第8章 第5讲 第1课时 椭圆及其性质（Word练习）-【导学教程】2025年数学新编高考大一轮总复习（北师大版）

[对应学生用书P351] A级[基础过关] 1．已知椭圆＋＝1的长轴在x轴上，焦距为4，则m等于(　　) A．8　　　　　　　　　 B．7 C．6 D．5 解析　因为椭圆＋＝1的长轴在x轴上，所以解得6＜m＜10.因为焦距为4，所以c2＝m－2－10＋m＝4，解得m＝8. 答案　A 2．已知椭圆C：16x2＋4y2＝1，则下列结论正确的是(　　) A．长轴长为 B．焦距为 C．短轴长为 D．离心率为 解析　把椭圆方程16x2＋4y2＝1化为标准方程可得＋＝1，所以a＝，b＝，c＝＝，则长轴长2a＝1，焦距2c＝，短轴长2b＝，离心率e＝＝.故选D. 答案　D 3．已知△ABC的周长为12，B(0，－2)，C(0，2)，则顶点A的轨迹方程为(　　) A．＋＝1(x≠0) B．＋＝1(y≠0) C．＋＝1(x≠0) D．＋＝1(y≠0) 解析　∵△ABC的周长为12，顶点B(0，－2)，C(0，2)， ∴|BC|＝4，|AB|＋|AC|＝12－4＝8， ∴点A到两个定点的距离之和等于定值，又8＞4， ∴点A的轨迹是椭圆，且a＝4，c＝2， ∴b2＝12， ∴椭圆的方程为＋＝1(x≠0). 答案　A 4．设B是椭圆C：＋y2＝1的上顶点，点P在C上，则|PB|的最大值为(　　) A． B． C． D．2 解析　设点P(x，y)，则根据点P在椭圆＋y2＝1上可得x2＝5－5y2.易知点B(0，1)，所以根据两点间的距离公式得|PB|2＝x2＋(y－1)2＝5－5y2＋(y－1)2＝－4y2－2y＋6＝－.当2y＋＝0，即y＝－(满足|y|≤1)时，|PB|2取得最大值，所以|PB|max＝.故选A. 答案　A 5．(多选)已知F1，F2为椭圆C的两个焦点，椭圆C上存在点P，使得∠F1PF2＝120°，则椭圆C的方程可以是(　　) A．＋y2＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 解析　根据选项，设椭圆C的方程为＋＝1(a＞b＞0)，设椭圆C的上顶点为B， 椭圆C上存在点P，使得∠F1PF2＝120°，则需∠F1BF2≥120°， 所以≥sin 60°＝，即3a2≤4c2， 因为c2＝a2－b2，3a2≤4a2－4b2，则a2≥4b2，检验可得选项A，D满足．故选AD. 答案　AD 6．若P1(1，1)，P2(0，1)，P3，P4四点中恰有三点在椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)上，则椭圆C的方程为____________________． 解析　由于P3，P4关于y轴对称，故由题设知椭圆C经过P3，P4两点，所以＋＝1. 又由＋＞＋＝1知，C不经过点P1，所以点P2在C上，所以b＝1， 因此a2＝4，故椭圆C的方程为＋y2＝1. 答案　＋y2＝1 7．在平面直角坐标系Oxy中，已知△ABC的顶点A(－4，0)和C(4，0)，顶点B在椭圆＋＝1上，则＝________． 解析　在椭圆＋＝1中，a＝5，b＝3，则c＝＝4，故点A，C为椭圆的焦点，因此，＝＝＝. 答案　 8．已知椭圆的长轴长为10，两焦点F1，F2的坐标分别为(3，0)和(－3，0). (1)求椭圆的标准方程； (2)若P为短轴的一个端点，求△F1PF2的面积． 解析　(1)设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)， 依题意得解得 所以椭圆的标准方程为＋＝1. (2)易知|yP|＝4，又c＝3， 所以＝|yP|×2c＝×4×6＝12. B级[能力提升] 9．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的两焦点为F1，F2，以F1F2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为(　　) A．－1 B． C． D． 解析　由题意，设椭圆与正三角形另两边的交点分别为A，B，如图， 易得|AF1|＝|AB|＝|BF2|＝c，∠F1AF2＝90°. 所以|AF2|＝c，所以|AF1|＋|AF2|＝(＋1)c＝2a， 所以e＝＝＝－1.故选A. 答案　A 10．若P为椭圆＋＝1上的一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，则∠F1PF2的最大值为(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 解析　易知当点P为椭圆与y轴的交点时，∠F1PF2最大，因为椭圆的方程为＋＝1，所以a＝5，c＝＝＝， 此时|PF1|＝|PF2|＝5，|F1F2|＝2c＝5， 所以|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2， 所以△F1PF2为等腰直角三角形，所以∠F1PF2＝90°. 答案　D 11．(多选)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线l与C交于P，Q两点，若|F2Q|∶|PQ|∶|F1Q|＝1∶4∶5，则(　　) A.PF1⊥PF2 B．△QF1F2的面积为 C．直线l的斜率为 D．C的离心率为 解析　由|F2Q|∶|PQ|∶|F1Q|＝1∶4∶5可知， 不妨设|F2Q|＝m，|PQ|＝4m，|F1Q|＝5m，又|PQ|＝|QF2|＋|PF2|＝4m，可得|PF2|＝3m， 利用椭圆的定义可知|QF1|＋|QF2|＝|PF1|＋|PF2|＝6m，所以可得|PF1|＝3m， 即|PF1|＝|PF2|＝3m，所以点P即为椭圆的上顶点或下顶点，如图所示， 由|PF1|＝3m，|PQ|＝4m，|F1Q|＝5m可知，满足|PF1|2＋|PQ|2＝|F1Q|2，所以PF1⊥PF2，即A正确； 所以△PF1F2为等腰直角三角形，且|PF1|＝3m＝a，因此△QF1F2的面积＝＝|PQ||PF1|－|PF2||PF1|＝6m2－＝＝，即B正确； 此时可得直线l的斜率kPQ＝kPF2＝－1，即C错误； 在等腰直角三角形PF1F2中，易知a2＋a2＝(2c)2，即可得离心率e＝＝，即D正确．故选ABD. 答案　ABD 12．已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，设线段PF1的中点为M，且|OF2|＝|OM|，则△PF1F2的面积为________． 解析　由题意可得a＝3，b＝，c＝＝2. 因为O，M分别是F1F2和F1P的中点， 所以|PF2|＝2|OM|＝2|OF2|＝2c＝4， 根据椭圆定义，可得|PF1|＝2a－2c＝2， 又因为|F1F2|＝2c＝4， 所以cos ∠PF2F1＝＝＝， 所以sin ∠PF2F1＝＝. 故△PF1F2的面积是|PF2|·|F1F2|·sin∠PF2F1＝. 答案　 13．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的焦距为2，离心率为. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若点A(0，1)，点B在椭圆C上，求线段AB长度的最大值． 解析　(1)依题意得2c＝2，c＝， 离心率e＝＝＝，解得a＝2， 所以b＝＝1， 所以椭圆C的标准方程为＋y2＝1. (2)设B(x，y)，则＋y2＝1， 得|AB|2＝x2＋(y－1)2＝4－4y2＋y2－2y＋1＝－3y2－2y＋5＝－3＋， 其中－1≤y＜1. 所以当y＝－时，|AB|max＝. C级[拓广探索] 14．(多选)如图所示，“嫦娥五号”月球探测器飞行到月球附近时，首先在以月球球心F为圆心的圆形轨道Ⅰ上绕月球飞行，然后在P点处变轨进入以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月球飞行，最后在Q点处变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月球飞行．设圆形轨道Ⅰ的半径为R，圆形轨道Ⅲ的半径为r，则(　　) A．轨道Ⅱ的长轴长为R＋r B．轨道Ⅱ的焦距为R－r C．若R不变，r越小，轨道Ⅱ的短轴长越大 D．若r不变，R越大，轨道Ⅱ的离心率越小 解析　设椭圆长轴为2a，短轴为2b，焦距为2c，对于A，B，由椭圆的性质知，a＋c＝R，a－c＝r，解得2c＝R－r，a＝，c＝，故A，B正确； 对于C，由A，B选项的分析知2b＝2＝2＝2， 若R不变，r越小，2b越小，轨道Ⅱ的短轴长越小，故C错误； 对于D，因为e＝＝＝＝1－＝1－，若r不变，R越大，则越小，所以e越大，轨道Ⅱ的离心率越大，故D错误．故选AB. 答案　AB 15．已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点． (1)若△POF2为等边三角形，求C的离心率； (2)如果存在点P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围． 解析　(1)连接PF1(图略).由△POF2为等边三角形可知在△F1PF2中，∠F1PF2＝90°，|PF2|＝c，|PF1|＝c， 于是2a＝|PF1|＋|PF2|＝(＋1)c， 故C的离心率是e＝＝－1. (2)由题意可知，满足条件的点P(x，y)存在， 由题意得即 由②③及a2＝b2＋c2得y2＝， 又由①知y2＝，故b＝4. 由②③及a2＝b2＋c2得x2＝(c2－b2)， ∴c2≥b2，从而a2＝b2＋c2≥2b2＝32，故a≥4. 当b＝4，a≥4时，存在满足条件的点P. ∴b＝4，a的取值范围为[4，＋∞). 学科网（北京）股份有限公司 $$