第8章 第6讲 双曲线（Word练习）-【导学教程】2025年数学新编高考大一轮总复习（北师大版）

[对应学生用书P355] A级[基础过关] 1．双曲线－＝λ(λ＞0)的离心率为(　　) A．　　　　　　　　 B． C．或 D． 解析　因为λ＞0，所以－＝1，所以双曲线焦点在x轴上，所以a2＝2λ，b2＝4λ，c2＝a2＋b2＝6λ，所以离心率为＝＝＝. 答案　B 2．“mn＜0”是“方程mx2＋ny2＝1表示双曲线”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析　因为方程mx2＋ny2＝1表示双曲线，所以mn＜0，又当mn＜0时，方程mx2＋ny2＝1表示双曲线，因此“mn＜0”是“方程mx2＋ny2＝1表示双曲线”的充要条件． 答案　C 3．已知F1，F2分别是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，过F2且垂直于x轴的直线与双曲线的右支交于A，B两点，若△ABF1是正三角形，则此双曲线的渐近线方程是(　　) A．y＝±2x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x 解析　由题意得△AF2F1为直角三角形，且∠AF1F2＝30°，故可设|AF2|＝2m，则|AF1|＝4m，|F1F2|＝2c＝2m，如图所示， 由双曲线的定义得2a＝|AF1|－|AF2|＝4m－2m＝2m， 所以a＝m，c＝m，所以b＝m，所以＝， 所以双曲线的渐近线方程为y＝±x，故选C. 答案　C 4．已知A(0，7)，B(0，－7)，C(12，2)，以C为一个焦点作过A，B的椭圆，椭圆的另一个焦点F的轨迹方程是(　　) A．y2－＝1(y≤－1) B．y2－＝1 C．y2－＝－1 D．x2－＝1 解析　由题意，得|AC|＝13，|BC|＝15，|AB|＝14，又|AF|＋|AC|＝|BF|＋|BC|，∴|AF|－|BF|＝|BC|－|AC|＝2.故点F的轨迹是以A，B为焦点，实轴长为2的双曲线下支．∵在双曲线中，c＝7，a＝1，∴b2＝48，∴轨迹方程为y2－＝1(y≤－1). 答案　A 5．(多选)已知F1，F2为双曲线C：－x2＝1的两个焦点，P为双曲线C上任意一点，则(　　) A．|PF1|－|PF2|＝2 B．双曲线C的渐近线方程为y＝±x C．双曲线C的离心率为 D．|＋|≥2 解析　双曲线C：－x2＝1焦点在y轴上，a＝，b＝1，c＝＝2. 对于A选项，＝2a＝2，而P点在哪支上并不确定，故A错误； 对于B选项，焦点在y轴上的双曲线C的渐近线方程为y＝±x＝±x，故B错误； 对于C选项，e＝＝＝，故C正确； 对于D选项，设P(x，y)(x∈R)，则|PO|＝＝＝≥(当且仅当x＝0时等号成立)， 因为O为F1F2的中点，所以|＋|＝|2|＝2||≥2，故D正确． 答案　CD 6．已知双曲线经过点A(－7，－6)，B(2，3)，则其标准方程为________． 解析　设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn＜0)， 则解得 所以双曲线的标准方程为－＝1. 答案　－＝1 7．(2024·海南海口一模)在平面内，设一动点P到点F1(－a2－4，0)，F2(a2＋4，0)的距离差的绝对值等于2a(a＞0)，若动点P的轨迹是曲线C，则曲线C的离心率的最小值为________． 解析　由题意可得c＝|F1F2|＝a2＋4，可得曲线的离心率为e＝＝a＋≥4，当且仅当a＝2时等号成立，所以曲线C的离心率的最小值为4. 答案　4 8．在①双曲线E的焦点在x轴上；②双曲线E的焦点在y轴上，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答． 问题：已知双曲线C的对称轴为坐标轴，且C经过点A(0，)，B(1，3). (1)求双曲线C的标准方程； (2)若双曲线E与双曲线C的渐近线相同，________，且E的焦距为4，求双曲线E的实轴长． 注：若选择两个条件分别解答，按第一个解答计分． 解析　(1)设双曲线C的标准方程为mx2＋ny2＝1(mn＜0)， 则解得 所以双曲线C的标准方程为－＝1. (2)双曲线C的渐近线方程为y＝±x. 选①，设双曲线E的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)， 所以解得 所以双曲线E的实轴长为2. 选②，设双曲线E的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)， 所以解得a＝，b＝1， 所以双曲线E的实轴长为2. B级[能力提升] 9．(2023·天津卷)双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2.过F2作其中一条渐近线的垂线，垂足为P.已知|PF2|＝2，直线PF1的斜率为，则双曲线的方程为(　　) A．－＝1 B．－＝1 C．－＝1 D．－＝1 解析　如图所示， 因为F2，不妨设渐近线方程为y＝x，即bx－ay＝0， 所以＝＝＝b， 所以b＝2. 设∠POF2＝θ，则tan θ＝＝＝，所以＝a，所以＝c. 因为ab＝c·yP，所以yP＝，所以tan θ＝＝＝，所以xP＝， 所以P， 因为F1， 所以kPF1＝＝＝＝＝， 所以＝4a，解得a＝， 所以双曲线的方程为－＝1.故选D. 答案　D 10．(多选)已知F1，F2是双曲线E：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，过F1作倾斜角为30°的直线分别交y轴与双曲线右支于点M，P，|PM|＝|MF1|，下列判断正确的是(　　) A．∠PF2F1＝60° B．|MF2|＝|PF1| C．E的离心率等于 D．E的渐近线方程为y＝±x 解析　如图所示，因为|PM|＝|MF1|， 即M为PF1中点，O为F1F2中点， 所以OM∥PF2， 因为OM⊥F1F2，所以PF2⊥F1F2， 所以∠PF2F1＝90°，|MF2|＝|PF1|，故A错误，B正确； 由PF2⊥F1F2知，|PF2|＝， 又|F1F2|＝2c，∠PF1F2＝30°， 所以＝2c，即(c2－a2)＝2ac， 所以e2－2e－＝0，解得e＝(负值舍去)，故C正确； 因为e＝＝，所以c2＝3a2， 所以b2＝c2－a2＝2a2，所以＝， 所以E的渐近线方程为y＝±x，故D正确． 答案　BCD 11．从某个角度观察篮球(如图1)，可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外轮廓为圆O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，且|AB|＝|BC|＝|CD|，则该双曲线的离心率为________． 解析　如图，设圆O的半径为r，双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)， 因为|AB|＝|BC|＝|CD|，所以a＝， 由题意可知E，代入方程－＝1，得－＝1，解得b2＝，所以e＝＝＝. 答案　 12．(2023·新课标Ⅰ卷)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2.点A在C上，点B在y轴上，⊥，＝－，则C的离心率为________． 解析　法一　依题意，设＝2m，则＝3m＝，＝2a＋2m， 在Rt△ABF1中，9m2＋(2a＋2m)2＝25m2，则(a＋3m)(a－m)＝0，故a＝m或a＝－3m(舍去)， 所以＝4a，＝2a，＝＝3a，则＝5a， 故cos ∠F1AF2＝＝＝， 所以在△AF1F2中，cos ∠F1AF2＝＝，整理得5c2＝9a2， 故e＝＝. 法二　依题意，得F1(－c，0)，F2(c，0)，令A，B(0，t)， 因为＝－， 所以＝－，则x0＝c，y0＝－t， 又⊥，所以·＝＝c2－t2＝0，则t2＝4c2， 又点A在C上，则－＝1，整理得－＝1，则－＝1， 所以25c2b2－16c2a2＝9a2b2，即25c2－16a2c2＝9a2， 整理得25c4－50a2c2＋9a4＝0，则(5c2－9a2)(5c2－a2)＝0，解得5c2＝9a2或5c2＝a2， 又e>1，所以e＝或e＝(舍去)，故e＝. 故答案为. 答案　 13．已知圆O1：(x＋5)2＋y2＝1的圆心为O1，圆O2：(x－5)2＋y2＝9的圆心为O2，动圆M与圆O1和圆O2均外切，记动圆M圆心的轨迹为曲线C. (1)求C的方程； (2)若P是C上一点，且O1P⊥O2P，求△O1O2P的面积． 解析　(1)设动圆M的半径为r，因为圆M与圆O1和圆O2均外切， 所以|MO1|＝r＋1，|MO2|＝r＋3，则|MO2|－|MO1|＝2＜|O1O2|， 根据双曲线的定义可知，M的轨迹是以O1，O2为焦点的双曲线的一支． 设曲线C的方程为－＝1(x≤－a)， 由|O1O2|＝10＝2c，得c＝5，又|MO2|－|MO1|＝2＝2a，得a＝1， 所以b2＝c2－a2＝25－1＝24， 所以C的方程为x2－＝1(x≤－1). (2)设|O1P|＝x，则|O2P|＝2＋x. 因为O1P⊥O2P. 所以|O1P|2＋|O2P|2＝|O1O2|2， 即x2＋(2＋x)2＝102，解得x＝6或x＝－8(舍去). 故△O1O2P的面积为S＝|O1P||O2P|＝×6×8＝24. C级[拓广探索] 14．已知双曲线C：－y2＝1的左、右两个顶点分别为A，B，点M1，M2，…，Mn为双曲线右支上的n个点，N1，N2，…，Nn分别与M1，M2，…，Mn关于原点对称，则直线AM1，AM2，…，AMn，AN1，AN2，…，ANn这2n条直线的斜率乘积为(　　) A． B． C．－3n D．－2n 解析　设M1(m，t)，由题意，N1(－m，－t)，又A(－，0)， 于是＝·＝， 又M1(m，t)在双曲线上，故－t2＝1， 于是＝＝＝， 将2n条直线两两分组，AM1，AN1，AM2，AN2，…，AMn，ANn，类似上面的步骤，应有＝＝＝(i＝1，2，…，n)， 所以这2n条直线的斜率乘积为.故选A. 答案　A 15．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F(c，0). (1)若双曲线的一条渐近线方程为y＝x且c＝2，求双曲线的方程； (2)以原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A，过A作圆的切线，斜率为－，求双曲线的离心率． 解析　(1)因为双曲线的渐近线方程为y＝±x，且题目给出双曲线的一条渐近线方程为y＝x，所以a＝b，所以c2＝a2＋b2＝2a2＝4，所以a2＝b2＝2，所以双曲线方程为－＝1. (2)设点A的坐标为(x0，y0)，所以直线AO的斜率满足·(－)＝－1，所以x0＝y0①，依题意，圆的方程为x2＋y2＝c2，将①代入圆的方程得3y＋y＝c2，即y0＝c，所以x0＝c，所以点A的坐标为，代入双曲线方程得－＝1，即b2c2－a2c2＝a2b2②，又因为a2＋b2＝c2，所以将b2＝c2－a2代入②式，整理得c4－2a2c2＋a4＝0，所以3－8＋4＝0，所以(3e2－2)(e2－2)＝0，因为e>1，所以e＝，所以双曲线的离心率为. 学科网（北京）股份有限公司 $$