破 栏目导航 栏目导航 第八章　平面解析几何 1 栏目导航 第八章　平面解析几何 1 栏目导航 第八章　平面解析几何 1 栏目导航 第八章　平面解析几何 1 栏目导航 第八章　平面解析几何 1 栏目导航 第八章　平面解析几何 1 栏目导航 第八章　平面解析几何 1 栏目导航 第八章　平面解析几何 1 栏目导航 第八章　平面解析几何 1 栏目导航 第八章　平面解析几何 1 栏目导航 第八章　平面解析几何 1 栏目导航 第八章　平面解析几何 1 栏目导航 第八章　平面解析几何 1 栏目导航 第八章　平面解析几何 1 栏目导航 第八章　平面解析几何 1 栏目导航 第八章　平面解析几何 1 栏目导航 第八章　平面解析几何 1 栏目导航 第八章　平面解析几何 1 栏目导航 第八章　平面解析几何 1 栏目导航 第八章　平面解析几何 1 栏目导航 第八章　平面解析几何 1 栏目导航 第八章　平面解析几何 1 栏目导航 第八章　平面解析几何 1 栏目导航 第八章　平面解析几何 1 栏目导航 第八章　平面解析几何 1 栏目导航 第八章　平面解析几何 1 栏目导航 第八章　平面解析几何 1 栏目导航 第八章　平面解析几何 1 栏目导航 第八章　平面解析几何 1 栏目导航 第八章　平面解析几何 1 栏目导航 第八章　平面解析几何 1 栏目导航 第八章　平面解析几何 1 栏目导航 第八章　平面解析几何 1 栏目导航 第八章　平面解析几何 1 谢谢观看 栏目导航 第八章　平面解析几何 1 课标要求 考情分析 1．了解双曲线的实际背景，了解双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用． 2．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线). 考点考法：高考中对双曲线的考查形式有两种：一是根据题设条件求双曲线的标准方程，二是通过双曲线的标准方程得出双曲线的基本量的数值，常以选择题或填空题的形式出现，有时也出现在解答题中． 核心素养：数学运算、逻辑推理． 1．双曲线的定义 条件 结论1 结论2 平面内的动点M与平面内的两个定点F1，F2 M点的轨迹为双曲线 __________为双曲线的焦点； __________为双曲线的焦距 ||MF1|－|MF2||＝2a 2a＜|F1F2| [导学点清]　(1)当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹是两条射线． (2)当2a＞|F1F2|时，M点不存在． 2．双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 eq \f(x2,a2) － eq \f(y2,b2) ＝1(a＞0，b＞0) eq \f(y2,a2) － eq \f(x2,b2) ＝1(a＞0，b＞0) 性质 图形 性质 焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝_______ 范围 x≤－a或x≥a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：________ 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a) 性质 轴 实轴：线段_______，长：______； 虚轴：线段_______，长：______； 实半轴长：______，虚半轴长：______ 离心率 e＝ eq \f(c,a) ∈____________ 渐近线 ______________ ______________ a，b，c关系 c2＝________ (c＞a＞0，c＞b＞0) y＝± eq \f(b,a) x y＝± eq \f(a,b) x [导学点清]　(1)实轴和虚轴等长的双曲线叫作等轴双曲线，其渐近线方程为y＝±x，离心率为e＝ eq \r(2) . (2)若焦点在x轴上，渐近线斜率为± eq \f(b,a) ；若焦点在y轴上，渐近线斜率为± eq \f(a,b) . 1．已知曲线C的方程为 eq \f(x2,k＋1) ＋ eq \f(y2,5－k) ＝1(k∈R)，若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则实数k的取值范围是(　　) A．－1＜k＜5　　　　　 B．k＞5 C．k＜－1 D．k≠－1或5 解析　若曲线C是焦点在y轴上的双曲线， 则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＋1＜0，,5－k＞0，)) 解得k＜－1. 2．已知双曲线的方程为 eq \f(y2,4) － eq \f(x2,9) ＝1，则下列关于双曲线说法正确的是(　　) A．虚轴长为4 B．焦距为2 eq \r(5) C．离心率为 eq \f(\r(13),3) D．渐近线方程为2x±3y＝0 解析　双曲线方程为 eq \f(y2,4) － eq \f(x2,9) ＝1，可得虚轴长为6，实轴长为4，离心率e＝ eq \f(\r(13),2) ，渐近线方程为2x±3y＝0.故选D. 答案　D 3．(忽视双曲线焦点的位置致误)已知双曲线的渐近线方程为y＝± eq \f(\r(2),2) x，实轴长为4，则该双曲线的标准方程为(　　) A． eq \f(x2,4) － eq \f(y2,2) ＝1 B． eq \f(x2,4) － eq \f(y2,8) ＝1或 eq \f(y2,4) － eq \f(x2,8) ＝1 C． eq \f(x2,4) － eq \f(y2,8) ＝1 D． eq \f(x2,4) － eq \f(y2,2) ＝1或 eq \f(y2,4) － eq \f(x2,8) ＝1 解析　设双曲线方程为 eq \f(x2,2m) － eq \f(y2,m) ＝1(m≠0)， ∵2a＝4，∴a2＝4， 当m＞0时，2m＝4，m＝2； 当m＜0时，－m＝4，m＝－4. 故所求双曲线的标准方程为 eq \f(x2,4) － eq \f(y2,2) ＝1或 eq \f(y2,4) － eq \f(x2,8) ＝1. 答案　D 4．(忽视双曲线定义的条件致误)已知平面内两定点A(－5，0)，B(5，0)，动点M满足|MA|－|MB|＝6，则点M的轨迹方程是(　　) A． eq \f(x2,16) － eq \f(y2,9) ＝1 B． eq \f(x2,16) － eq \f(y2,9) ＝1(x≥4) C． eq \f(x2,9) － eq \f(y2,16) ＝1 D． eq \f(x2,9) － eq \f(y2,16) ＝1(x≥3) 解析　由双曲线的定义知，点M的轨迹是双曲线的右支，故排除A，C.又由题意可知焦点在x轴上，且c＝5，a＝3，所以b＝ eq \r(c2－a2) ＝4，故点M的轨迹方程为 eq \f(x2,9) － eq \f(y2,16) ＝1(x≥3). 答案　D 5．设P是双曲线 eq \f(x2,16) － eq \f(y2,20) ＝1上一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|＝________． 解析　根据双曲线的定义得 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(|PF1|－|PF2|)) ＝8，因为|PF1|＝9， 所以|PF2|＝1或17. 又|PF2|≥c－a＝2，故|PF2|＝17. 答案　17 1．双曲线中的几个常用结论 (1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b. (2)若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a. (3)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为 eq \f(2b2,a) ；异支的弦中最短的为实轴，其长为2a. (4)设P，A，B是双曲线上的三个不同的点，其中A，B关于原点对称，直线PA，PB斜率存在且不为0，则直线PA与PB的斜率之积为 eq \f(b2,a2) . 2．巧设双曲线方程 (1)与双曲线 eq \f(x2,a2) － eq \f(y2,b2) ＝1(a＞0，b＞0)有共同渐近线的方程可表示为 eq \f(x2,a2) － eq \f(y2,b2) ＝t(t≠0). (2)过已知两个点的双曲线方程可设为mx2＋ny2＝1(mn＜0). 1．(2024·佛山模拟)与双曲线C： eq \f(x2,2) －y2＝1共渐近线，且经过点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(\r(10),2))) 的双曲线的标准方程是(　　) A. eq \f(x2,4) － eq \f(y2,2) ＝1　　　　 B． eq \f(x2,2) － eq \f(y2,4) ＝1 C． eq \f(y2,4) － eq \f(x2,2) ＝1 D． eq \f(y2,2) － eq \f(x2,4) ＝1 解析　根据题意，设要求的双曲线为 eq \f(x2,2) －y2＝t(t≠0)，由双曲线经过点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(\r(10),2))) ，得 eq \f(9,2) － eq \f(10,4) ＝t，解得t＝2，则要求双曲线的标准方程为 eq \f(x2,4) － eq \f(y2,2) ＝1.故选A. 答案　A 2．(2024·周口模拟)若双曲线C的标准方程为 eq \f(x2,a2) － eq \f(y2,b2) ＝1，P( eq \r(2) ，1)为C上一点，一个焦点到一条渐近线的距离为2，则双曲线的标准方程为________． 解析　因为一个焦点到一条渐近线的距离为2，所以b＝2， 故可知 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝2，,\f((\r(2))2,a2)－\f(12,b2)＝1，)) 所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＝\f(8,5)，,b＝2.)) 答案　 eq \f(x2,\f(8,5)) － eq \f(y2,4) ＝1 考点一　双曲线的定义及应用(一题多变　师生共研) 　(1)已知双曲线C： eq \f(x2,4) － eq \f(y2,5) ＝1的左焦点为F1，M为双曲线C右支上任意一点，D点的坐标为(3，1)，则|MD|－|MF1|的最大值为(　　) A．3　　　　　　　　　 B．1 C．－3 D．－2 (2)已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos ∠F1PF2＝________． [解析]　(1)双曲线C的实半轴长为a＝2，右焦点为F2(3，0)， 所以|MD|－|MF1|＝|MD|－(|MF2|＋2a) ＝(|MD|－|MF2|)－2a≤|F2D|－2a ＝ eq \r((3－3)2＋(1－0)2) －4＝－3， 当且仅当M为DF2的延长线与双曲线交点时等号成立．故选C. (2)∵由双曲线的定义有|PF1|－|PF2|＝|PF2|＝2a＝2 eq \r(2) ， ∴|PF1|＝2|PF2|＝4 eq \r(2) ， 则cos ∠F1PF2＝ eq \f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1|·|PF2|) ＝ eq \f((4\r(2))2＋(2\r(2))2－42,2×4\r(2)×2\r(2)) ＝ eq \f(3,4) . [答案]　(1)C　(2) eq \f(3,4) (变条件、变设问)在本例(2)中，若将条件“|PF1|＝2|PF2|”改为“∠F1PF2＝60°”，则△F1PF2的面积是多少？ 解析　不妨设点P在双曲线的右支上，则|PF1|－|PF2|＝2a＝2 eq \r(2) ，在△F1PF2中，由余弦定理，得cos ∠F1PF2＝ eq \f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1|·|PF2|) ＝ eq \f(1,2) ， ∴|PF1|·|PF2|＝8， ∴＝ eq \f(1,2) |PF1|·|PF2|·sin 60°＝2 eq \r(3) . 双曲线定义应用的两个方面 1．已知动点M(x，y)满足 eq \r((x＋2)2＋y2) － eq \r((x－2)2＋y2) ＝4，则动点M的轨迹是(　　) A．射线 B．直线 C．椭圆 D．双曲线的一支 解析　设F1(－2，0)，F2(2，0)，由题意知动点M满足|MF1|－|MF2|＝4＝|F1F2|，故动点M的轨迹是射线，故选A. 答案　A 2．已知F1，F2为双曲线C： eq \f(x2,4) － eq \f(y2,2) ＝1的左、右焦点，点P是C的右支上的一点，则 eq \f(|PF1|2,|PF2|) 的最小值为(　　) A．16 B．18 C．8＋4 eq \r(2) D．9＋ eq \f(15\r(2),2) 解析　因为F1，F2为双曲线C： eq \f(x2,4) － eq \f(y2,2) ＝1的左、右焦点，P是C的右支上的一点，所以|PF1|＝|PF2|＋4，所以 eq \f(|PF1|2,|PF2|) ＝ eq \f((|PF2|＋4)2,|PF2|) ＝ eq \f(|PF2|2＋8|PF2|＋16,|PF2|) ＝|PF2|＋ eq \f(16,|PF2|) ＋8≥2 eq \r(16) ＋8＝16，当且仅当|PF2|＝ eq \f(16,|PF2|) ，即|PF2|＝4时，等号成立；因为c＝ eq \r(a2＋b2) ＝ eq \r(6) ，所以c－a＝ eq \r(6) －2＜4，所以|PF2|＝4成立，所以 eq \f(|PF1|2,|PF2|) 的最小值为16.故选A. 答案　A 考点二　双曲线的标准方程(重难考点　师生共研) 　(1)已知双曲线C： eq \f(x2,a2) － eq \f(y2,b2) ＝1(a＞0，b＞0)的焦距为2 eq \r(5) ，点P(2，1)在C的一条渐近线上，则双曲线C的标准方程为(　　) A． eq \f(x2,4) －y2＝1 B．x2－ eq \f(y2,4) ＝1 C． eq \f(x2,20) － eq \f(y2,5) ＝1 D． eq \f(x2,5) － eq \f(y2,20) ＝1 (2)在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点A(－3，0)，B(3，0)，其内切圆圆心在直线x＝2上，则顶点C的轨迹方程为(　　) A． eq \f(x2,4) － eq \f(y2,5) ＝1(x＞2) B． eq \f(x2,9) － eq \f(y2,5) ＝1(x＞3) C． eq \f(x2,9) ＋ eq \f(y2,5) ＝1(0＜x＜2) D． eq \f(x2,9) ＋ eq \f(y2,4) ＝1(0＜x＜3) [解析]　(1)因为焦距为2 eq \r(5) ，所以半焦距为 eq \r(5) ，故a2＋b2＝5，因为P(2，1)在C的一条渐近线上，故 eq \f(b,a) ×2＝1，解得a＝2，b＝1，故双曲线C的标准方程为 eq \f(x2,4) －y2＝1. (2)如图，设△ABC与圆的切点分别为D，E，F， 则有|AD|＝|AE|＝5，|BF|＝|BE|＝1，|CD|＝|CF|， 所以|CA|－|CB|＝5－1＝4. 根据双曲线定义，所求轨迹是以A，B为焦点，实轴长为4的双曲线的右支(右顶点除外)，即c＝3，a＝2，又c2＝a2＋b2，所以b2＝5，所以顶点C的轨迹方程为 eq \f(x2,4) － eq \f(y2,5) ＝1(x＞2). [答案]　(1)A　(2)A 求双曲线标准方程的常用方法 (1)定义法：根据双曲线的定义确定a2，b2的值，再结合焦点位置，求出双曲线方程． (2)待定系数法：先确定焦点在x轴上还是y轴上，设出标准方程，再由条件确定a2，b2的值，即“先定型，再定量”．如果焦点的位置不好确定，可将双曲线的方程设为 eq \f(x2,m2) － eq \f(y2,n2) ＝λ(λ≠0)或mx2－ny2＝1(mn＞0)，再根据条件求解． 1．双曲线C： eq \f(x2,a2) － eq \f(y2,b2) ＝1(a＞0，b＞0)过点( eq \r(2) ， eq \r(3) )，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为(　　) A．x2－ eq \f(y2,3) ＝1 B． eq \f(x2,3) －y2＝1 C．x2－ eq \f(\r(3)y2,3) ＝1 D． eq \f(\r(3)x2,3) －y2＝1 解析　由e＝ eq \f(c,a) ＝2，得c＝2a，b＝ eq \r(c2－a2) ＝ eq \r(3) a，则双曲线的方程为 eq \f(x2,a2) － eq \f(y2,3a2) ＝1，将点( eq \r(2) ， eq \r(3) )的坐标代入双曲线的方程可得 eq \f(2,a2) － eq \f(3,3a2) ＝ eq \f(1,a2) ＝1，解得a＝1，故b＝ eq \r(3) ，因此双曲线的标准方程为x2－ eq \f(y2,3) ＝1. 答案　A 2．焦点在x轴上，焦距为10，且与双曲线 eq \f(y2,4) －x2＝1有相同渐近线的双曲线的标准方程是________． 解析　设所求双曲线的标准方程为 eq \f(y2,4) －x2＝－λ(λ＞0)，即 eq \f(x2,λ) － eq \f(y2,4λ) ＝1，则有4λ＋λ＝25，解得λ＝5，所以所求双曲线的标准方程为 eq \f(x2,5) － eq \f(y2,20) ＝1. 答案　 eq \f(x2,5) － eq \f(y2,20) ＝1 考点三　双曲线的几何性质(多维探究　师生共研) 角度1　双曲线的离心率 　(1)(2021·全国甲卷)已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2＝60°，|PF1|＝3|PF2|，则C的离心率为(　　) A． eq \f(\r(7),2) B． eq \f(\r(13),2) C． eq \r(7) D． eq \r(13) (2)已知F1，F2分别为双曲线 eq \f(x2,a2) － eq \f(y2,b2) ＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点P，使得点F2到直线PF1的距离为a，则该双曲线的离心率的取值范围是(　　) A． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(5),2))) B． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)，＋∞)) C．(1， eq \r(5) ) D．( eq \r(5) ，＋∞) [解析]　(1)因为|PF1|＝3|PF2|， 由双曲线的定义可得|PF1|－|PF2|＝2|PF2|＝2a， 所以|PF2|＝a，|PF1|＝3a； 因为∠F1PF2＝60°，由余弦定理可得4c2＝9a2＋a2－2×3a·a·cos 60°， 整理可得4c2＝7a2，所以e2＝ eq \f(c2,a2) ＝ eq \f(7,4) ，即e＝ eq \f(\r(7),2) . 故选A. (2)双曲线的渐近线方程为y＝± eq \f(b,a) x，由极限思想，设过F1且与一条渐近线平行的直线l的方程为y＝ eq \f(b,a) (x＋c)，即bx－ay＋bc＝0. 依题意，若在双曲线右支上存在点P，使得点F2到直线PF1的距离为a，则点F2到直线l的距离大于a， 即d＝ eq \f(2bc,\r(a2＋b2)) ＞a，所以2b＞a，所以 eq \f(b,a) ＞ eq \f(1,2) ，e＝ eq \f(c,a) ＝ eq \r(\f(c2,a2)) ＝ eq \r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))\s\up20(2)) ＞ eq \r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up20(2)) ＝ eq \f(\r(5),2) ，即e∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)，＋∞)) .故选B. [答案]　(1)A　(2)B 求双曲线离心率(或其取值范围)的两种常用方法 角度2　双曲线的渐近线 　(1)已知双曲线C： eq \f(x2,m2) － eq \f(y2,3) ＝1的离心率为2，则C的渐近线方程为(　　) A．y＝± eq \f(1,2) x B．y＝±2x C．y＝± eq \f(\r(3),3) x D．y＝± eq \r(3) x (2)(2022·全国甲卷)若双曲线y2－ eq \f(x2,m2) ＝1(m＞0)的渐近线与圆x2＋y2－4y＋3＝0相切，则m＝________． [解析]　(1)由已知可得 eq \f(m2＋3,m2) ＝22，所以m2＝1， 所以C的渐近线方程为y＝± eq \f(b,a) x＝± eq \r(3) x. 故选D. (2)双曲线y2－ eq \f(x2,m2) ＝1(m＞0)的渐近线方程为y＝± eq \f(x,m) ，即x±my＝0， 不妨取x＋my＝0.圆x2＋y2－4y＋3＝0，即x2＋(y－2)2＝1， 所以圆心为(0，2)，半径r＝1， 依题意圆心(0，2)到渐近线x＋my＝0的距离d＝ eq \f(|2m|,\r(1＋m2)) ＝1， 解得m＝ eq \f(\r(3),3) 或m＝－ eq \f(\r(3),3) (舍去). [答案]　(1)D　(2) eq \f(\r(3),3) 求双曲线的渐近线方程的方法 [提醒]　两条渐近线的倾斜角互补，斜率互为相反数，且两条渐近线关于x轴、y轴对称． 1．(2023·全国甲卷)已知双曲线C： eq \f(x2,a2) － eq \f(y2,b2) ＝1(a>0，b>0)的离心率为 eq \r(5) ，C的一条渐近线与圆(x－2)2＋(y－3)2＝1交于A，B两点，则|AB|＝(　　) A． eq \f(1,5) B． eq \f(\r(5),5) C． eq \f(2\r(5),5) D． eq \f(4\r(5),5) 解析　由e＝ eq \r(5) ，则 eq \f(c2,a2) ＝ eq \f(a2＋b2,a2) ＝1＋ eq \f(b2,a2) ＝5，解得 eq \f(b,a) ＝2， 所以双曲线的一条渐近线不妨取y＝2x， 则圆心(2，3)到渐近线的距离d＝ eq \f(|2×2－3|,\r(22＋(－1)2)) ＝ eq \f(\r(5),5) ， 所以弦长|AB|＝2 eq \r(r2－d2) ＝2 eq \r(1－\f(1,5)) ＝ eq \f(4\r(5),5) . 答案　D 2．F1，F2是双曲线 eq \f(x2,a2) － eq \f(y2,b2) ＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点，O为坐标原点，若在双曲线上存在点P，满足∠F1PF2＝60°，且|OP|＝ eq \r(10) a，则双曲线的渐近线方程为(　　) A．x± eq \r(3) y＝0 B． eq \r(3) x±y＝0 C．x± eq \r(2) y＝0 D． eq \r(2) x±y＝0 解析　设|PF1|＝m，|PF2|＝n， 因为 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|m－n|＝2a，,m2＋n2－4c2＝2mn cos 60°＝mn，)) 所以mn＝4c2－4a2＝4b2， 所以m2＋n2＝4c2＋4b2， 又cos ∠POF1＋cos ∠POF2＝0， 即 eq \f(c2＋(\r(10)a)2－m2,2c·\r(10)a) ＋ eq \f(c2＋(\r(10)a)2－n2,2c·\r(10)a) ＝0， 所以m2＋n2＝2c2＋20a2，所以c2＋2b2＝10a2， 又c2＝a2＋b2，所以b2＝3a2，所以 eq \f(b,a) ＝ eq \r(3) ， 所以双曲线的渐近线方程为 eq \r(3) x±y＝0.故选B. 答案　B 3．坐标原点为对称中心，两坐标轴为对称轴的双曲线的一条渐近线的倾斜角为 eq \f(π,3) ，则双曲线的离心率为________． 解析　若双曲线的焦点在x轴上，设双曲线的方程为 eq \f(x2,a2) － eq \f(y2,b2) ＝1，则渐近线的方程为y＝± eq \f(b,a) x，由题意可得 eq \f(b,a) ＝tan eq \f(π,3) ＝ eq \r(3) ，b＝ eq \r(3) a，可得c＝2a，则e＝ eq \f(c,a) ＝2；若双曲线的焦点在y轴上，设双曲线的方程为 eq \f(y2,a2) － eq \f(x2,b2) ＝1，则渐近线的方程为y＝± eq \f(a,b) x，由题意可得 eq \f(a,b) ＝tan eq \f(π,3) ＝ eq \r(3) ，a＝ eq \r(3) b，可得c＝ eq \f(2\r(3),3) a，则e＝ eq \f(2\r(3),3) .综上可得e＝2或e＝ eq \f(2\r(3),3) . 答案　2或 eq \f(2\r(3),3) $$